线性系统的频域分析法例题解析例1已知单位反馈控制系统.doc

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1、第5章 线性系统的频域分析法例5-1已知单位反馈控制系统的开环传递函数（1）用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件;（2 ）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于 1的条件；（3 ）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于 都大于丄Z的条件。2解：（1）此题是I型系统，取奈奎斯特路径如图 由以下各段组成的s平面上的封闭曲线： 正虚轴：s= j 3,频率3从0 +变化到8；Gk(s)二Ks(s 3)( s 5)s左半部，且实部的绝对值都大于s左半部且全部复极点的阻尼系数5-1所示，即奈奎斯特路径选取了 半径为无穷大的右半圆：s = Re j&, Rt °o,£由2变化到

2、一上;2 2 负虚轴：S= j 3,频率3从一*变化到0 ； 半径为无穷小的右半圆：s=RejB”R"T0日由一上变化到上;， ， 2 2先求与路径对应的奈奎斯特图，将s= 代入Gk（s）Gk(j )Kj (j-3)(5)AC)(')一90 -arctan3-rctan5(0) = -90 ；(：)二-270PC)- 8K(9<)(25二)Q()(2 -15)K(92)(25'2)图5-1145 求与实轴的交点，令 Q()=0,解得，$ =15,：=喝15_3.87P( .15)=-8K(915)(25 - 15)K120147 与路径对应的奈奎斯特图是半径为无

3、穷小。角度从一270°逆时针转到270°的圆弧,由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特曲稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。与路径对应的奈奎斯特图是路径对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。与路径对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从90°顺时针转到一90°的圆弧。画出奈奎斯特图如 5-2所示。要使闭环系统稳定，要求图5-2图5-30 :：: k : 120时闭环系统稳定。0 -鸟1，即当(2)此时，取奈奎斯特路径如图5-3所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s平面上的封闭曲线： 平行于正虚轴直线：s = T，频率由0变化到汽 半径为无穷大的右半圆：s=

4、RejRT °o日由2L变化到21；， ，2 2 平行于正虚轴直线： s = j-1，频率由-g变化到0； 先求与路径对应的奈奎斯特图-1 代入 G k (s)Ks(s 3)( s 5)Gk( j，-1) = Gk * (j )(j 一 1)(j 2)( j-4)注意此时的Gk *（ j .）已不是I型系统形式，而是非最小相位传递函数A（，）二K1亠八24亠八2、16 F 2-149 ;：C ) - - arctan -arcta- (180 - arctan )coo=-180arcta n - arcta narcta n24(0) = 180 ; (：) 一270PC)Q( )

5、-K(8+5co2)2 22(1，)(4，)(16，)3_K(2时一时 3)2 22-(i，)(4，)(16)求与实轴的交点，令Q（）=0,解得国=0，画出奈奎斯特图如图二 2,P(0)二5-4所示。与路径对应的奈奎斯特图是半径为 无穷小，角度从270°逆时针转到270°的 圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳 定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图 中略去。与路径对应的奈奎斯特图是路径 对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。要使 此图满足稳定的要求_K ：，即8 18当8 K : 18时满足全部闭环极点均位 于s左半平面且实部绝对值都大于1的条-K,PC 2)8K.18*ca3二

6、_曲图5-4件。解二：本题的结果也可以利用劳斯判据来获得，方法是平移坐标轴后再用劳斯判据 判断相对稳定的条件。令 s = X -代入特征方程:=s3 8s215s K = 0整理得列劳斯阵列如下ex' 5x2 2x -8 K =0x312x25 K -8!18 Kx 5x0 K -8要使劳斯阵列第一列都大于零，可解得8 K : 18。当8 K : 18时满足全部闭环极点均位于s平面左半部且实部的绝对值都大于1的条件，此结果与应用奈奎斯特判据所得结果完全相同。(3)此时取奈奎斯特路径如图5-5所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s平面上的封闭曲线：与负虚轴成45°角的直线

7、：半径为无穷大的右半圆:s - -x jx，频率x由0变化到3 二与负虚轴成45°角的直线:S = R旧由丄变化到一4S = X jx，频率x由一8变化到003 二；;40 ；半径为无穷小的右半圆:s=R j,R ，J 由- 丁 到匸；K先求与路径对应的奈奎斯特图，将S二-X jx代入Gk(S)二s(s+3)(s + 5)Gk(-xjx) _Gk (jx) _(_x . jx)(3 _x jx)(5_x jx)A(')K2xJ(3 - x)2 x2 . (5 - x)2 x2忻Xx() - -135 arctanarctan3_x5_x(0)135 ;(3) - -281.3

