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1、欢迎共阅线性代数习题一说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，| ： |表示向量:-的长度，:-T表示向量的转置，E表示单位矩 阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分a11a12a133a113a123a131 .设行列式a21a22a23=2,则-31332_a33a31狂2a33a2 _ a31a22 &32a?3 a33A. -6C. 3B . -32设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A (X-E) =
2、E，则矩阵X=(1A . E+A1C. E +AB . E-AD . E - A3设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是()么)AT(A、A.可逆，且其逆为1( B.不可逆I B丿B-1丿 I B丿(AL占丄fb -qC .可逆，且其逆为 B丿 !I”丿4.设二1，2，- k是n维列向量，则.'AA-1、D .可逆，且其逆为1 B丿IB-11，篇2，鳥k线性无关的充分必要条件是A .向量组- 1Z 2，、；k中任意两个向量线性无关B .存在一组不全为 0的数11，12，,Ik，使得丨11+122+lk严0C .向量组仆.需'2，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示D .
3、向量组t，二2，二k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5.已知向量 2：- -(1,-2,-2,-1)T3八2 - -(1, Y,-3,0)丁,则為：.-：=()A .(0, -2，-1，1) TB .(-2 ,0,-1, 1) TC .(1, -1, -2,0) TD .(2,-6,-5, -1) T6 .实数向量空间V=(x, y, z)|3x+2y+5z=0的维数是()A . 1B . 2C. 3D . 47设是非齐次线性方程组 Ax=b的解，一：是其导出组Ax=O的解，则以下结论正确的是B .:- +一：是 Ax=b 的解C.是Ax =b的解D是Ax=0的解8设三阶方阵A的特征值分
4、别为1丄3，则A-1的特征值为()2412,4,31 1 12,4,31 1C., ,3D . 2,4,32 419. 设矩阵A =2，则与矩阵A相似的矩阵是()-11-101A.-12B .1032-21C .1D .-21110以下关于正定矩阵叙述正确的是()A正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B正定矩阵的行列式一定小于零；I;C.正定矩阵的行列式一定大于零D 正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每空2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。311.设 det (A)=-1，det (B)=2，且 A，B 为同阶方阵，则 det (AB) )=1 2
5、-212 设3阶矩阵A= 4 t 3，B为3阶非零矩阵，且 AB=0，则t=3 -1113 设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵 A的逆A-1=.14 .实向量空间Rn的维数是15. 设A是mx n矩阵，r (A)=r，则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为 .16. 非齐次线性方程组 Ax=b有解的充分必要条件是 .17 .设a是齐次线性方程组 Ax=0的解，而P是非齐次线性方程组 Ax=b的解，则 A(3a+2P)=18 .设方阵A有一个特征值为 8,_则det (-8E+A) =.19. 设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则|Px|=.2 2 220. 二次型 f （X
6、i,X2,X3）=Xi +5X2 +6x3 +4X1X2 2X1X3 2X2X3 的正惯性指数是 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）11-1211/121 计算行列式24-611242222 .设矩阵A =3 ，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B.5并将其余向量通过极大线性无关组表示岀来.24.设三阶矩阵 A= -252-433 ，求矩阵A的特征值和特征向量.-225.求下列齐次线性方程组的通解.-2-226.求矩阵A=的秩.四、证明题（本大题共1小题,6 分)27.设三阶矩阵A=a11a12a13321的行列式不等于0，证明:23.设向量组:-1 =(3,1
7、,2,0),=(0,7,1,3), 1-3=( -1,2,0,1),=(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组,'311312、°3321=32203=3 23©31)®2丿心33丿线性无关.a31线性代数习题二说明：在本卷中,At表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。A表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分11.设3阶方阵A的行列式为2,则一A =(2A.-11
8、C.-4x 2x1x 22.设 f (x)=2x-22x12x-23x23x23x51B.4D.1则方程f(x) =0的根的个数为()A.0B.1C.2D.33.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若|冲式冋,则必有()A. A =0C. A| 式 04.设A, B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是()2 2 2 2 2A. (A B)二 A 2 AB BB. (A B)(A - B)二 A - BC.( A_E)(A E) = ( A E)(A_E) d. (AB )= A 2B2印“ ad a1b3 '5. 设 A =丨 a2ba2b2a2b3 ,其中 a?t0,
9、bi 0, 1,2,3,则矩阵 a的秩为()I'23$玄3匕2玄3匕3丿J ( JA.0B.1C.2D.36. 设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A*的秩为()I |A.0B.2C.3D.47. 设向量a= (1, -2 , 3)与3= (2, k, 6)正交，则数k为()A.-10B.-4C.3D.10X1 X2 X3 =48.已知线性方程组+ax2 +x3 =3无解，则数a=()2x1 +2ax2 =41A.2B.0欢迎共阅1C.D.129. 设3阶方阵A的特征多项式为|扎E_A=仏+2)仏+3)2,则A =()A.-18B.-6C.6D.1810. 若3阶实对称矩阵 A= (a
