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1、第六十七课时正态分布课前预习案考纲要求1. 了解正态分布与正态曲线的概念，掌握正态分布的对称性；2. 能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率.以*根底知识梳理1. 正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(X)2ne (T2(-1 ,CT 为参数，且 CT >0,8<+ m ).X &2, X R(其中2 (T2. 正态曲线的性质(1) 曲线在x轴的 _，并且关于直线 对称.(2) 曲线在时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低的形状.(3) 曲线的形状由参数 (T确定，(T越，曲线越“矮胖；(T越，
2、曲线越“高瘦.3. 正态变量在三个特定区间内取值的概率值(1) P( 口一厅 <X<y + 厅)=68.3%;(2) P( 口一 2疔 <X< + 2 c) = 95. 4% ;(3) P( 口 3 c <X< 口 + 3 c) = 99.7%.注意：通常认为服从正态分布N( 口，c 2)的随机变量 X只取(口 3c, 口 + 3c )之间的值，并简称为3 c原那么.正态总体几乎总取值于区间(口一 3c , 口 + 3 c )之内，而在此区间以外取值的概率只有0.003，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.亠预习自测1 . E NO,c2)且P( 2
3、W E W 0)= 0.4，贝yP(E >2)=2.假设 XN(0,1)，且 P(X<1.54) = 0.938 2，那么 P(| <1.54)3.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (X)的图象，且1f(X)干ex 10那么这个正态总体的平均数与标准差分别是A. 10 与 8B. 10 与 2C. 8 与 10D. 2 与 104. 设随机变量X服从正态分布 N(2,9)，假设RX>c + 1) = P(X<c 1)，那么c等于 ( )A. 1B. 2C.3D. 45.随机变量E服从正态分布N2 ,T2)，且 P( E <4) = 0.8，那么 R0
4、< E <2)等于()A. 0.6B.0.4C. 0.3D.0.2第六十七课时正态分布(课堂探究案)丄典型例题< 2n考点1正态曲线的性质 【典例1】假设一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式;N 1 1 , T 1)( T 1>0)和 1 2 ,求正态总体在(4,4)的概率.【变式1】设两个正态分布2(T 2)( (T 2>0)的密度函数图象如下图，那么有A. 口1<口2,(T 1<(T 2B. 口1<口2,T 1 >T 2C. 口1>12,T 1 <T 2D. 11
5、>12,T 1 >T 2考点2服从正态分布的概率计算(1)求总体随机变量的期望和方差； 求成绩X位于区间(52,68)的概率.【变式2】(1)在某项测量中，测量结果E服从正态分布N(1 , T2) ( T>0).假设E在(0,1)内取值的概率为0.4，贝U E在(2 ,+)上取值的概率为 .1假设XN 0, 9，贝U X落在(一8, 1 U 1 ,+)内的概率为 考点3正态分布的应用【典例3】电灯泡的使用寿命XN(1 500,100 2)(单位：h).(1) 购置一个灯泡，求它的使用寿命不小于1 400小时的概率；(2) 这种灯泡中，使用寿命最长的占0.15%，这局部灯泡的使
6、用寿命至少为多少小时?【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩E服从正态分布，即EN(100,100)，总分值为150分.(1)试求考试成绩 E位于区间(80,120)内的概率;(2)假设这次考试共有2 000名考生参加,试估计这次考试及格(不小于90分)的人数.*当堂检测1.三个正态分布密度函数f i (x)=2X i1：e i2 n ff i(X R, i =1,2,3)的图象如下图，那么A.口 1< a 2= a 3，(T 1 =CT2>3B. 1> a 2= 口 3，CT 1 =CT 2<3c.1= a 2< a 3，CT 1<2=(T 3D.CT 1
7、 = CT2<32.设随机变量 XN(0，ff2)，且P( 2W X< 0) = 0.4，贝U R0 W X 2)的值是A. 0.3B. 0.4C.0.5D. 0.6随机变量X服从正态分布N3,1)，且 R2 W X 4) = 0.6826，贝U P(X>4)等于A. 0.158 8B. 0.158 5C.0.158 6D. 0.158 74.随机变量N3,2 2)，假设 E = 2 n + 3，那么D( n )等于A. 0B. 1C. 2D. 4课后拓展案1.某市组织一次高三调研考试,*A组全员必做题考试后统计的数学成绩服从正态分布,x 80200( x R)，那么以下命题
