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1、12 / 152.1.1指数与指数窑的运算(2课时)第一课时根式教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幕的概念；2 .正确运用根式运算性质和有理指数幕的运算性质；3 .培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力教学重点：根式的概念、分数指数幕的概念和运算性质教学难点：根式概念和分数指数幕概念的理解教学方法：学导式教学过程：(I)复习回顾引例：填空(1)a a aL42n4 43);n个aa0=1 (a 0)；n 1*a-n (a 0，n N )a(2)am anam n (m,nCZ)；(am)namn (m,nCZ)；(ab)nan bn (n C Z)(3) V9 ；- J9 ；
2、V0 (4)(点)2 (a 0);叱 1 .引入:(1)填空(1), (2)复习了整数指数幕的概念和运算性质(其中：因为 am an可看作am an,所以am an am n可以归入性质am an am n;又因为小)n可看作 b nam an,所以(a)n 可以归入性质(ab)n an bn (n C Z),这是为下面学习分 b b数指数幕的概念和性质做准备。为了学习分数指数幕，先要学习n次根式(n N* )的概念。(2)填空(3), (4)复习了平方根、立方根这两个概念。如：22=4 , (-2) 2=42, -2 叫 4 的平方根23=82叫8的立方根；(-2) 3=-8-2叫-8的立方
3、根25=322叫32的5次方根 2n=a2叫a的n次方根分析：若22=4,则2叫4的平方根；若23=8, 2叫做8的立方根；若25=32,则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a,则2叫a的n次方根。由此，可有：2 .n次方根的定义：(板书)般地，如果xn a ,那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n 1 ,且n N问题1: n次方根的定义给出了， x如何用a表示呢？ x VW是否正确?分析过程：例1.根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3 次方根。(要求完整地叙述求解过程)解：因为33=27,所以3是27的3次方根；因为(2)5=-32,所以-
4、2是-32的5 次方根；因为(a2)3 a6,所以a2是a6的3次方根。结论1:当n为奇数时(跟立方根一样)，有下列性质：正数的n次方根是正数， 负数的n次方根是负数，任何一个数的方根都是唯一的。 此时，a的n次方根可表 示为x n'a 。从而有：V27 3, C2 2, 3/a6 a2例2 .根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。解：因为24 16 , ( 2)4 16 ,所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81,所以-81没有4次方根。结论2:当n为偶数时(跟平方根一样)，有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数
5、没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：nG(a 0)其中n，a表示a的正的n次方根，nia表示a的负的n次方根。例3.根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0,所以0的3次方根，0的4次方根均为00结论3: 0的n次方根是0,记作Vc 0,即va当a=0时也有意义。这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：3 n次方根的性质：（板书）n. a, n 2k 1nx（kN*）其中”a叫根式，n叫根指数，a叫被n a,n 2k开方数。注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式 的运算性质。4 .根式运算性质
6、：（板书）（遍）n a ,即一个数先开方，冉乘方（同次）,结果仍为被开方数。问题2:若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例 4:求"（2）3 ,V25 ,4/34 ,、；（ 3）2由所得结果，可有：（板书）行a,n为奇数；|a |,n为偶数性质的推导如下：性质推导过程:当n为奇数时，x；,6,由 xn a得(n/a)n a当n为偶数时，xua 由 xn a得(ya)n a综上所述，可知:(n a)n a性质推导过程:当n为奇数时，由n次方根定义得：a Jan当n为偶数时，由n次方根定义得：a Van，n厂n a,n为奇数综上所述：(n、a)n| a |, n为偶数注意：性
7、质有一定变化，大家应重点掌握。(III )例题讲解例1.求下列各式的值: 3(8)3(2)J( 10)2(4) J(a b)2 (a>b)注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数 n为偶数的运算。(III )课堂练习：求下列各式的值(1)x2(2),?4(3)J(& V3)2(4)5 2J6(IV)课时小结通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解 题。(V)课后作业1、书面作业：a.求下列各式的值(1) 3/Z27(2)Va6(3)VTF(4“先)2b.书P82习题2.1 A组题第1题。2、预习作业：a.预习内容：课本P59P62Ob.预习
8、提纲：(1)根式与分数指数幕有何关系？(2)整数指数幕运算性质推广后有何变化？第二课时分数指数幂教学目标：（一 ）教学知识点1. 分数指数幂的概念.2. 有理指数幂的运算性质.（ 二 ） 能力训练要求1. 理解分数指数幂的概念.2. 掌握有理指数幂的运算性质.3. 会对根式、分数指数幂进行互化.（三 ）德育渗透目标培养学生用联系观点看问题.教学重点：1. 分数指数幂的概念.2. 分数指数幂的运算性质.教学难点：对分数指数幂概念的理解.1. 在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2. 在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数