8、1 ; '(5) - -336.8 ;- -405(2x2 -15)K2x(3x)2 x2(5 x)2x2(-2x2 +16x 15)K2x(3-x)2 - x2 5 x)2 x2求与实轴的交点，令Q(x) = 0,6.915(与正实轴的交点频率J .085(与负实轴的交点频率)，与负)实轴的交点P(4.34(2x2 -15)K 2x(3 -x)2 x2(5 x)2 x2-K49 34-272再求与虚轴的交点，令P(x)= 0,解得 x总寸1；,QC J)为与虚轴的交点值。图5-5图5-6与路径对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-405°逆时针转到405°的弧，

9、由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以，图中略去。与路径对应的奈奎斯特图是路径对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。与路径对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从135°顺时针转到-135°的圆弧。画出奈奎斯特图如图 5-6所示，由图可知，满足全部闭环极点均位于s左半部且实部的绝对值都大于1的条件是0 :K49.34 272即当 0 : K : 49.34 -27213.7 时满足要求。解二：此题可用根轨迹法来求，画出根轨迹 如图5-7所示，满足题示要求即是要求出根轨迹 与阻尼角为45。的射线所夹部分根轨迹增益的范 围。令 S =X(1 j)，贝U22 .

10、33s 2x j, s x (T j)代入特征方程:=S3 8S215s K图5-7可得实部方程-2x3 15x K =0和虚部方程322x 16x15x=0可解得x = 0和x=v2-6.915(与正反馈根轨迹的交点)-1.085(与负反馈根轨迹的交点)K =(2x3 -15x)x ” 34 = 49、34 -272 13.72结合根轨迹图可知，当 o :： K : 13.7满足使全部闭环极点均位于s平面左半部且全部复极点的阻尼系数都大于的要求。2例5-2已知开环传递函数 G(s)H (s)二至 乞，画出与完整的奈奎斯特路径相s +3s + 1对应的奈奎斯特图。(1) 确定相对于 G(s)H

11、(s)平面的原点的N, P和Z的值。从而判断开环系统是否稳(2) 求取相对于一1点的N,P和Z的值。从而判断闭环系统是否稳定。解一：(1)首先要确定开环零，极点的位置，由于本题开环零点以确定，而分母是以多项式形式给出，所以只要确定开环极点的位置。方法由三种：3s 0，列劳斯阵列如下3a)劳斯判据法对开环特征方程s3 s2 s1 s0 s1由劳斯判据可判断开环特征方程有一个左根和两个右根，没有虚轴上的根。 b )根11 二 1s3 3s轨迹法 对开环特征方程s3 3s 0 ，可改写为 + _K_2(S2 3 +3)s=0于是s3 3s0的根可看作在等效开环传递函数为K =1153 Gk*Po=Z

12、o-No,此法可与闭环系统稳定性判别同时进行。(2)下面画出与完整的奈奎斯特路径相对应的奈奎斯特图。为了确定奈奎斯特路径，必须先确定开环传递函数是否有虚轴上的极点。设3232s = 3s 1 = (s a)(s bs c) = s (a b)s (ab c)s ac = 0因为 ac=10 所以 a0,cH0因为a b = 0，所以b - -a = 0因为a = 0，b = 0和c = 0，所以开环传递函 数没有虚轴上的极点。此题是o型系统，取奈奎斯特路径如图 所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的 平面上的封闭曲线： 正虚轴：s = j濒率由0变化到汽 半径为无穷大的右半圆jnjts =

13、 Rej ： R r , v 由变化到-;2 20; 负虚轴：s = j，频率由-变化到JoQwO j®i R fz/ &/3二一旳1/r5-8s0图5-8先求与路径对应的奈奎斯特图，将j 代入Gk(s)得3(2 j )32(3 -，厂2'1 (3-，) j1 (3- 2)2 2pM 聖(3 - 2)21(3- '2)2 ' 23(2 2 - 5) Q(沪 1(3一)2 .2P(0) =6,Q(0) =0,P(：) =0,Q(：) =0求与实轴的交点，令Q()=0，解得© = 解得P(0) =6, P( JT5) =6再求与虚轴的交点， 令0

