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1、2013年高三模拟考试文科数学2013.03 本试卷分第I卷和第H卷两部分，共 4页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1答题前，考生务必用0. 5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2 第I卷每小题选出答案后， 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3 .第II卷必须用0 . 5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、 修正带不按以上要求作答的答案无
2、效。4 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 M =xlgx0,N= (x| x 兰 2,则 M c N =A. 1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2 12. 在复平面内，复数 z 所对应的点在1-iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 下列命题中，真命题是A.-X R, x2x-1 0B.匸 R,si n I* 亠si nr，si n：f讥、4C. 函数y =2sin x + 的图象的一条对称轴是 x =江
3、I 5丿5D. ：u, ： R,sin ：-cos： cos：4. 设a,b是平面内两条不同的直线，I是平面外的一条直线，则“ l _ a,l _ b ”是“ I _”的A.充分条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要条件5. 函数f (x) = lg(|x -1 )的大致图象是2-10x = 0的圆心重合，且双曲线的离心率2等于.、5，则该双曲线的标准方程为2 2x y A.15202B.-125202 2x y “C.1205D.120257.已知等比数列lan '：的公比为正数，且 a2 a6 =9a4,a2 =1，则a1的值为A.3B. -31D.3
4、8设a1 1若a + b#则肌的最小值是A.21B.C.44D.89右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视正观图图，其俯视图是面积为 8'一 2的矩形.则该几何体的表面积是A.8C.16D. 24 8、210.已知实数x 1,91，执行如右图所示的流程图,则输出的x不小于55的概率为5A.-83B.-82c.31D.-311.实数x, y满足y-1,« y W2x 1,如果目标函数A.满足 -= 2的点P必为BC的中点B.满足 -=1的点P有且只有一个值为-2，则实数m的值为A.5B.6C.7D.812. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E,使得DE=CD. 若动
5、点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一 周回到A点，其中AP = AB+aAE，下列判断正确.的是11Q n2 n, S2 =12221 413n n2 3丄的最大值为3第II卷(共90 分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.13. 抛物线y2=16x的准线方程为 .3厂14. 已知sin ，且为第二象限角，则 tan的值为515. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分布五组：第一组1.13,14 ,第二组14,15 ,，第五组 17,18 .右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，
6、则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于 16.记Sk =1k ' 2k ' 3 爲nk,当k= 1,2,3,时，观察下列132114131215n n n, S,n nn,S4n32642445丄 n, S5 二 An6 1 n5 § n4 Bn2 厂，30212观察上述等式,由S1,S2,S3,S4的结果推测A-B =三、解答题：本大题共 6小题，共74分.17.(本小题满分12分)在厶ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a,b,c,若向量 1m 二 c o B , C i n，C c 且）S3 - rm i nn,.(I) 求角A的大小；(II)
7、 若b 4 ABC的面积S .3，求a的值.18. （本小题满分12分）海曲市教育系统为了贯彻党的教育方针，促进学生全面发展，积极组织开展了丰富多样的社团活动，根据调查，某中学在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分 层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本,已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑” 社团抽取的同学少 2人.社团握塑曲艺人数320240200（I）求三个社团分别抽取了多少同学；（II）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出团被抽取的同学中有 2名女生，求至少有2人担任该社团活动监督的职务，已
