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1、线段的中垂线、角平分线 与等腰三角形等腰三角形1. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2. 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.3. 等腰三角形的性质：两腰相等.(2)两底角相等. 三线合一 ”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴.线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两
2、边的距离相等判定定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上4. 等腰三角形的判定：(1) 有两条边相等的三角形是等腰三角形.(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形.5. 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60 .6. 等边三角形的判定：(1) 三条边都相等的三角形是等边三角形.(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形.(3) 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.7. 等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等.等腰直角三角形的判定：(1) 顶角为90的等腰三角形.(2) 底角为45的等腰三角形.&含30角的直角三角形
3、的重要结论在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.Page 1 of 9【例6】 已知等腰三角形的周长为12,腰长为x，求x的取值范围.一、等腰三角形的性质【例1】 如图所示，已知 ABC中，D、E为BC边上的点，且 AD =AE , BD = EC，求证：AB = AC .【例2】 如图，.MAN是一个钢架，.MAN =10，在其内部添加一些钢管 CD , DE , EF , FG ,，添加 的钢管都与AC相等.(1 )当添加到第四根钢管时，求 ZFGM的度数.(2)假设OM ,ON足够长，能无限地添加下去吗？如果能，请说明理由如果不能，则最多能添加几根?【例
4、3】某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为()A. 9cmb. 12cmc. 15cmd. 12cm 或 15cm【例4】从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角 形的()A .两腰长的和B.周长一半C.周长D. 腰长与底边长的和【例5】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长.Page 3 of 9【例7】 若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A. 50B. 80C. 65 或 50 D. 50 或 80【例8】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为A. 32.5
5、74; B. 57.5° C.25，则该三角形的一个底角为（65 或 57.5 D . 32.5 或 57.5【例9】在. ABC 中，AB =AC , BC =BD =ED =EA .求.A .【例10】 ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交 BC于D、E，若.BAC . DAE =150，求.BAC .【例11】下列两个命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有一个内角 是60 °,那么这个等腰三角形一定是等边三角形则以下结论正确的是（）A .只有命题正确B .只有命题正确C .命题、都正确D .命题、都不正确【例12】如图，点0是等边 ABC内一点，.AOB =110； , . BOC .将 BOC绕点C按顺时针方向旋 转60°得 ADC，连接OD，则 COD是等边三角形；当a为多少度时， AOD是等腰三角形？【例13】如图，在等边 ABC中，点D，E分别在边BC, AB上，BD = AE , AD与CE交于点F .( 1)求 证：AD =CE ； (2)求/ DFC的度数.【例14】如图，三角形ABC中，AB =BC =CA , AE =CD , AD , BE相交于P , BQ垂直AD于Q，求证: BP =2PQ .