9、范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法 .教学过程：（1） .复习回顾师 上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.整数指数募运算性质根式运算性质a,n为奇数 a|, n为偶数 am - an=am+n( m ne Z)(2)( am)n=am n (mnez)(3)( a - b) n=an - bn( n C Z)师对于整数指数幕运算性质(2),当a>0, m, n是分数时也成立.(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a>0, mn是分数也成立这 种方法，我认为不妨先推广了性质(2),为下一步利用根
10、式运算性质推导正分数 指数幕的意义作准备.)师对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幕指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子 例子：当a>0时10 5 a105 (a2)5a2a 5123 a123 (a4)3a4a3,22工 a2V(a3)3a3_11、a (a2 )2a2师上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子、用到了推广的整数指数幕运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幕的意义(R).讲授新课1 .正数的正分数指数幕的意义ma va ( a>0, m nC N,且 n> 1)师大家要注意两点，一是分数指数幕是根式的另一种表示形式；二是根
11、式与 分数指数幕可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幕和0的分数指数幕作如下规定.2 .规定(板书)小 m1 , cr L ,、(1) a nm ( a>0, mnCN,且 n>1)an(2)0的正分数指数幕等于0.(3)0的负分数指数幕无意义.师规定了分数指数幕的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数当a>0时，整数指数幕的运算性质，对于有理指数幕也同样适用.即对于任意有 理数r,s,均有下面的运算性质.3 .有理指数幕的运算性质(板书)(1) ar as=ar+s ( a>0, r, sC Q(2)( ar)s=ar - s ( a>0, r,
12、sCQ(3)( a - b)r=ar - br ( a>0, b>0, r CQ师说明：若a>0, P是一个无理数，则aP表示一个确定的实数，上述有理 指数幕的运算性质，对于无理数指数幕都适用，有关概念和证明在本书从略.这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉 一下本节的内容.4 .例题讲解213例 2 求值：83,100 2,(1) 3,(16) 4481分析：此题主要运用有理指数幕的运算性质2解：832(23)3322 3221100 21(102) 22 (1010 1110(4)3 (家(22) 32( 2) ( 3)26642 4(3)(1
13、)43(2)33278例3用分数指数幕的形式表示下列各式:解:1a2(式中a>0)5a23a23a a1(a a2)3 4a 331(a2)211a 33a4师为使大家进一步熟悉分数指数幕的意义与有理指数幕的运算性质，我们来 做一下练习题.m.课堂练习课本P51练习1.用根式的形式表小下列各式（a> 0 ）332,a 4 ,a 5,a 3解:ia55/a3a43a 54 a353,a_1_5 a33 a2_1_3 2, a2.用分数指数幕表示下列各式:(1) Vx2(2) 4,(a b)3 (a+b>0)(3) 3/(m n)2(4) J(m n)4 (m>n) 3(5
14、) v'p6 q5 ( P > 0 )(6)2m2解：(1) 3 x2 x3 3(2) 4. (a-b)3(a b)4 2(3) 3 (mn)2(mn)3 1(4) v'(mn)4(mn)2= ( m n )5 2q )2i(5) P6(p0)6 6(p652 2pq5q"3 m (6) m5m23.求下列各式的值:32336 二(1) 252 ; (2) 273 ; (3) (一)249(4)(5)、81 4 92(6)2 3 3 1.5 6 123解：(1) 2523(52户22253 125227 32(33户32(3)36 3(49)22(1)21634
15、35 2(2)2(|)32( 2)5 35 3(-)3(-)323538125(5)2134 (32)324342334 3433(6)(342133)，1 (34)413636 32、3 31.5612133122)614 / 153233(22V)(323V3619 / 1532要求：学生板演练习，做完后老师讲评(IV) .课时小结掌握分数指数幕与师通过本节学习，要求大家理解分数指数幕的意义, 根式的互化，熟练运用有理指数幕的运算性质.(V) .课后作业(一)1.课本P53练习题2.用分数指数幕表示下列分式(其中各式字母均为正数)I * (1) Va 4/1a(2) a av'av
16、 a(3) V(a b)2心 b)3(5) Vab2 a2b(6) §(a3 b3)2111 17解：(1) VaVaa3a4a3 4a12 11 11111 1 17(2) ,a a a a (a a2)22a，a; a8 aa 2 3 (a b)2(a b)3 3(4) V(a b)3 (a b)41(5) %ab2 a2b(ab2a2b)321(6) 4 (a3b3)2 (a3 b3尸(a3 b3产3.求下列各式的值:122 (49)1322；(3) 10000 4 ; (4) (125) 三27(2)64(49)122100001(112)282(尹)3(104) 42118
17、(7)410112)82 (7)4)100.001町）532() 333(5)3（3）刍5 23(3)9254.用计算器求值（保留4位有效数字）(1)53 ; (2) 3213; (3) 73 2 ； (4) 675； (5) 8 31解：（1） 532= 1.710 (2) 3211= 46.88 (3) 73 亍=0.11704(4) 675 =1328.90 (5) 8 3 =2.881 (6) 8 % = 0.08735板书设计分数指数幕1.正分数指数幕意义ma n17am( a >0, m3.2.规定ma n*(a>0, m , nCNan(2)0的正分数指数幕等于0,(3)0的负分数指数幕无意义.4.n > 1 ),5.有理指数幕性质rss(1) a a = a(2) ( a r) s= a rs(a >0, r , s C Q(3) (a , b )a，(a >0, b >0, r C Q)例题例1例2学生练习