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1、学习必备欢迎下载年级初一学科数学版本通用版内容标题不等式的概念与性质编稿老师王占元【本讲主要内容 】不等式的概念与性质包括不等式、不等式的解、解集、一元一次不等式、不等式的性质等。【知识掌握】【知识点精析 】1. 用“ <”或“ >”号表示大小关系的式子，叫做不等式。2. 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。3. 使不等式成立的未知数的解的集合，简称解集。4. 含有一个未知数，且未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式。5. 不等式的性质：（ 1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。（ 2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（ 3
2、）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。【 解题方法指导 】例 1. 若 a1 ，下列判断中正确的是（）A.aaB.aaC. aaD.a，a 大小不确定分析： a1 ，即 a 为一个负数，即a a 不能大于a ，排除 A 。 B 是正确的，故选 B0 ；a0C 不正确，排除C； D也应排除。解： 对于A ，a1， 即a 是一个负数a0a0 a 不能大于a ，故排除A对于 B ， a 是负数，a 是正数a a ，正确对于 C，a0 ，a0a a ，故排除 C对于D ， a，a 大小可以确定，故排除D因此选 B评析： 此题运用了排除法，排除了加以判断，如由a1 ，不妨设 aA 、 C
3、、 D，剩下的B 必然正确。也可以用特殊值法2 ，则a2 ，可作判断。学习必备欢迎下载例 2.下列各式中正确的是（）A.aaB.4a5aC.a1D.3a2aa分析： 可给 a 赋予一个特殊值，排除三个不正确的。解： 对于 A ，若 a3 ，则a 3，3不大于3，故排除 A对于 B ，若 a0，则4a5a，故排除 B对于 C，若 a1，则 a1 ，故排除 Ca对于 D ，正确故选 D评析： 用特殊值进行判断比较容易做出。例 3.如果 a0，且 ab0 ，那么（）A.b0B.b0C. b0D.b0分析：由 a0， ab0，可知不等式两边同乘以了一个b，但“>”变成了 “”，则 b 0 ，故选
4、 D。解：a0，且 ab0b0故选 D评析： 若 a0， ab0，则 b 0又 a0，ab0，则 b0b0例 4.若 ab ，且 a、 b 同号，则下列各式正确的是（）A.a3b3B. a2b 2C.a111bD.ba分析： 可用具体的数举出反例，排除不正确的选择支。解： 对于 A ，ab ，且 a、b 同号当 a 0，且 b 0时如 a1 ， b132则满足 a b33但1132学习必备欢迎下载 A 是错误的故排除 A对于 B ，当 a2， b3 时虽然23但 (2)2( 3)2 B 是错误的故排除 B对于 C，当 a2 ， b3 时，满足 a b但 a221b 3 3 C 是错误的故排除
5、C对于 D ，由于数学选择题是四选一，必是正确的实际上，当 a0， b0 时， ab 0ab ，11ababba即 1 1a b当 a0， b0 时， ab0结论同样成立故选 D评析： 利用特殊值法举出反例，从而把错误的选择支排除掉，这是一种常用的方法。【考点突破】【考点指要】不等式在数学中应用很广泛，而且在解决实际问题时也常用到，因此， 在中考试题中也频频出现，不过，难度不是很大，在一些选择题中，主要是应用不等式的性质作出判断，当对字母的判断题有困难时，可以用特殊值法进行判断。【典型例题分析 】例1. 如图所示，数轴上表示的是一个不等式的解集，这个不等式组的整数解是_ 。-2-101分析：
6、此题是不等式组的题目，要注意以下两点，一是2 ，1 不包括在内，二是求它的整数解。解： 由 x2，且 x 1学习必备欢迎下载则2x1 的范围内的整数解为1， 0这个不等式组的整数解为1， 0评析：在解不等式组的题目中， 要特别注意题目中的限制条件， 还要注意包括不包括极端点。例 2. 不等式 1 2x1 的解集在数轴上表示正确的是（）5020202-20ABCD分析： 将给出的不等式12x1 的解集求出，然后再从数轴上加以表示，作出正确的5判断，要特别注意“”这个条件。12x解：112 x52x4x2故选 C评析： 在解不等式中，要根据不等式的性质去求它的解集，特别要注意不等号的方向，以及包括