14、 和 = 、. 2.5 ；-2P(co) = 0，可得方程国° 叮2 _2=0 解得3 _ .一 1723.56-0.56(略)；317_1.887 23 "：5.66图5-9其次求与路径对应的奈奎斯特图，将s二代入Gk(s)，其中TC由一变化到22lim Gk(s) = limp =08"日SS sReT这表明与路径对应的奈奎斯特图是连接GkC:)和Gk(：)的半径为无穷小，角度从-180°逆时针转到180°的圆弧，如图5-10中原点附近的虚线小圆弧所示。此段奈奎 斯特图与用奈奎斯特稳定判据对闭环系统稳定性判断无关，但与用奈奎斯特稳定判据对

15、开环系统稳定性判断有关。与路径对应的奈奎斯特图是路径对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。画出极坐标图如5- 10所示。此时， 奈奎斯特曲线对 Gk(s)平面原点的包围 次数N0=-2,已知开环右零点数Z0=0,于是 开环右极点数 P=Z°-N0=0-(-2)=2.又由奈 奎斯特图可知奈奎斯特曲线对(-1，j0) 的包围次数 N= 0,于是Z=N + P= 2，闭 环系统不稳。上面仅根据实频特性和虚频特性画图，对终点的相角无法确定。为画图准确起见，需求出幅频特性和相频特性。这里假设其中3s 3s 1 = (s a)(s -b jc)(s -b - jc)a 0,b0, c 0于是3(s+2

16、)3(s + 2)G(s)H(s)二-s3+3s+1(s+a)(s-b + jc)(s-b - jc)34 +灼2A©)_ iJ1+(牺a3)2.cc()=arctanarctan_(180 arctan) _(180 arctan)2abb八八八亠c；.-. c二-360arctan -arctan arctanarctan 2abb(0) = -360 ;(：)二-180这也表明与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图是连接Gk C ：)和Gk(-：)的半径为无穷小，角度从-180°逆时针转到180o的圆弧。若仅从奈奎斯特图上看， 可能会认为(0) =0 , ( ：

17、) =180，因而可能得出与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图是连接 Gk(；)和Gk(-：)的半径为无穷小，角度从180°顺时针转到-180°的圆弧的错误结果，如果是这样的话，就不能正确的应用奈奎斯特稳定判据判断开环系 统和闭环系统的稳定性。由此可见非最小相位系统的相频特性的计算很重要。解二：此题开环极点位置未知，应用逆奈奎斯特判据则比较容易。此时1s3 +3s +1Gk(s):G(s)H (s)3(s 2)没有虚轴上的开环极点，所以奈奎斯特路径可以选最简形式。C 1+(3-国2)朝2+(32眉 2 +(5-加 2)3(4/)3(2 j )2 (3-.2厂2P*

18、( )2 3(4 +国2)(5 _岔2购 Q*()2 -3(4+® 2)Gk (j ): 1求与实轴的交点，令 Q*C ) =0,解得 =0和，.2.5，于是P*(0)=丄；6J dP*C.2.5)二.再求与虚轴的交点，令 P*( 0=0，可得方程4 -3,2 -2 = 0 6解得23 二 i.17-2co =±3 ； 17 -1.8873.560.56(略)Q* 3'17 ) ： -0.1772对应奈奎斯特路径中无穷大右半圆的 映射为图 5-11-155 2lim Gk * (s) = lim ej：ej；： s zRej H当B由二变化到-二时，/由二顺时针变化

19、到-二，根据以上数据可以画出逆奈奎斯2 2特图如图5-11所示。由图可见逆奈奎斯特图顺时针包围原点两圈 N°=2,等效开环传递函数右极点数 P=0,于 是等效开环传递函数右零点数 Z0=P+ N0=2，即原传递函数有两个右极点，P=0,N=2,Z=N+ P=2, 即闭环传递函数有两个右极点，闭环系统不稳。例5-3已知开环传递函数 G( s)H(s)2一100，作出其奈奎斯特图。并s(sJ31V3s(s 1)(sj)(sj) 22 2 十s+1)(s+1)从图中判断闭环系统的稳定性。5-1所示，先求与路径对应的奈奎斯解：此题是I型系统，取奈奎斯特路径如图 特图。图 5-12100G(S

