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1、运筹学学习总结古人云“运筹帷幄之中， 决胜千里之外”，运筹学是 20 世纪三四十年代发展 起来的一门新兴交叉学科， 它主要研究人类对各种资源的运用及筹划活动， 以期 通过了解和发展这种运用及筹划活动的基本规律， 发挥有限资源的最大效益， 达 到总体最优的目标。经过这一个学期的学习， 我们应该熟练地掌握、 运用运筹学的精髓， 用运筹 学的思维思考问题，即：应用分析、试验、量化的方法，对实际生活中的人力、 财力、物力等有限资源进行合理的统筹安排。 本着这样的心态， 在本学期运筹学 课程将结束之际，我对本学期所学知识作出如下总结。一、线性规划线性规划解决的是： 在资源有限的条件下， 为达到预期目标最
2、优， 而寻找资 源消耗最少的方案。而线性规划问题指的是在一组线性等式或不等式的约束下， 求解一个线性函数的最大或最小值的问题。 其数学模型有目标函数和约束条件组 成。解决线性规划问题的关键是找出他的目标函数和约束方程， 并将它们转化为 标准形式。解决线性规划问题的主要方法有：图解法、单纯型法、两阶段法、对 偶单纯型法、计算机软件求解等方法。自 1939 年苏联数学家康托罗维奇提出线 性规划问题和 1947 年美国数学家丹齐格求解线性规划问题的通用方法单纯 形法以来， 线性规划可以说是研究得最为透彻的一个研究方向。 单纯形法统治线 性规划领域达 40 年之久，而且至今仍是最好的应用最广泛的算法之
3、一。简单的 设计 2 个变量的线性规划问题可以直接运用图解法得到。但是往往在现实生活 中，线性规划问题涉及到的变量很多， 很难用作图法实现， 但是运用单纯形法记 比较方便。 单纯形法的发展很成熟应用也很广泛， 在运用单纯形法时， 需要先将 问题化为标准形式，求出基可行解，列出单纯形表，进行单纯形迭代，当所有的 变量检验数不大于零， 且基变量中不含人工变量， 计算结束。 将所得的量的值代 入目标函数，得出最优值。利用单纯形表我们可以：（ 1）直接找出基本可行解与对应的目标函数值； （2） 通过检验数判断原问题解的性质以及是否为最优解。每一个线性规划问题都有和它伴随的另一个问题，若一个问题称为原问
4、题， 则另一个称为其对偶问题， 原问题和对偶问题有着非常密切的关系， 以至于可以 根据一个问题的最优解，得出另一个问题的最优解的全部信息。对偶问题有： 对称形式下的对偶问题和非对称形式下的对偶问题。 非对称形 式下的对偶问题需要将原问题变形为标准形式，然后找出标准形式的对偶问题。 因为对偶问题存在特殊的基本性质， 所以我们在解决实际问题比较困难时可以将 其转化成其对偶问题进行求解。在解决线性规划问题时， 我们往往会在求出最优解后， 对问题进行灵敏度分 析，即分析在线性规划问题中， 一个或几个参数的变化对最优解产生的影响。 具 体可以分析目标函数中变俩个系数、 约束条件的右端项， 增加一个约束变
5、量、 增 加一个约束条件、约束条件的系数矩阵中的参数值等的变化。下面我将通过实例分析来阐述线性规划问题在实际生活中的应用。套裁下料问题：某工厂要做 100 套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已 知原料每根长 7.4 m ，问：应如何下料，可使所用原料最省？通过问题的分析我们共可设计下列 5 种下料方案，见下表设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。 这样我们建立如下的数学模型。目标函数： min z=7.4x1+7.3x2+7.2x3+7.1x4+6.6x5 约束条件： s. t.x1+2x2+ x4=100LP() :2x3
6、+2x4+x5=1003x1+x2+2x3+3x5=100xi 0 (i=1,2,3,4,5)运用 MATLAB软件计算得出最优下料方案：按方案 1 下料 30 根；按方案 2下料 10根；按方案 4下料 50根。通过灵敏度的分析，我们可以得出影子价格分析情况：每增加一根 2.9m的圆钢，原材料总用料需要增加 3 根每增加一根 2.1m的圆钢，原材料总用料需要增加 2 根每增加一根 1.5m的圆钢，原材料总用料需要增加 1 根 像这一类的线性规划问题在我们的生活中常见的还有投资问题、 人力资源分配的 问题；生产计划的问题；配料问题等等。因此，学好线性规划在我们生活中是十 分有用的。线性规划是这
7、门课程初期的教学内容， 因此对于这个知识点的学习还是比较 认真的。但是在学习过程中一些定理的证明较为繁琐复杂， 比较难以理解。对此， 需要在课后好好复习，认真消化课程内容，才能真正理解，熟练应用。 二、整数规划整数规划是解决决策变量只能取整数的规划问题， 一个规划问题中要求部分 或全部决策变量是整数，则这个规划称为整数规划； 当要求全部变量取整数值的， 称为纯整数规划； 只要求一部分变量取整数值的， 称为混合整数规划； 决策变量 全部取 0 或 1 的规划称为 01 整数规划。整数规划的解法有割平面法和分支定界法。 整数规划中的 0-1 规划整数问题 是一个非常有用的方法。 在实际问题中， 该