8、不正确的选项是其概率密度函数为 f (x)( )A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为1012. 设随机变量E服从正态分布 N 口，d2)，函数f(x) = x2+ 4x +E没有零点的概率是-,那么口等于( )A. 1B. 2C. 4D.不能确定3. 随机变量E服从正态分布 N1 , d 2)，P( E <0) = 0.3，贝U R E <2) =.4. 某中学2 000名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N(120,100)，那么此校
9、数学成绩在140分以上的考生人数约为 .(注：正态总体 N( 口，d 2)在区间(口一 2d, 口 + 2 d)内取值的概率约为0.9544).5. 在某项测量中，测量结果E服从正态分布N(1 , d2)( d> 0).假设E在(0,1)内取值的概率为0.4，那么E在(0,2)内取值的概率为.6. 商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布 XN10,0.1 2)，任选一袋这种大米，质量在9.810.2 kg的概率是-W' - B组提高选做题1. 汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗
10、油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量E服从正态分布 N8 ,d 2)，耗油量E 7,9的概率为0.7，那么耗油量大于 9升的汽车大约有 辆.12. 工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布 N4, 9，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？N(60,100)，成3 .在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布绩在90分以上含90分的学生有13人.求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？参考答案1. 0.1 解析/ P(02) = P( 2W EW 0) = 0.4
11、 ,1 R E >2) = 2(1 2X 0.4) = 0.1.2. 0.876 4 解析由正态曲线的对称性知RX?1.54) = RXw 1.54).又 P(X> 1.54) = 1 RX<1.54) = 1 0.938 2 = 0.061 8 RXw 1.54) = 0.061 8 ,p X<1.54) = P( 1.54< X<1.54)=RX<1.54) F(Xw 1.54)=0.938 2 0.061 8 = 0.876 4.3. B由-8n e x 10,'2冗.e CT2 (T可知 T = 2, 口= 10.4. B 口 = 2,
12、由正态分布的定义知其函数图象关于x = 2对称,=2,=2.5. C / P( E <4) = 0.8 , R E >4) = 0.2 ,由题意知图象的对称轴为直线X = 2, R E <0) = R E >4)=0.2 , R0< E <4) = 1 p E <0) P( E >4) = 0.6.1 R0< E <2) = 2只0< E <4) = 0.3.O 公 4 虫典型例题【典例1】解1由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称,=0.由1.''2 n to- = 4,故该正态
13、分布的概率密度函数的解析式是f(x) =1 e32, x r P( 4<X<4) = P(0 4<X<0+ 4)=P( 口 一 a <X< 口+ a ) = 0.6826.【变式1 A 根据正态分布N( i ,a 2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x = 口对称，在处取得最大值的连续钟形曲线;CT越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来,CT越小,曲线的最高点越高且较陡峭，应选A.【典例2】解 (1)从给出的密度曲线图可知,该正态曲线关于x = 60对称，最大值为1=:，解得 a = 4.4 2 n a ;2 n2x 601 - f (x) =e 32
14、, x 0,100,4#2 n2总体随机变量的期望是(1 = 60,方差是 a = 16.成绩X位于区间(52,68)的概率为R 口一 2 a <X< 口+ 2 a ) = 0.9544.【变式2 (1) 0.1【解析】由正态分布的特征易得R E >2) = 1x 1 2P(0< E <1) = 2 x (1 0.8) = 0.1.(2)【答案0.0026 【解析T 口 = 0, a = 1,-P( Xw 1 或 x?1)=1 R 1<X<1) = 1 P( 口一 3 a <X< 口+ 3 a )=1 0.9974=0.0026【典例 3
