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1、.*裂项就是朝着一定方向变形。*裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” 裂和型运算的题目不仅有，“两两抵消”型的，同时还有转化为 “分数凑整”型的，以达到简化目的。一、基本裂项例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2
2、×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3） 扩大倍数=公差X因数加一98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99
3、15;100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。解：1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100=（99×100×101-0×1×2）÷3=333300 下式：增大后减（裂差）例2、计算3×5+5×7+7×9+97×99+99×101分析：这个
4、算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、997、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）97×99=（97×99×101-95×97
5、5;99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。解：3×5+5×7+7×9+97×99+99×101=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）=1029882÷6=171647例3、计算1×2×3+2×3×4+3×
6、4×5+96×97×98+97×98×99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）3×4
7、15;5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0
8、15;1×2×3）÷（1×4）。解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+96×97×98×+97×98×99=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）=23527350例4、 计算10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88分析：算式的特点为：数列
9、公差为6，因数个数为3。解：10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）=2147376二、组合裂项例5、计算1×1+2×2+3×3+99×99+100×100分析：n×n=(n-1)×n+n解：1×1+2×2+3×3+99×99+100&#
10、215;100=1+（1×2+2）+（2×3+3）+（98×99+99）+（99×100+100）=（1×2+2×3+98×99+99×100）+（1+2+3+99+100）=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2=333300+5050=338350例6、计算1×2+3×4+5×6+97×98+99×100分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n 左式：缩小后加（裂和）解：1
11、15;2+3×4+5×6+7×8+97×98+99×100=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+（96×98+98）+（98×100+100）=（2×4+4×6+6×8+96×98+98×100）+（2+4+6+8+98+100）=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2=169150例7、计算1×1×1+2×2×2+3×
12、3×3+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n 更神奇的“倒推”解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100=1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）=（1×2
13、5;3+2×3×4+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+99+100）=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2=25492400例8、计算1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101 解：1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101（奇偶数项分开）=（1×3+3×5+
14、99×101）+（2×4+4×6+98×100）=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=171650+166600=338250例9、计算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+100×101÷2（高斯新解：101为均数的两倍）=（1
15、×2+2×3+3×4+100×101）÷2=（100×101×102÷3）÷2=171700三、分数裂项（下面常数：其分母即裂项后的裂差分子，或叫连续自然数乘积的差）例题一：1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/99×100 =（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+.+（1/98-1/99）+（1/99-1/100）=1-1/100=99/100例二：1/（1* 2* 3）+1/（2* 3* 4）+1/（3* 4* 5）+1/（4* 5* 6）+1/（21* 22* 23）= 【(1/1* 2-1/2* 3）+(1/2* 3-1/3* 4）+(1/3* 4-1/4* 5）+(1/4* 5-1/5* 6）+(1/21* 22-1/22* 23）】* 1/2=【1/（1* 2）-1/（22* 23）】* 1/2=126/253 * 1/2=63/253.;