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1、数学建模实验实验报告学号： 姓名： 实验十一：微分方程建模2一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点 A正对着的另一岸B点，已知河水流速vi 与船在静水中的速度V2之比为k.1 .建立小船航线的方程，求其解析解；2 .设d=100m,vi=1m/s,v2=2m/s,用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及 航行曲线，作图，并与解析解比较。一、问题重述我们建立数学模型的任务有：1 .由已给定的船速、水速以及河宽求出渡河的轨迹方程；2 .已知船速、水速、河宽，求在任意时刻船的位置以及渡船所需要的时间。二、问题分析此题是一道小船渡河物理应用题，为典型的常微分方程模型，问题中船速、水 速、河宽已经给
2、定，由速度、时间、位移的关系，我们容易得到小船的轨迹方程， 同时小船的起点和终点已经确定，给我们的常微分方程模型提供了初始条件。三、模型假设1 .假设小船与河水白速度恒为定值 必、V2 ,不考虑人为因素及各种自然原因；2 .小船行驶的路线为连续曲线，起点为 A ,终点为B ;3 .船在行驶过程中始终向着B点前进，即船速V2始终指向B;4 .该段河流为理想直段，水速M与河岸始终保持平行。如图，以A为原点，以沿河岸向右方向为x轴正向，以垂直河岸到B端方向为y轴正向建立平面直角坐标系。其中河水流速为 Vi ,小船速度为V2 ,且Vi：V2 k ,合速度为v ,河宽为d , 为V2与直线AB的夹角o在
3、t时刻，小船在x轴方向的位移为x,在y轴方向上的位移为y ,则t时刻，小dx -vx 一 v1 v2 sin dtxVi V2=.(d y) x船在x轴，y轴方向的速度分别为d yV2 cosV2 一-22 ,(2).(d y) xt 0,x(0) Qy(0) 0.vydydtdyv2 cos由(2)/(1)得到 dx v1 v2 siny(0) 0.五、模型求解(1)题22对上式求倒数得吆vi31nk”(d y).，取dy v2 cosd y d y则上式可化为dxkji/dyp ,由 xp(dy),得dx d ?dp pdy ydp,代入上式, 整理，得.dp 3,积分可得 i p2 d
4、yln I p小p7 I k ln I -C- I ,也就是 p4一p"()k ,代入d yd yxp:以及初始条件x 0,y 0 ,我们可以得到解析解d yy d y dk (dy)kxIIo2(dy)kdk(2)题由初始条件，设计程序(见附录)对该情况下的微分方程的数值解进行分析,结果如下（省略了前60s的数据）：60.00006.545198.280360.10006.451998.331960.20006.358598.382760.30006.264998.432760.40006.171198.481960.50006.077198.530460.60005.982998
5、.578260.70005.888698.625160.80005.794098.671360.90005.699398.716861.00005.604398.761561.10005.509298.805461.20005.413998.848661.30005.318398.890961.40005.222698.932661.50005.126698.973761.60005.030599.014161.70004.934399.053761.80004.837999.092561.90004.741499.130462.00004.644899.167662.10004.548199
6、.204062.20004.451299.239562.30004.354399.274362.40004.257299.308362.50004.160099.341562.60004.062799.373862.70003.965299.405462.80003.867799.436262.90003.770099.466263.00003.672299.495363.10003.574399.523763.20003.476299.551363.30003.378199.578163.40003.279899.604163.50003.181499.629263.60003.082999
7、.653663.70002.984399.677263.80002.885599.700063.90002.786599.722564.00002.687599.744264.10002.588499.765064.20002.489399.78502.39012.29092.19172.09241.99301.89361.79421.69471.59511.49551.39591.29621.19651.09680.99690.89710.79720.69720.59720.49720.39720.29720.19720.09720.00000.00000.0000-0.0000-0.000
8、00.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.000064.300064.400064.500064.600064.700064.800064.900065.000065.100065.200065.300065.400065.500065.600065.700065.800065.900066.000066.100066.200066.300066.400066.500066.600066.700066.800066.900067.000067.1000
9、67.200067.300067.400067.500067.600067.700067.800067.900068.000068.100068.200068.300068.400068.500068.600099.804199.822499.839899.856499.872299.887199.901199.914399.926799.938299.948999.958799.967799.975899.983199.989699.995299.998999.999299.999499.999799.999899.9999100.0000100.0000100.0000100.000010
10、0.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.000068.7000 -0.0000 100.000068.8000 -0.0000 100.000068.9000 -0.0000 100.000069.0000 -0.0000 100.0000我们看到，在t 66.6s时，小船到达对岸B。接下来我们给出小船的x t,y t图像以及小船的轨迹以及与解析法的比较图像 如下图D 10 2
11、C 儿 4。 田 配 F口 OJ 四 1000100 团 印-3J由第三个图，我们可以看出数值解与解析解图像几乎重合，差别不大。六、附录：(1) 建立m文件boatl.mfunction dx=boat1(t,x)v1=1;v2=2;d=100;dx=v1-v2*x(1)/sqrt(x(1)A2+(d-x(2)A2);v2*(d-x(2)/sqrt(d-x(2)A2+x(1)A2)；end(2)主程序如下：tt=0：0.1：100；x0=0,0；t,x=ode23s(boat1,tt,x0);%用龙格-库塔方法计算微分;t,xfigure(1)plot(t,x),gridtitle('xy 分位移-时间曲线图');legend('x-t','y-t')figure(2)plot(x(:,1),x(:,2)title('小船轨迹图);Y=0:0.1:100;d=100;v1=1;v2=2;k=v1/v2;X=0.5*d*(1-Y./d)A(1-k)-(1-Y./d)A(1+k);figure(3)plot(X,Y,'r',x(1:100:end,1),x(1:100:end,2),'g')title（' 解析法（红）与龙格-库塔（绿）比较,）;