8、知“剪纸”社1名女同学被选为监督职务的概率 D19. （本小题满分12分）如图，已知 AB _平面ACD, DE/AB, ACD是正三角形，AD二DE =2AB,且F是CD的中点.（I）求证：AF/平面BCE;（II）求证：平面BCE _ 20. （本小题满分12分）若数列:bn /:对于N ，都有bn 2 -bn =d （常数），则称数列:bn ?是公差为d的准等差4n 1当n为奇数日时r数列.如数列cn :若Cn则数列：cnf是公差为8的准等差数列.设数列_4n+9当n为偶数时:an ?满足：aa，对于 n N ，都有 a. a. 1 = 2n.（I）求证：？an 为准等差数列；（II）求
9、证： 订鳥的通项公式及前20项和S20.21. （本小题满分13 分）已知长方形EFCDEF =2, FC.以EF的中点0为原点，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.（I）求以E，F为焦点，且过C，D两点的椭 圆的标准方程；（II）在（I）的条件下，过点F做直线I与椭II圆交于不同的两点 A、B,设FA £：FB，点DCE丁 XT坐标为（2,0 ）若丸乏2, 1 ,求TA +TB，的取值范围22. （本小题满分13分）X已知函数 g x,f x 二g xAax a 0 .In x（I）求函数g x的单调区间；（II）若函数f x在1,= 上是减函数，求实数 a的最小值；（山）若-!为
10、，x2 ； |e,e2，使f %乞f x2 a成立，求实数a的取值范围2013届高三模拟考试文科数学参考答案及评分标准2013.03说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正 确，均应参照本标准相应评分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.15 ABDCB610ADCBB1112DC(1)解析：答案 A. M =x lg x a 0 =x x , N =x x2 兰 4 =x 2 兰 x 兰 2， 所以 M "N 二x1：x乞 2.ii(1+i)1+i1 1解析：答案B. z，得(-，)位于第二象限.1 -i (1-i)(1 +i
11、) 22 22125解析:答案D.因为XX -1 =(X ) ，所以A错误.2 4当：二=0时，有sin( j H) = sin 二:sin 一：，所以 B错误.x = 4 n时，y = 0 二二2，故 C5n 错误.当时，有sin(很亠!') = cos很亠cos ：,所以D正确.2解析：答案C,若直线a,b相交，则能推出|，若直线a,b不相交，则不能推出l _,所以“ _ a , I _ b ”是“鳥”的必要不充分条件，选 C.解析：答案 B.易知f (x)为偶函数，故只考虑 x 0时f(x) = lg(x-1)的图象，将函数 y =lg x图象向x轴正方向平移一个单位得到f (x
12、)二lg(x -1)的图象，再根据偶函数性质得到f (x)的图象.解析：答案A.由已知圆心坐标为(5,0),即c=5,又E二.5,二a2=5,b2=20, a *52 2双曲线的标准方程为 1 .520-9a4，得 a2_ q _3.1 厶匕.口=2 b a_2.2 a b a ba b解析：答案 D.由 a2 a6(' q 0,舍)，所以 a1(8)解析：答案C.由题意a?q4 2 29a2q，解得 q - 9，所以 q=3 或 q = -3=4，当且仅当以，即a b(9)解析：答案1a二b时，取等号，所以最小值为4，选C.2B.由已知俯视图是矩形 丿U该几何体为一个三棱柱，俯视图的
13、矩形宽为 2 2，由面积8；2得长为4，则S = $ + 2 S( 8 2 +2 X2 24 2+屁=20 8 2.(10)解析：答案 B.由 22(2x1)11 上55,得 x_6,9-6 _3 9-18 .所以输出的x不小于55的概率为y'1, 的区域如图，可知g2x_1在三角形ABC区域内，由z二x-y得y二x-z.(11)解析：答案D,先做出C1B13yy = -x my=x 2根据三视图的性质,*yO可知直线的截距最大时，z取得最小值，此时直线为y = x 一(_2) = x 2，作出直线y =x 2，交y =2x _1于A点，则目标函数在该点取得最小值，如图y _ 2x 1
14、x=3所以直线xy=m过A点，由，得，代入xy = m得，m=3,5 = 8y = x+2=5(12) 解析：答案C.由题意可知， _0,_ 0,当0时,=的最小值为0,此时P点与A点重合，故D错误当皐=1J时，P点也可以在D点处，故A错误当皐=1=0 ,11 -1时,P点在B处，当P点在线段AD中点时，亦有 - 1所以B错误2二、本大题共4小题，每小题4分，共16分3 1(13) x=-4； (14) -； (15)27; (16).4 4(13)解析：答案x = -4，在抛物线中2p =16, p =8，所以准线方程为(14)解析：答案3，因为为第二象限角，所以 cos-4,tan45x
15、P = -4 2sin ：3=cost4(15)解析：答案(16)解析：答案27, (0.160.38) 1 50 =27.1根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为41 ;最高次项的系数11511为该项次数的倒数 A , AB=1,解得B，所以A-B =-1246 2 12三、解答题：本大题共 6小题，共74分1(17)解：(I ) rm n 二-,2二 cosB cosC sinB sinC2即 cos(B C) cos(n A)又 a (o, n,2_n3 .(n) S ABC =1 be sin A =1 be sin223 be = 4 .又由余弦定理得：2222 n 22a