20、)H诗 s 1)(s1)100100A()=时山+时2 J(1 _时2)2 +时2() = -90 -arctan arctan(2门丄，3)-arctan(2;.-,3)(0) = -90 ；(：)二-3602100(2 - 2)P(八(1'2)(1 _ ,2)2.2100(2 2 -1)Q( )八，(1 心(1_2)2 心= 0,p(0) = -200,Q(0)-：求与实轴的交点，令Q()=0,解 得 二.0.5，则 PC 0.5)- -晋, 再求与虚轴的交点，令 pc 0-0,解得h *2 , Q( .2)100 .3J2与路径对应的奈奎斯特图是半 径为无穷小，角度从-360&#

21、176;逆时针转到 360°的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈 奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳 154 ImJ-Ml -150!/cd = Q4无关，所以图中略去。与路径对应的奈奎斯特图是路径关于实轴的镜像。 与路径对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从 画出奈奎斯特图如图 5-12所示。由图可见P=0,N=2,Z=N+P=2,闭环系统不稳10090°顺时针转到一90°的圆弧。例5-4已知开环传递函数 G(s)H(s)二2s(s+1)(s2 +2)作出其奈奎斯特图判断闭环系统的稳定性。解一：这是一个在虚轴上有三个开环极点的例子，它们分别为S = 0 和 s=_2j5

22、-13所示。先求路径取奈奎斯特路径必须绕过这三个虚轴上的开环极点，如图(奈奎斯特路径取为除.=2点外的正虚轴部分)，对应的奈奎斯特图，将S = 代入Gk(s)，可得100A( ) ： 22一国 J1 +co2 (2 一2)0 0(J 二-90 -arctan：arctan arctanv2 一灼在正频率部分-90° - arctan (_、2 )-270° -arctan2 )(0) = -90°, ( 2、= -144.74°,(、2 ) = - -324.74°,(：)二-360°100P()_ (i .2)(2 _ .2)- 1

23、00QC ')223(1 +a2)(2-32)对P( )和Q( )而言，其分子多项式为 常数，所以奈奎斯特图在有限频率范围内与实 轴和虚轴无交点。为了准确画出奈奎斯特图， 需求出曲线的极值点，这可以通过对QC )的分母多项式求导来获得 Q()的极值点，为求2 2d(1，)(2 -，)P( )和P()和P()的极值点，可令d -可求得 2时，2P()有最大值，3 4BQ<J=/2o=09®155图 5-13P(4009-44.4。为求QC J的极值点,可令可求得，22 2d（，）（2 -，） dd时1，即当蛍=± 1时，-0.4（略）（2 ：J _ 冷QC ）有

24、最大值，242 3， -5 = 0Q(1)= - 50-159 F面给出数据:00.10.20.50.70711.41.4225pg)-50-49.8-49.1-45.7-44.4-50-844.62021.5100.167Q（国）-OO-497.5-245.3-91.4-62.9-50-6031423.650.033与路径（奈奎斯特路径在，二2点处为无穷小右半圆）对应的奈奎斯特图是 Gk 2 -和Gk 2的半径为无穷大，角度从-144.74°顺时针转到-324.74°的圆弧。与路径对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-360°逆时针转到360° 的圆

25、弧（逆时针转两圈），由于此段奈奎 斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环 系统判稳无关，所以图中略去。与路径，对应的奈奎斯特图，分别是路径，对应的奈奎斯特图 关于实轴的镜像。与路径对应的奈奎斯特图，是连接Gk（0J和Gk（0 ）的半径为无穷大，角度从90°顺时针转到一90°的圆弧根据以上数据可画出奈奎斯特图如图5- 14所示。由图可见，P=0,N=2,Z=N+P=2,闭环系统不稳。解二：此题是一个在虚轴上由三个开环极点的例子，所取奈奎斯特路径必须绕过这 三个虚轴上的开环极点，若应用逆奈奎斯特判据，则比较容易。1_ s(s - 1)(s2 - 2)G(s)H(s)100对 Gk*

