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1、孤立子与孤子方程孤立子的研究历史1834年，英国 Scott. Russell 偶然观测到一种奇妙的水波： 一条在狭窄河道的船被两匹马拉着前进。 突然， 船停了下来， 河道内被船体 带动的水团并未停止， 他们聚集在周围激烈第扰动着， 然后呈现一个长度约 30英尺，高约 11.5 英尺的滚圆而平滑的巨大孤立波峰，以每小时约 89 英里的速度向前推进了 12英里, 最后终于消失在逶迤的河道中。Russell 认为他观测到的是流体运动的一个稳定解，并称之为“孤立波”。 但是， Russell 并未能成功证明并使物理学家信服他的观点。1895年，荷兰数学家 Korteweg和他的学生 de Vries
2、 研究了浅水波的运动， 在长波近似和小振动的前提下，建立了单向运动方程 (KdV) ：其中 为波峰高度， l 为水深， g 为重力加速度， 、 均为常数。 通过求解该方程，得到了与 Russell 描述一致的孤子解，从而从理论上证明 了孤立波的存在。然而，孤立波的稳定性并未得到解决 ,以及两个孤立波的碰撞后是否 会被破坏？(非线性方程不满足叠加原理，人们担心碰撞可能会破 坏孤子解)。由于担心孤立波“不稳定”从而没有太大物理意义，孤 立波的研究并没有大规模开展。1955年，物理学家 Fermi,Pasta, Ulam 非线性振子实验。将 64个质点用非线 性弹簧连接成一条非线性振动弦。 初始时能
3、量集中在一个质点上， 期望经过 相当长时间后非线性作用会使能量均分、各态历经等现象出现。结果发现， 经过相对长时间后， 几乎全部能量又回到了初始分布。 后来 Toda研究类似的 问题晶体内部非线性振动时得到孤立波解，该现象才得以解释。1962年，Perring 和Skyrme(Nucl. Phys. 31,550 )研究基本粒子模型的 sin-Gordon 方程，得到该方程孤立波解的解析解， 并发现该解具有弹性碰撞 的特点，即碰撞后两个孤立波解也保持有原有的形状和速度。1965年，美国物理学家 Kruskal 和 Zabusky(Phys.Rev.Lett. 15,240) 用数值 模拟方法研
4、究了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程， 进一步证实 了孤立波相互作用后不改变波形的论断。 由于这种孤立波具有类似与粒子碰 撞不变的性质， 他们命名这种孤立波 (Solitary Waves)为孤立子 (Solitons) 。 以后的二十多年， 孤立子理论的研究蓬勃发展， 研究和应用的领域包括： 流体物理、固体物理、基本例子物理、等离子体物理、 凝聚态物理、超导物理、 激光物理、生物物理等。孤立子的定义及特点孤立波及孤立子定义 通常我们把非线性发展方程的 局部行波解 ，成为“孤立波”。所为局部，是 指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零或确定常数的情况。 我们把这些稳 定的孤立波， 即通过
5、相互碰撞后的、 不见消失而且波形和速度也不会改变或 者只有微弱改变的孤立波称为“孤立子”。孤立子一般具有以下特性1）空间局域化（能量比较集中于一个局域）；2）单个孤子是一个行波解；3）他们是稳定的；4）两个孤子相互作用时出现弹性散射现象 （即波形和波速能恢复到原状） 孤立子的形状对于一大批非线性的波动方程和方程组， 它们的孤立子一般具有如下四种形 状，分别叫做钟型（ a）、蜗旋型（b） 、扭结型（c） 、反扭结型（d） ：三、 几类经典的孤子方程具有孤立子解的方程称为孤子方程。本节讲述一些孤子方程与孤子解，这些孤子解具有弹性碰撞的特性。（1）Korteweg-de Vris 方程（ KdV方程
6、）Korteweg-de Vris 方程的一般形式为：txxxx其中 可正可负。该方程可以看成是色散方程与一个非线性方程的叠加：1、考察一个具有色散的线性波动方程：t xxx 0该方程的解具有如下形式：kkkk0 exp i (kxt)其中 k 0为常数，k3不同的分量以不同的速度传播，这种现象称为色散。 因此，一个由多个 k 组成的脉冲随着它向前传播将会散开。2、另一方面，没有色散的非线性方程：t x 0该方程具有形式解： f （x ct）,c脉冲的不同点的速度不同，于是脉冲向前传播时因挤压变形：对一些特殊的具有色散的非线性方程(例如 Korteweg-de Vris 方程)，若 由于非线性
7、引起的脉冲的挤压与由色散引起的扩展相互抵消，则可以使行波保 持一个永久的形状，从而得到孤子。KdV方程具有孤立子解：(x,t) 12a2 sech2a(x 4a2t x0)a,x0 为常数， sechx 2(ex e x) 1 。 该孤立子解具有以下空间形态：KdV方程描述了弱非线性、 弱色散系统，包括浅水波、 等离子体中离子声波， 磁流体动力学波等。一些相当广泛的弱非线性相互作用下的波动方程组，他们 都可以归结为 KdV方程。(2) 非线性薛定厄( Schr?dinger )方程 非线性薛定厄( NLS)方程为： i xx | |2 0其中 (x,t) 为复函数NSF方程的孤立子解具有如下形
8、式：a= 0 sech0(x at )exp i (x bt)其中a b分别是 envelope '和 carrier '的速度。NSL方程描述了具有弱非线性和强色散系统，例如：深水波，光纤中信号的 传播和流体中的涡旋 (Vortices) 等。(3) sine-Gordon 方程sine-Gordon (sG) 方程首先是在微分几何学出现的， 一个负常曲率曲 面对应于 sine-Gordon 方程的一个非零解。 sG方程用于研究基本粒子 的运动，也常常用在晶格错位等系统。该方程的形式为：xx tt sinsG方程具有三种基本的孤立子解：a) 扭结解：4tan 1exp( x
9、ct x0 ) / (1 c2 )b) 反扭结解：4tan 1exp (x ct x0) / (1 c2)（c）吸引子解：4tan 1(tan a)sin(cos a)(t t0 )sec h(sin a)(x x0)对于sG方程的解，我们给出一个简单的力学图象：对于 sG方程 ： xx tt sin假定其解具有行波解的形式： (x,t) ( ), x ct,c 为常数 代入 sG方程，得到： (1 c2 )sin V其中 V 1 cos将 看成振幅， 看成时间，上述方程对应于一个 m (1 c2) 的粒子在在势场V( ) 中的运动。四、 求解孤子方程的孤立子解 给定一个非线性方程，一般情况下，没有一般的方法知道它是否存在孤子解， 或如何来寻找孤子解。以下是一些成功应用一些特殊系统的方法：(1) 反散射方法(2) Backlund 变换（3）Hirota 方法（4）数值方法（可适用于不可积系统） 这里不做详细介绍。