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1、一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【 例1 】已 知、是 方 程x 2x10的两个实数根，则代数式2(22
2、)的值为思路点拨所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为( 例【例 2】如果 a 、 b 都是质数，且 a 2 13am 0 ， b 2 13b m0 ，那么 ba 的值为 ( )abA 123B 125或2C 125D 123或 222222222思路点拨可将两个等式相减， 得到a、 的关系，由于两个等式结构相同， 可视、 为方程x213 x m0ba b的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1 、 x2 的对称式，这类问题可通过变形用x1 + x2 、 x1 x2 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当
3、组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式【例 3 】 已知关于 x 的方程： x2(m 2)xm204(1) 求证：无论 m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根(2)若这个方程的两个实根x1 、 x2 满足 x2x12 ，求 m的值及 相应的 x1 、 x 2 思路点拨对于 (2) ，先判定x1 、 x2 的符号特征，并从分类讨论入手【例 4】 设 x1 、 x2 是方程 2x24mx2m23m20 的两个实数根，当m为何值时 ， x12x22 有最小值 ?并求出这个最小值思 路点拨 利用根与系数关系把待求式用 m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下 ( 0) 进
4、行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性【例 5】 已知：四边形 ABCD中， AB CD，且 AB、 CD的长是关于 x 的方程 x 22mx ( m1) 270 的两个24根(1) 当 m 2 和 m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由(2) 若 M、N分别是 AD、BC的中点，线段 MN分别交 AC、BD于点 P，Q，PQ 1，且 AB<CD，求 AB、CD的长(2003年哈尔滨市中考题)思路点拨对于 (2) ，易建立含AC、 BD及 m的
5、关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数” ( 方程 ) 转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性学历训练1 (1)已知 x1 和 x2 为一元二次方程2 x22x3m 1 0的两个实根，并x1和 x2满足不等式x1 x21 ，x1x 24则实数 m 取值范围是(2)已 知 关于 x 的 一 元 二 次方 程82(m1)x m7 0有 两个 负 数 根， 那 么 实 数 m 的取 值 范 围x是2已知、是方程的两个实数根，则代数式3222 的值为3
6、CD是 Rt ABC斜边上的高线，AD、 BD是方程 x 26 x 40 的两根，则 ABC的面积是4设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x 2px q0 的两根， x1 +1、 x2 +1 是关于 x 的方程 x2qx p0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于 ( )A 1，-3 B 1，3 C -1 ，-3D -1，35在 Rt ABC中， C 90°， a、 b、c 分别是 A、 B、 C 的对边， a、b 是关于 x的方程 x27x c 7 0 的两根，那么 AB边上的 中线长是 ( )A 3B 5C5 D2226方程 x 2px 1997 0恰有两个正整数根x1 、
7、x2，则p的值是 ()(x11)( x2 1)A 1 B -l C 1D 1227 若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：x1 ( x11) x 2 ( x21) ( x1 1)( x 2 1) ，判断(a b) 24 是否正确 ?8已知关于 x 的方程 x2(2k3)x k 210 (1) 当 k 是为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根 x、 x满足： x2x 3，求 k 的值1219已知方程x2pxq0 的两根均为正整数，且pq28 ，那 么这个方程两根为10已知、是方程 x2x10 的两个根，则43的值为11 ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2 x212
8、xm 0 的两根，则 m的取值范围是12两个质数 a 、 b 恰好是整系数方程的两个根，则ba 的值是 ( )abA 9413B 9413C 9413D 9413194999713设方程有一个正根x1 ，一个负根 x2 ，则以 x1、 x2为根的一元二次方程为 ( )A x23x m2 0B x 23x m 2 0Cx21420D x21 4mx 2 0mx14如果方程(x1)(x22x)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是m( )A 0 m 1 B m 3C 3m1D 3 m 144415如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且 AB、 BC(AB>B
9、C)的长是关于 x 的方程的两个根(1) 求 rn 的值；（ 2）若 E 是 AB 上的一点， CF DE于 F，求 BE为何值时， CEF的面积是 CED的面积的 1 ，请说明理由316设 m是不小于1 的实数，使得关于 x 的方程工x22(m2)xm23m30 有两个不相等的实数根x1 、x2 (1) 若 x1 2x2 26 ，求 m的值(2) 求 mx1 2 mx2 2 的最大值1 x1 1 x22217如图，已知在 ABC中， ACB=90°，过 C 作 CDAB于 D，且 AD m，BD=n，AC：BC 2： 1；又关于x 的方程 1 x 22(n 1) xm2120两实数根的差的平方小于192，求整数 m、 n 的值418设 a 、 b 、 c 为三个不同的实数，使得方程和x 2ax 10 和 x 2bxc 0 有一个相同的实数根，并且使方程 x 2xa 0 和 x 2cxb0 也有一个相同的实数根，试求abc 的值参考答案