7、不包括等号。例是（3.如图所示， 天平右盘中每个砝码的重量都是）1g，则图中显示出某药品A 重量的范围A. 大于C. 大于2g2g 且小于3gB. 小于D. 大于3g2g 或小于3gAA（ 1）（ 2）分析： 由图（ 1）可以看出 A>2g ，由（ 2）可以看出 a<3g所以 2g A 3g应选 C解： 由（ 1）得 A1g 1g ，即 A2g学习必备欢迎下载由（ 2），得 A1g1g1g ，即 A3g2gA3g即 A 大于 2g 且小于 3g故选 C评析： 由天平看出A 与砝码之间的不等关系，可以求出别一是“且” ，一是“或” ，由于这里同时满足，故应取“且”A 的取值范围，但，
8、故选 C 而不选C、 D D。的区例 4. 指出下列解法错在哪里？（ 1） a b4a4b（2）525a2a（3）363 6 a a分析： 此题中的三道题都错误的，要指出错在哪里，需根据不等式的性质来加以说明，对于（ 1），显然是不等式两边乘以4 后没有变号；对于（2），没有对a 进行讨论，便得出了不等号方向没变；对于（3），也没有对a 进行讨论。解： 在不等式a<b 的两边同乘以（4 ），不等式要改变方向，但这里没有改变方向是错误的（ 2）由于不知道 a 的正、负或零，便不改变不等号的方向，因此是错误的。正确的解是：当 a>0 时，5a2 a ；当 a<0 时，5a2 a
9、；当 a=0 时，5a2a 。（ 3）此题也没有对a 进行分类讨论，正确的解法应是：当 a>0 时，36 ；aa当 a 0 时，36aa评析： 对于不等式两边同乘以一个字母时，一定要对字母进行分类讨论。例 5. 试确定下列不等式的解集（ 1） |x|2（ 2） |x|0（ 3） |x|0（ 4） |x|0分析： 对于（ 1）， |x|0， | x|2 的解集为空集，即不存在这样的数x。对于（ 2），| x|0，x 0或x0对于（ 3），|x|0，x 为全体数对于（ 4）， |x|0 ， x0学习必备欢迎下载评析： 此题判断时一定要细心，当判断有困难时，也可以通过数轴帮助进行确认，由于我们
10、现在有些数还没有学到（比如无理数） ，因此在描述时可能不够规范。【综合测试】1. 图中表示了某个不等式的解集，该解集中所含的自然数解的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7-2042.由 xy 得到 axay 的条件是（）A. a0B.a0C. a0D.a03.若 a 是有理数，则在下列等式中，一定成立的是（）A. a0B.2aaC. a22 0D.a204. 用不等号表示下列关系：（ 1）x 是正数；（ 2）x 是负数；（ 3）x 是非负数；（ 4）x 是非正数；（ 5）x 不大于 y；（ 6）x 不小于 y。5. 填空题：（ 1）若 |x| | y| ，则 x 2 _ y 2 ；（ 2
11、） |x y|_ |x| |y|；（ 3） |xy|_ |x|· |y| 。6.如果 0a1 ，用“ <”连接 a2， 1 ， a 。a7.当 a0 时，不等式 | x|a 的解集是（）A. xaB.axaC. 无解D.xa或 xa8.若关于 x 的不等式 (a1)x a 1 的解集为 x1 ，则 a 的取值范围是（）A. a0B.a1C. a1D.a19.若 ab ，则下列结论中错误的是（）A. a3 b3B.3a3babD.abC.3310.若 a0 ，则下列各式中一定成立的是（）学习必备欢迎下载A.a21 1B.1 a20C.11D.1111aa学习必备欢迎下载【综合测试答案】1. C解： -2 不包括在内，但4 包括在内，一共有6 个自然数，故选C。2. D解： 不等号的方向改变了，a0又给出了等号，a0a 0故选 D3. C解： A 不一定成立， a 可能小于0，也可能等于0，故排除 A 。B 不一定成立，如a0，则 2aa ，故排除 B 。C 成立，因为 a20 ，所以 a220 。D 不一定成立，因为a2 可能等于 04. （ 1） x 0 ；（2） x0 ；（ 3） x0 ；（ 4） x0 ；（5） xy ；（ 6） x y 。5. （ 1）<；（ 2） ；（ 3） =216.aa7.C8.B9.D10.A