26、(s)s(s 1)(s22)100而言，没有开环极点，所以奈奎斯特路径可选最简形式，如图5-8所示。先求与路径对应的奈奎斯特图，将S二j'代入Gk*(s)，得申*(豹)=*90' + arctan(兰 V2 ) i270 + arctaneo(灼 J2)A* C )=100* (0) =90 , * ( . 2 一)=144.74 ,*(、. 2 ) =324.74 ,*(：) =360 、co2佝 2-2)P* 0 )=100(2 丫：)Q*( )=100在.=0和.=.2时，奈奎斯特图将与实轴和虚轴相交，不过交点都在原点。为了准确画出逆奈奎斯特图， 需求出曲线的极值点，这可

27、通过对P*(.)和Q* ()分 别求导来获得其极值点。3由dPl = 4=0，可求得P* ( )的极大值，解得二-1, P*二0.01d，100由dQ* 2-3,2 0，可求得Q* ()的极大值，解得二.2,q*(,2)= 2 d 一 100375 3©0<2?312510P* (时)0-0.0089-0.0100.085.7598Q* g)00.0110.010-0.04-1.15-9.8其次，求与奈奎斯特路径中无穷大右 半圆(路径)对应的奈奎斯特图，将 s = Re阳代入Gk(s)，其中Rt叫日由i变化到-2 ；得lim G*k (s)s :.当0由二变化到-丄时，'

28、;由2二变化到2 2-2二。根据以上数据，可画出逆奈奎斯特图 5-15图如图5-15所示。由图可见P=0,N=2,Z=N + P=2，闭环系统不稳。例5-5设单位负反馈系统的开环传递函数为Gk(s)K(1 -s)s(5s 1)其中，K>0，若选用奈奎斯特路径如图5-16。(1 )画出系统与该奈奎斯特路径对应的奈奎斯特 曲线(即该奈奎斯特路径在 Gk(j )平面中的映射)；(2 )根据所画奈奎斯特曲线及奈奎斯特稳定判据 判断闭环系统稳定的条件；当闭环系统不稳定时计 算闭环系统在右半 s平面的极点数。图 5 - 16解：(1)先求与路径对应的奈奎斯特图。将s二j代入Gk(s)Gk( j )=

29、K(1 - j Jj -(1 j5 )-6K2125 K(1 5 2)2(125 )161 2K(1 - 5，)2(V 25 )K J1 也2A(八2 125 () = 90 -arctan5；： -arctan，(0) =-90 ,：)= -270# 图 5-181 1求与实轴的交点，令Q(co) = 0，解得灼=±P() = _K 。寸5<5与路径对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-270°逆时针转到270°的圆弧, 由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。图 15-17与路径对应的奈奎斯特图是路径对应 的奈奎斯特图

30、关于实轴的镜像。与奈奎斯特路径中原点附近的无穷小半径 左半圆（路径）对应的奈奎斯特图是连接 Gk（0）到Gk（0 ）逆时针转过180°的无穷大 半圆弧。画出奈奎斯特图如图 5-17所示。（2）此时，由于奈奎斯特路径的选择，使原 点处的开环极点被看作是右半开环极点，即 P=1,要使Z=0，则要求奈奎斯特图逆时针包围（-1，j0）点一圈，即 N=-1。于是要求奈奎斯特图与负实轴的交点坐标大于（-1, j0） 点。即 一1 ：: K ：:0。所以-1 ： -K : 0时闭环系统稳定，当K=1时系统临界稳定。当K>1时系统不稳定，此时闭环右极点数Z=N+P=1 + 1=2。例5-6 图

31、5-18是开环传递函数为 G（s）的单位反馈控制系统的奈奎斯特图，确定 在下列各种条件下系统的开环传递函数和闭环传递函数在右半平面的极点数，并确定系 统的开环稳定性和闭环稳定性。（1） G（s）在右半s平面有一个零点；（-1，j0）点位于点A。（2） G（s）在右半s平面有一个零点；（-1，j0）点位于点B。（3）G（s）在右半s平面没有零点;（4）G（s）在右半s平面没有零点;（-1，j0 ）点位于点A。（-1，j0 ）点位于点B。解：本题的解题步骤是已知开环传递函数在右半平面的零点数Z0及完整的奈奎斯特图对原点的包围圈数N。的情况下，根据奈奎斯特判据确定开环传递函数在右半平面的极点数P。在