8、方法能够解决很多问题， 其中指派问 题是 0-1 整数规划问题的一个特例。 0-1 整数规划的解决方法有枚举法和隐枚举 法。分枝定界法思路： 首先，不考虑解为整数的要求， 用单纯法求最优解， 以此作为目标函数值的 上限或下限；其次，选择其中一个非整数的变量， 根据与两侧相近的整数划分可行域， 在 缩小的可行域 （ 子域） 内寻求最优整数解，以此作为目标函数值的上限或下限；最后，不断重复以上过程， 直到每一个可能进一步分解的非整数都找到整数 解时为止。这方面的知识，在建模课上老师已经讲授。要注意的是， MATLAB软件的应 用与如何合理地将现实问题转化为 0-1 规划这一关键点。、运输与指派问题
9、人们在从事生产活动中， 不可避免地要进行物资调运工作。 如某时期内将生 产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区，根据各地 的生产量和需要量及各地之间的运输费用， 如何制定一个运输方案， 使总的运输 费用最小。这样的问题称为运输问题。指派问题 （assignment problem） 也称分配或配置问题， 是资源合理配置或最 优匹配问题。解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件：问题求最小值、人数与工作数相等、效率非负四、图论与网络分析这一章我们主要学习了图论有关知识，学习了如何利用图来解决最小数问 题、最短有向路问题、最大流问题与最小费用流问题。在这章的学习中， 通过直观的图
10、， 我们将生活中的运输问题、 网络规划问题 化成简单的图，体会回到了数学的神奇与强大应用性。 五、网络计划图、排序问题与统筹规划问题在这三章的中，我们主要学习了如何利用图来解决生产生活中的人力、 物力、 财力等资源以及工作时间限制下的生产加工流程的统筹规划。 通过做网络图， 我 们可以清晰地求解出每个问题的合理安排法方法与解决问题的最少时间， 最优计 划。使我们深入解了了运筹学在实际生活中的应用。经过一个学期的学习，我更加确定当初选择运筹学这门课程是个正确的选 择。运筹学不是单纯的一门数学课程， 而是各种生活生产实际问题的结合。 它让 我知道了数学不仅仅是理论的学术问题， 更是具体的生活问题。
11、 而对于个人， 我 应该更好地学习如何将学过的知识与实际生活相结合， 将运筹学运用到实际问题 上去，学以致用，这样才是真正地学到知识，掌握知识。利用单纯形表我们可以：（ 1）直接找出基本可行解与对应的目标函数值； （2） 通过检验数判断原问题解的性质以及是否为最优解。每一个线性规划问题都有和它伴随的另一个问题，若一个问题称为原问题， 则另一个称为其对偶问题， 原问题和对偶问题有着非常密切的关系， 以至于可以 根据一个问题的最优解，得出另一个问题的最优解的全部信息。对偶问题有： 对称形式下的对偶问题和非对称形式下的对偶问题。 非对称形 式下的对偶问题需要将原问题变形为标准形式，然后找出标准形式的
12、对偶问题。 因为对偶问题存在特殊的基本性质， 所以我们在解决实际问题比较困难时可以将 其转化成其对偶问题进行求解。在解决线性规划问题时， 我们往往会在求出最优解后， 对问题进行灵敏度分 析，即分析在线性规划问题中， 一个或几个参数的变化对最优解产生的影响。 具 体可以分析目标函数中变俩个系数、 约束条件的右端项， 增加一个约束变量、 增 加一个约束条件、约束条件的系数矩阵中的参数值等的变化。下面我将通过实例分析来阐述线性规划问题在实际生活中的应用。套裁下料问题：某工厂要做 100 套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已 知原料每根长 7.4 m ，问：应如何下料
13、，可使所用原料最省？通过问题的分析我们共可设计下列 5 种下料方案，见下表设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数 这样我们建立如下的数学模型。目标函数： min z=7.4x1+7.3x2+7.2x3+7.1x4+6.6x5 约束条件： s. t.x1+2x2+ x4=100LP（） : 2x3+2x4+x5=1003x1+x2+2x3+3x5=100xi0 (i=1,2,3,4,5)运用 MATLAB软件计算得出最优下料方案：按方案 1 下料 30 根；按方案 2 下料 10根；按方案 4下料 50根。 通过灵敏度的分析，我们可以得出影子价格分析情况： 每增加一根 2.9m的圆钢，原材料总用料需要增加 3 根 每增加一根 2.1m的圆钢，原材料总用料需要增加 2 根 每增加一根 1.5m的圆钢，原材料总用料需要增加 1 根 像这一类的线性规划问题在我们的生活中常见的还有投资问题、 人力资源分配的 问题；生产计划的问题；配料问题等等。因此，学好线性规划在我们生活中是十 分有用的。