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1、均值不等式及其应用 备课人 李英 时间 2013.10.16 教学目标及重点1. 掌握基本不等式及变式，会比较数（式）的大小。2. 利用基本不等式求最值。3. 利用基本不等式解决实际问题 课前预习，自主学习 一有甲、乙两个超市同时进行降价活动，分别采用两种降价方案：甲超市第一次打 m折销售，第二次打 n 折销售 ; 乙超市两次都 （m+n）/2 折销售。 请问：哪个超市的价格更优惠 ? 定理 如果 a、b 是正数，那么如何证明定理？ab2ab当且仅当 a=b 是取等号）对于负数 a、b, 以上定理成立吗？三 定理变式abab211ab如何证明？四最值定理：（ 1）若 a,b R+且 ab=p（
2、 p 为常数）则 （当且仅当 a=b 时取等号）（2）若 a+b=S（a,b R+, 则 （当且仅当 a=b 时取等号）一正、二定、三相等）五求函数的最值 1. 配方法 2. 利用均值不等式3 若等号不成立时，利用函数 单调性合作探究，问题解决均值定理在比较大小中的应用：例 1：若 a b 1,P lga lgb,Q 12(lga lgb),R lg(a 2 b) ，则 P,Q,R的大小关系是例 2：求下列函数的值域12)yxx(1)y3x 22x1 2变式： 1.若实数满足 a b 2，则 3a 3b的最小值是.112. 若 log4 x log 4 y 2，求的最小值 . 并求 x,y 的
3、值xy例 3 均值不等式变式应用1. 当 时，求 y x(8 2x) 的最大值。2.。 已知 x， y为正实数， 3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值 .3. 求函数 y 2x 1 5 2x(1 x 5) 的最大值。22例 4 “ 1”的整体替换19已知 x 0,y 0 ，且1，求 x y 的最小值。xy5. 拼凑利用函数单调性51已知 x ，求函数 y 4x 2 1 的最大值。4 4x 5求函数 y x 5 的值域。x2 4例 6 ：利用均值不等式证明不等式1已知 a,b,c 为两两不相等的实数，求证： a2 b2 c2 ab bc ca例 7 均值不等式与恒成立问题191 已知 x
4、 0,y 0且1 ，求使不等式 x y m恒成立的实数 m 的取值范围。xy综合练习，巩固提高练习 1 求下列函数的最小值，并求取得最小值时， x 的值 .1）x2 3x 1x,(x 0)1(2) y 2x ,x 3x31(3) ( y 2sin x ,x (0, )sinx2. 若 x,y R 且 2x y 1，求 1 1 的最小值 xy 已知a,b,x,y R 且a b 1，求 x y的最小值 xy3 已知 0 x 1 ，求函数 y x(1 x) 的最大值 . ；0x23，求函数 y x（2 3x） 的最大值11111a1b1c35.设0 x ，求函数 y 4x（3 2x） 的最大值。6. 正数 a，b，c 满足 abc1，求证： （1 a）（1 b）（1 c） 8abc已知 a、b、 c R ，且 a b c 1。求证：