32、已知开环传递函数在右半平面的极点数P，及完整的奈奎斯特图对（-1，j0）点的包围圈数 N的情况下，根据奈奎斯特判据确定闭环传递函数在右半平面的极点数Z。（1） 已知Zo=1,No=-2,（奈奎斯特图逆时针包围原点两圈），所以Po=Zo-No=3,开环 系统有三个右极点，开环系统不稳定。又知P=Po=3,N=O（奈奎斯特图顺时针和逆时针各包 围（-1, jO）点一圈，净包围（-1，j0）点零圈），Z=N+P=3,闭环不稳定。闭环系统有三 个右极点。（2） 已知Zo=1，No=-2,所以Po=Zo-No=3，开环系统不稳定。P=Po=3，N=-2（奈奎 斯特图逆时针包围（-1, jO）点两圈），Z

33、=N+P=1，闭环不稳定。闭环系统有一个右极点。（3）已知 Zo=O,No=-2，所以 Po=Zo- No=2，开环系统不稳定。P=Po=2, N=0,Z=N+P=2，闭环不稳定。闭环系统有2个右极点。（4） 已知 Zo=O，No=-2，所以 Po=Zo-No=2，开环系统不稳定。P=Po=2，N=-2， z=n+p=o，闭环系统稳定。例5 - 7 图5-19是某单位正反馈系统的奈奎斯特图，该图与第一段 （ =0到二：）对应已知函数 G（s）在右半s平面没有任何零点或极点。试判断闭环系 统的稳定性。解：为了画出完整的奈奎斯特图，必须确定G（s）的型，已知图 5- 20是一G（s）的奈奎斯特图，

34、G（s）的奈奎斯特图是-G（s）的奈奎斯特图绕原点逆时针转180°。如图5-21所示。由于G（s）是最小相位系统，由图5- 20可见（0 ） = -270 ,表明该开环系统是川型系统（有三个积分环节），而）二-450 ,可知开环传递函数分母比分子高5阶。画图 5-20特别注意从-G（0 1连接到-G（0 ）是半径为无穷大，角度顺时针转过540° 160 的圆弧。现已知 P=0,由图5-21可知N=3,Z=N+P=3,即闭环系统有三个右极点，闭环系统 不稳定。例5-8 假设某单位反馈的控制系统，只能用试验法测定其传递函数 1/G(S)。图5-22是.=0到的1/G(s)奈奎斯

35、特图，如果函数1/G(s)在右半s平面没有任何零点或 极点。试判断闭环系统的稳定条件。解：由 1/G(s)曲线可见：当穆=0时( 0)= 0 ；当，= +：时(+：)=180 ', 表明开环传递函数 G(s)是0型系统，开环传递函数分母比分子高2阶。画出完整的奈奎斯特图如图5- 23所示，用顺时针无穷大圆弧连接正负频率曲线(对应奈奎斯特路径中无 穷大右半圆的映射)。图 5-23图 5-22对逆奈奎斯特曲线而言，可用逆奈奎斯特稳定判据来判稳。已知开环右半平面无零点，P=0,逆奈奎斯特曲线顺时针包围(-1 , j0)点2圈，即N=2，所以闭环在右半平面极 点数Z=N+P=2,闭环系统不稳定

36、。若画出1/KG(s)的曲线，调整 K值，使得(-1, j0)点位于图中A区，则N=0，闭环系统稳定。例5-9已知多回路系统如图 5-24所示。图 5-24(1 )当K2=1时确定闭环系统稳定时 Ki的取值范围。Gk(s)G1(S)G2(S)1 G2(s)H(s)(2)当Ki=l时确定闭环系统稳定时 K2的取值范围。 解：对外环而言，开环传递函数为：Q(s + 2)(s 10)s(s 1)(s 2) 5要应用奈奎斯特稳定判据首先要确定开环极点的分布，这里主要是要确定特征方程 : = s(s 1)(s 2)5 = 0的根的位置。可以采用以下四种方法之一来解决:劳斯判据;画等效开环传递函数的根轨迹

37、，确定 K = 5时根轨迹上的点;s(s 1)(s 2)5画出内环开环传递函数 Gk*的奈奎斯特图来判断；s(s +1)(s + 2)可以通过画出完整的奈奎斯特图，根据其对原点的包围情况来确定开环极点的分布。 用前三种方法确定开环极点的分布后，还需画出外环开环传递函数的奈奎斯特图才能判 别闭环系统的稳定性，不过此时可以不考虑奈奎斯特路径为无穷大部分的映射对原点的 包围情况。而用第四种方法直接画出完整的奈奎斯特图，此法可同时确定开环系统的稳 定性和闭环系统稳定时 K1的取值范围。这里采用第四种方法来作， 将S二厂代入Gk(s), 可得：P(')二42心(-11 -39 +100)(4 -