16、 =b c -2bccos b c bc， 32 2 a=(b c)2 -bc =16-4 =12，a = 2、3 .(18)解：(I)设抽样比为 x，则由分层抽样可知， 数分别为 320x,240x,200x .泥塑”1则由题意得320x -240x =2，解得x二40故泥塑”、剪纸” 曲艺”三个社团抽取的人数分别为12分剪纸”曲艺”三个社团抽取的人其中2位女生记为A, B, 4位男生A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种其中含有1名女生的选法为A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,共
17、8种；含有2名女生的选法只有A,10分1113208 , 2406 , 2005 .404040(n)由(I)知，从 剪纸”社团抽取的同学为 6人, 记为 C, D, E, F.则从这6位同学中任选2人，不同的结果有A, F,B1 种.故至少有1名女同学被选中的概率为(19)解：(I)取CE中点P，连结FP F为CD的中点，8 115BP ,12分二 FP /又 AB / 1且 FP = DE.21且 AB 二一DE.2且 AB = FP ,ABPF为平行四边形， AF/BP . 二平面BCE , BP 平面BCE ,DE ,DE , AB /四边形 又 AF AF /平面 BCE .FP ,
18、10分12分(n)v ACD为正三角形， AF丄CD, AB 丄平面 ACD , DE / AB , DE丄平面ACD , 又AF 平面ACD , DE丄AF .又 AF 丄 CD , CD"DE 二 D , AF丄平面DCE .又 BP / AF - BP 丄平面 DCE .又 BP 平面BCE , 平面BCE丄平面CDE.(20)解：(I) ； an - an T =2n ( n N ) an 1 an 2 二 2(n 1)-，得 an.2 -an =2(N ”).所以，a.为公差为2的准等差数列.(n)又已知 aa , a. a. 1 =2n ( n N ), a1 a2 1,
19、即 a? =2 a所以，由(I) a1.a3.a5/'成以a为首项,2为公差的等差数列，a2,a4,a6,成以2 -a为首项,2为公差的等差数列，所以当n为奇数时，an = a12n 1当n为偶数时，an =2 a + 一1仪2 = n a ,an"n +a _1, n为奇数，n _a, n为偶数.S2)=a1 a? a3 a -亠aaa2) (a3 a4 佝炉 裁 =2 1 2 3 亠 亠 2 (19-1DyCk.EOF X12分C (119) 10 ccc2E,F,C(21)解：(I)由题意可得点=2 200.(1,0) , (1,) , (1,牙).=1(a b 0).
20、2 设椭圆的标准方程是 X2 - 丫2a2b2则 2a =|EC| |FC|= 2,22, a = . 2 ,2 2 2b 二 a-c =1.2椭圆的标准方程是 y2 =1 .2(n)由题意容易验证直线I的斜率不为0,故可设直线丨的方程为x二ky 1,2X222代入 y =1 中，得(k 2)y 2ky-1=0.2设A (X1, yj , B (X2, y2)，由根与系数关系，2k1得y1 y2 =厂，旳y2=厂，,k2+2k2+2所以将上式的平方除以 ，得因为FA FB，所以上且：0,4,所以人+丄+2=丄丄,2y2k 2'k 251112 2 _02y2"2古y2 y1
21、k九22 2 2 2k2 辽2,即 0 Ek2 乞2 .772，即皿丄匚1 .4k2二兰2：TA =(花-2,yJ,TB=(X2 -22)TA TB =(%+乂2 -4, w+y?)2又 y1y2 =22k ，X1+X2-4 =k(%y2)-2 二-型.Tk2 22八k22故|TA TB|2=(X1+X2-4)2 (%+y2)22 2 2 2 2 216(k1) 4k 16(k2) -28(k 2)+8"! (k2 2)2(k2 2)2(k2 2)211分28 816- 2 + 2 2 .k22 (k22)21971171令t = F ，因为0乞k2辽2，所以丄-1丄，丄乞t乞丄,k
22、2+2716 k2+2 2162xTA+TB71因为7162T TTA+TB227 217_16 - 28t 8t =8(t)-42，所以TA+TB乏詈IT213分(22)解：由已知函数g(x), f (x)的定义域均为(0,1)(1,：),且f(x) =ax(a 0).In x. 1In x x (I)函数g(x)严(In x)当x e时,g(x) 0.所以函数g(x)的单调增区间是(e：).In x -1二 2 ,(In x)(n)因f(x)在(1,；)上为减函数，故f (x)工止# _a空0在(1,：)上恒成立.(In x)X (1,：)时，f(X)max 乞 ° .2又f(x
23、)冲一a 亠丄a2In x In xmax = 1- a .4是a>1，故a的最小值为1 .44所以当(In x)2故当存2，即x二e2时，f (x) 所以1 -a _0,于4(川)命题"若为公2 e,e2,使f(X1)_X2a成立”等价于2当 X e,e 时，有 f(X)min 乞X max 飞”.由(n)，当 X e,e2时，f (X)max =1 -a , f X max当 X e,e2时，有 f(x)mrn -4 ”.410当a 一1时，由(n) , f(x)在e,e2上为减函数，2则 f(x)min=住?)=号 -ae?问题等价于:1 故a 丄_丄"4，故2 4e2 .220当0：a：时，由于f (x)114 -a在e,e2上为增函数，4In x 2 f 4故 f (x)的值域为f (e), f (e2)，即-a,-a.4唯一 x (e,e )，使 f (x0)=0，且满足：f (x)为减函数；f (x)为增函数；-ax, X。二(e,e ).点一衣需诘 2 _4 =4 '与0 ：a V矛盾不合题意.得 a12 .2 4e由f (x)的单调性和值域知，当 x (e,xo)时，f (x) : 0，当 x(Xo,e2)时，f (x)0，f(x)min = f(xo)二哉1 1 12所以,所以,综上,10分11分13分