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1、2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数在处连续，则（ ）。 。 。【答案】【解】，因为在处连续，所以，从而，应选。（2）二原函数的极值点为（ ）。 。 。 。【答案】【解】由得，当时，则不是极值点；当时，且，则为极大点，应选。（3）设函数可导，且，则（ ）。 。 。【答案】【解】若，则，从而；若，则，从而，故，应选。（4）若级数收敛，则 （ ）。 2。 。 。【答案】【解】，由得，于是，由收敛得，应选。（5）设为维单位列向量，为阶单位矩阵，则（ ）不可逆。 不可逆。不可逆。 不可逆。【答案】【解】令，令，由得，或，
2、因为得的特征值为，的特征值为，从而，即不可逆，应选。（6）已知矩阵，则 （ ）与相似，与相似。 与相似，与不相似。与不相似，与相似。与不相似，与不相似。【答案】【解】的特征值为，由得，则可相似对角化，从而；由得，则不可相似对角化，从而与不相似，应选。（7）设为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（ ）与相互独立。 与互不相容。与相互独立。 与互不相容。【答案】【解】，与独立即的充分必要条件为，或，即与独立，应选。（8）设（）为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论正确的是（ ）服从分布。 服从分布。服从分布。 服从分布。【答案】【解】若总体，则，因为总体，所以，
3、再由得，从而，不正确的是，应选。二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）（9）。【答案】【解】。（10）差分方程的通解为。【答案】【解】的通解为；设的特解为，代入得，故的通解为。（11）设生产某种产品的平均成本为，其中为产量，则边际成本为。【答案】【解】平均成本为，总成本为，边际成本为。（12）设函数具有一阶连续的偏导数，且，则。【答案】【解】由得，再由得，故。（13）矩阵，为线性无关的三维列向量组，则向量组的秩为。【答案】2【解】，因为线性无关，所以可逆，从而，由得，故向量组的秩为2。（14）设随机变量的概率分布为，若，则。【答案】【解】，再由得，。三、解答题（15）（本题满分10
4、分）求。【解】，则。（16）（本题满分10分）计算积分，其中是第一象限中曲线与轴边界围成的无界区域。【解】。（17）（本题满分10分）求。【解】。（18）（本题满分10分）已知方程在区间内有实根，求的范围。【解】令，令，由得（）；再由得（），即（），因为，即，故。（19）（本题满分10分）若，（），为幂级数的和函数。（1）证明：的收敛半径不小于1，并求。（2）证明（），并求。【证明】（）由得。由得，令，即单调增加，若有上界，则，从而，幂级数的收敛半径为；若无上界，由得，故级数的收敛半径。（），即满足。由得，解得，再由得，故。（20）（本题满分11分）设3阶矩阵有三个不同的特征值，且。（）证明：
5、（）若，求方程组的通解。【证明】（）设的特征值为，因为有三个不同的特征值，所以可以相似对角化，即存在可逆矩阵，使得 ，因为两两不同，所以，又因为，所以线性相关，从而，于是。（）因为，所以基础解系含一个线性无关的解向量，由得的通解为 （为任意常数）。（21）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。【解】，因为，所以。由得。由得。由得对应的线性无关的特征向量为；由得对应的线性无关的特征向量为；由得对应的线性无关的特征向量为。规范化得，故正交矩阵为。（22）（本题满分11分）设随机变量相互独立，的密度为（）求。（）求的概率密度。【解】（），。（），当时，；当时，；当时，；当时，；当时，即密度为。（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立且均服从正态分布。该工程师记录的是次测量的绝对误差（），利用估计。（）求的概率密度。（）利用一阶矩求的矩估计量。（）【解】（）由得，的分布函数为，当时，；当时，的密度函数为（），由得的矩估计量为。（）似然函数为()，由得，故的最大似然估计量为。