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1、 个性化辅导教案学习中心： 授课老师：学生姓名学生性别填写时间学科数学年级高一教材版本必修四课题名称平面向量的数量积及运算律课时计划（全程或具体时间）第（ ）课时共（ ）课时授课时间教学目标同步教学知识内容教学目标 ：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的几个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点平面向量数量积及运算规律教学难点 平面向量数量积的应用一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角C2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|
2、b|cosq叫与的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并规定0与任何向量的数量积为0 3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|4向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积5两个向量的数量积的性质：1 / 7设a、b为两个非零向量1°ab Û a×b = 0
3、2°当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b| 特别的a×a = |a|2或3°cosq = ；4°|a×b| |a|b|6判断下列各题正确与否：1°若a = 0，则对任一向量b，有a×b = 0 ( )2°若a ¹ 0，则对任一非零向量b，有a×b ¹ 0 ( × )3°若a ¹ 0，a×b = 0，则b = 0 ( × )4°若a×b = 0，则a 、b至
4、少有一个为零 ( × ) 5°若a ¹ 0，a×b = a×c，则b = c ( × )6°若a×b = a×c，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立 ( × )7°对任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×(b×c) ( × )8°对任意向量a，有a2 = |a|2 ( )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律：a × b = b × a证：设a，b夹角为q，则a
5、5; b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)证：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(
6、-cosq) =|a|b|cosq3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面内取一点O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和， 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2 c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c说明：（1）一般地，(·)（&
7、#183;）（2）··，0（3）有如下常用性质：，（）（）····()·三、讲解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 两式相减：2a×b = b2代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，则cosq = q
8、 = 60°例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：ABCD中，=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四边形ABCD中，且····，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：0，（），()（）即··由于··，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由··，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上
9、式得·(2)即·，也即ABBC综上所述，四边形ABCD是矩形评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系五高考链接1（福建卷）已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30°，设=m+n(m、nR)，则等于A. B.3 C. D. 2（全国II）已知向量（4，2），向量（，3），且/,则 （A）9 (B)6 (C)5 (D)33（山东卷）设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)
10、,d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(2,6) (C)(2,6) (D)(2,6)4（湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则A（） B（） C（） D（）5（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.6（湖北卷）已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则A. B. 4 C. D. 27(陕西卷) 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形8（湖南卷）已知向量若时，；时，则 A B. C. D. 9（全国2文9）把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）ABCD9（辽宁卷）设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 10（安徽卷）在中，M为BC的中点，则_。（用表示）11.（浙江卷）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab,若a=1,则a+c的值是