15、(1) P(X> 1 400) = 1 P(X<1 400) = 1 1 P 1 400< 1 6001°.6826 = 0.841 3.(2)设这局部灯泡的使用寿命至少为X0小时,2那么 X0>1 500，那么 P(X> X。) = 0.15%.RX 1 500 > Xo 1 500) = 1 一 P |X 1 50?< X01 500_ = 0.15%,PJ X 1 500|< X0 1 500) = 1 0.3%= 0.997 ,所以 Xo 1 500 = 300, xo= 1 800(小时).【变式3】 由EN(100,100)
16、知 卩=100, (T = 10. R80< E <120) = F(100 2疔 <E <100+ 2疔)=0.9544 ,即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.9544.(2) F(90< E <110) = F(100 10< E <100+ 10) = 0.6826 ,1>110) = 2(1 0.6826) = 0.158 7 , F( E > 90) = 0.6826 + 0.158 7 = 0.841 3.及格人数为 2 000 X 0.84131 683(人).当堂检测1. D解析 正态分布密度函数f 2(
17、X)和f 3( X)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数 相同，故口 2= 口 3,又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(X)的对称轴的横坐标值大，故有口 1< 口 2=口 3.又(7越大，曲线越“矮胖，d越小，曲线越“瘦高，由图象可知，正态分布密度函数f 1(X)和f 2( X)的图象一样“瘦高，0 3( X)明显“矮胖，从而可知7 1= 72<7 3.2. B解析 正态曲线关于直线 X= 0对称，T P( 2< XW 0) = 0.4， P(0 < X< 2) = 0.4.3. D解析 由于X服从正态分布N(3,1)，故正态分布曲线的对称轴为X= 3.所
18、以P(X>4) = F(X<2)，1 P 2 W XW4故 P(X>4) =2= 0.158 7.4. B 解析 由 E = 2 n + 3，得 D E) = 4D( n )，而 D( E) = 7 = 4， D( n) = 1.:F A组全员必做题1. B解析 由密度函数知，均值(期望)口= 80,标准差7 = 10,又曲线关于直线 x= 80对称，故分数在100分以上的人数与分数在 60分以下的人数相同，所以B是错误的.2. C解析 根据题意，函数f (x) = x2 + 4x + E没有零点时，A = 16 4 E <0，即E >4，根据2 1正态曲线的对称
19、性，当函数f(x) = X2+ 4x+ E没有零点的概率是2时，口= 4.3. 0.7解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x = 1对称，所以R E <2) = P( E <0) +R0< E <1) + P(1< E <2)，又 P(0< E <1) = R1< E <2) = 0.2，所以 P( E <2) = 0.7.4.46解析 因为标准差是 10,故在区间(120 20,120 + 20)之外的概率是 1 0.9544，数学10 9544成绩在140分以上的概率是1 0.9544 = 0.0228，故数学成绩在140
20、分以上的人数为 2000X 0.02 2846 46.解析/ E服从正态分布 N(1 , (T2), E在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. E在(0,2)内取值的概率为 0.4 + 0.4 = 0.8.6.0.9544 解析P(9.8< X<10.2) = R10 0.2<X<10 + 0.2) = 0.9544.7B组提高选做题21.180解析由题意可知EN8,(T),故正态曲线以口 = 8为对称轴，又因为P(7 < E < 9)=0.7，故 P(7 < EW 9) = 2P(8 W E W 9) = 0.7，所以 P(8 <
21、 E W 9) = 0.35，而 R > 8)= 0.5，所以P( E >9) = 0.15，故耗油量大于 9升的汽车大约有1 200 X 0.15 = 180(辆).1 12. 解T XN 4, 9 , 口= 4, (T = 3.不属于区间(3,5)的概率为RXW 3) + F(X> 5) = 1 F(3< X<5)=1 R4 1<X<4+ 1)=1 R 口 一 3 cr <X< 口 + 3 )=1 0.9974 = 0.0026. 1 000 X 0.00 263.(个).即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.3. 解设学生的得分情况为随机变量X, XN(60,100).贝U 口 = 60,(T = 10.R30< *90) = R60 3X 10<X<60 + 3X 10) = 0.9974.1 RX?90)=彳1 P(30<X<90) = 0.001 3 ,13学生总数为=10 000(人).0.0013