10、ij )是正定矩阵，则 A的3个特征值可能为()A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空题(本大题共 10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设行列式D =其第3行各元素的代数余子式之和为J鼻 a、5-bA12.设 A =,B =<_aa<_bb 丿,则 AB =13.设A是4X3矩阵且 r( A) =2,B0 ,则 r(AB)=-114. 向量组(1，2) , (2，3) (3, 4)的秩为 .15. 设线性无关的向量组a1，a，a可由向量组ft，駁 ，也线性表示，则r与s的关系为.% x2x3
11、= 016. 设方程组'x1x2 X3 =0有非零解，且数，：0,则，=.为 + x2 + 扎 x3 = 017. 设4元线性方程组 Ax二b的三个解a，a，a,已知冷=(1,2,3, 4)丁，： (3,517,9) T,r( A) =3.则方程组I I的通解是.218. 设3阶方阵A的秩为2，且A +5 A = 0,则A的全部特征值为 .-211119.设矩阵A =0a0有一个特征值丸=2,对应的特征向量为 x =2则数a=J13丿20.设实二次型f(X1, X2,X3)= XT Ax,已知A的特征值为-1，1, 2，则该二次型的规范形为 三、计算题(本大题共 6小题，每小题9分，共
12、54分)21.设矩阵A=(2丫2,3丫3), B =(叮2,丫3),其中a ,丫2, 丫 3均为3维列向量，且 A = 18, B = 2.求A_B1-1、'01、T22.解矩阵方程022X +10=11-1°<43><2b23. 设向量组ai=(1, 1, 1 ,3)T,a=(- 1,-3,5, 1) T,a=(3,2,-1, p+2)T,a(3,2, -1, p+2) T 问 P为何值时,该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组2冶 x2=124. 设3元线性方程组论一X2 * X3 = 2,4x1 ' 5X2 - 5 x -1(1)
13、 确定当入取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？(2) 当方程组有无穷多解时，求岀该方程组的通解(要求用其一个特解和导岀组的基础解系表示)1 225. 已知2阶方阵A的特征值为门=1及/-2,方阵B = A .3(1) 求B的特征值；(2) 求B的行列式.2 2 226. 用配方法化二次型 f(X1,X2, X3)=花-2X2 -2X3 -4X1X2 12X2X3为标准形，并写出所作的可逆线性变换 .四、证明题(本题6分)27. 设A是3阶反对称矩阵，证明 A = 0.习题一答案习题二答案线性代数习题三说明：在本卷中,At表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A
14、|表示方阵A的行列K 11式,r(A)表示矩 A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题 2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未I I; I选均无分。1. 设 A 为 3 阶矩阵，|A|=1,则 |-2AT|=()A.-8B.-2C.2D.8(1 2. 设矩阵 A=|,B=(1,1),则 AB=( )rn1、A.0B.(1,-1)C. I D.IH T丿3. 设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是()A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA欢迎共阅110 1、0 0 1、1 0 0
15、、1 0 0、A.0 1 0B.0 1 0C.0 3 0D.0 1 0卫0 0Q 00e 0 ba 0 b初等矩阵的是5.下列矩阵中不是.()4.设矩阵A的伴随矩阵 A =2，则 A-1=(4 (广 4-3 -2 1丿-2I4C.D.么2<3 1丿6.设A,B均为n阶可逆矩阵，则必有（A.A+B可逆B.AB 可逆 C.A-B可逆D.AB+BA可逆7.设向量组 a1=(1,2), 20(0,2),B =(4 则),(A. a a傍戋性无关B.不能由01, 2线性表示C.可由a1, 20线性表示，但表示法不惟一D. B可由01,么线性表示，且表示法惟一8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值
16、为0,1,1,则齐次线性方程组（E-A）x=O的基础解系所含解向量的个数为A.0B.1C.2D.39.设齐次线性方程组2x1_x2 x 3 0x x2 x3 0有非零解，则，为()IJ.:.x-x2 亠 x3 =0A.-1B.0C.1D.2B.f的标准形的系数都大于或等于零C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零10. 设二次型f（x）=xTAx正定，则下列结论中正确的是（）TA.对任意n维列向量x,x Ax都大于零二、填空题（本大题共10小题，每小题 2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式的值为12.已知A=2，则|A冲第一行第二列元素的代数余子
17、式为13.设矩阵A=,1则 AP3=一24丿© 1丿1-3,P=14. 设 A,B 都是 3 阶矩阵，且 |A|=2,B=-2E,则 |A-1B|=.15. 已知向量组01,=(1,2,3), 02=(3,-1,2), 3=(2,3,k)线性相关，则数 k=欢迎共阅16.已知Ax=b为4元线性方程组，r(A)=3,i, aa a为该方程组的28 + a 3 =537I9丿则该线性方程3个解，且:.1组的通解是£P是3阶正交矩，向量ct =3017.已知则内积(P：、P)=18. 设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为 (1 2 '19. 与矩阵A=i相
18、似的对角矩阵为.0 3丿20. 设矩阵A= "一2 1若二次型 f=xTAx正定则实数k的取值范围是12 k 丿三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21. 求行列式D=0-10 'J1-20"22.设矩阵A=100 ,B =2-1000b0°求满足矩阵方程 XA-B=2E的矩阵X.23.若向量组r5、2、广-2、1,«2 =-1C<3=6«4 =0I3rk>r2kj的秩为2,求k的值.24.设矩阵A2-10 ,b-1(1) 求 A-;(2) 求解线性方程组 Ax=b,并将b用A的列向量组线性表岀25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1) 矩阵A的行列式及 A的秩.(2) 矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.Xi =2yi 2y2%26. 求二次型f(xi,X2,X3)=-4 x 1X2+ 2x 1X3+2X2X3经可逆线性变换x2 =2yr 2y2 y3所得的标准形X3 =2y3四、证明题(本题6分)27. 设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是 _1.线性代数习题三答案