38、32 250)2(25 -13 2)2 22 2K1C -6) Q( ) (- 4 -32 2 50)2 (25 T3,2)2 2求与实轴的交点，令 Q(；r)=0,解得 = 0, =6P(0) =', P( 6) =2553其次求与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图，将s = Re门代入Gk(s)，其3T3T中R > :门由一变化到-一；得22lim Gk(s) =lim$|s宀R <s3s zRej V这表明与该路径对应的奈奎斯特图是连接Gk( ：)和GJ-：)的半径为无穷小、角度为270°逆时针转到270°的圆弧，如图5-25中原点附近的小

39、圆弧所示。画出完整的奈奎斯特图如图 5-25所示。已知Gk(s)在右半平面零点数是 0,由图5-25 可知，完整的奈奎斯特图对原点的包围圈数为 0,根据奈奎斯特判据知 Gk(s)在右半平面 极点数是0。同时由图5-25可知，完整的奈奎斯特图对(-1,0)点的关系，知当一25<&<53 时，闭环系统稳定。165 图 5 25图 5 26Gk(s)G1(S)G2 (s)1 - G2(s)H(s)(2)对外环而言，此时开环传递含函数为s + 2(s 10)s(s 1)(s 2) 5K2在这种情况下，因为未知参数K2不是Gk(s)的增益系数，所以画出蛙的奈奎斯特图是无益的，所以不能

40、直接使用奈奎斯特判据。不过仍然可以用奈奎斯特判据来解问题。 可以写出整个系统的特征方程，即s(s 10)(s 1)(s 2) s 2 5K2(S 10) =0为了得到一个以心作为相乘因子的等价的开环传递函数，可用不含K2的项除以上式的两边，得到：5K2(s 10)1 0 s(s 10)(s 1)(s 2) s因为上述方程是1 Gk* (s) = 0的形式，所以通过Gk* (s)的奈奎斯特图可以分析特征方 程的根。但是，Gk*(s)的极点是未知的，因为 Gk * (s)的分母不是因式分解的形式。为 了研究多项式s(s 10)(s 1)(s2) s 2的零点，同样可以采用前述的四种方法。这里还是采

41、用画Gk* (s)的完整的奈奎斯特图的方法来解决。s =代入Gk * (s),5K2(-储 4 - 299豹 2 +20)P * CO 42222 2(32时 +2) +(21 13J )灼425K2( 98 - 208) 4可得Q*C，HC-4-32 22)2(21-13，)2，求与实轴的交点，令 Q*J =0,解得.=0, =. 2609 -49P*(0) =25K2,P*( . '2609 -49) ： -0.83K2其次求与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图，将sReir代入Gk * (s)其中TTTTR*油-变化到-，得*5K2Rimk(汨町了 sm这表明与该路径对应

42、的奈奎斯特图是连接GkC:)和Gk (-：)的半径为无穷小，从-270°逆时针转到270°的圆弧，如图5-26所示。画出完整的奈奎斯特图如图5-26所示，已知Gk * (s)在右半平面零点数是 0,角度由图5-26可知，完整的奈奎斯特图对原点的包围圈数为0，根据奈奎斯特判据知 Gk * (s)在右半平面极点数是 0。同时，由图5-26可知完整的奈奎斯特对(-1，j0)点的关系，可判断当-0.04<K2<1.2时闭环系统稳定。例5-10单位正反馈系统的开环传递函数为2K(s 4s 6)2 s 5s 4G(s)二(1) 用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件；(2) 确定当K分别为2/3，0.9，1，1.1，1.25时闭环系统的极点。G(s)二 K(s2 4s 6) _ K(s 2. 2j)(s 2 - 2j)解：(i )2s 5s 4(s 1)(s 4)可见G(s)是最小相位系统，且无虚轴上的开环极点，所以奈奎斯特路径取最简形式。 由于是正反馈系统，所以实际画出的是-G(s)的奈奎斯特图。将 s =代入- G(s)，可得:42p( )一 W 严-24) (1 +国 2)(16 +国 2)K2 -14)©Q( )22(1