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1、222 直线与圆的位置关系【学习目标】1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.问题导学知识点直线与圆的三种位置关系及判定思考用代数法如何根据方程判定直线与圆的位置关系?梳理位寸护¥方L置大糸相离相切相交图示II 1a几何法d与r的大小drdrdr/亠护¥ W 位置大糸相离相切相交依据方程组A <0A = 0A >0代数法错误！方程组方程组方程组有解的情况两个不同解题型探究类型一 直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围，使直线x my 3= 0与圆x2
2、+ y2 6x+ 5= 0分别满足：相交;相切；相离反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法几何法：由圆心到直线的距离 d与圆的半径r的大小关系判断.(2) 代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3) 直线系法：假设直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1过点P( 3, 1)的直线I与圆x2+ y2= 1有公共点，那么直线l的倾斜角a 的取值范围是.类型二切线问题. . 2 2例2过点A(4 , - 3)作圆(X 3) + (y 1) = 1的切线，求此切线方程.引申探究假设本例的条件不变，求其切
3、线长反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目(1) 求过圆上一点P(xo， yo)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0,先求切点与圆心连线1的斜率k，那么由垂直关系知，切线斜率为一R,由点斜式方程可求得切线方程.如果k= 0或斜率不存在，那么由图形可直接得切线方程为y = y。或x= xo. 求过圆外一点P(xo, yo)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y yo= k(x xo)，即kx y kxo+ yo= 0,由圆心到直线的距离等于半径，可 求得k，进而切线方程即可求出但要注意，假设求出的 k值只有一个时，那么另一条切线的斜 率一定不存在，
4、可由数形结合求出 .跟踪训练 2 假设点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，那么该圆在点P处的切线方程为类型三弦长问题例3(1)过圆x2 + y2 = 8内的点F( 1,2)作直线l交圆于A B两点假设直线I的倾斜角为135°，那么弦AB的长为.(2) 圆心为C(2， 1)，截直线y= x 1所得的弦长为2羽的圆的方程为 直线I经过点P(5,5)，且和圆C: x2+ y2= 25相交于A、B两点，截得的弦长为 4.：5,求 直线I的方程反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1) 交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A, B的坐标，根据两点间的距离公式AB=、， X1 X
5、2+y1 y2求解 .(2) 弦长公式：如下图，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(X1，屮)，B(X2，y2)，=；1 + k2| xi X2|=1 + k?| yi y2|(直线I的斜率k存在).(3) 几何法：如图，直线与圆C交于A, B两点，设弦心距为 d,圆的半径为r,弦长为ABAB 2 22,_22那么有(§)2+ d2= r2,即即 AB= 2 ;r2 d通常采用几何法较为简便.跟踪训练3 直线I : kx y+ k+ 2 = 0与圆C： x2+ y2= 8.(1)证明：直线I与圆相交；(2)当直线I被圆截得的弦长最短时，求直线 I的方程，并求出弦长S
6、当堂训练1. 直线3x+ 4y+ 12= 0与圆(x 1)2+ (y+1)2= 9的位置关系是 .2. 假设直线3x + 4y + m= 0与圆x2 + y2 2x + 4y+ 4 = 0没有公共点，那么实数m的取值范围是2 23. 平行于直线2x + y+ 1 = 0且与圆x + y = 5相切的直线方程为 .4. 设A B为直线y= x与圆x2+ y2= 1的两个交点，贝U AB=.5. 直线y = kx + 3与圆(x 1)2+ (y 2) 2= 4相交于M N两点，且，贝U k的取值范围是.规律与方法11. 直线与圆位置关系的两种判断方法比拟(1)假设直线和圆的方程，或圆心到直线的距离
7、易表达，那么用几何法较为简单(2) 假设直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，那么用代数法较简单 .2. 过一点的圆的切线方程的求法(1) 当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式 方程可求得圆的切线方程 .(2) 假设点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一 条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在 .3. 与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r,弦心距d,弦长I的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长， 是常用解法 .联立直线与圆的方程， 消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数
8、的关系, 到两交点的横坐标 (或纵坐标 )之间的关系,代入两点间的距离公式求解,此法是通法合案精析问题导学知识点当方程组无解思考 联立直线与圆的方程， 根据方程组解的个数判定直线与圆的位置关系. 时，相离；当方程组有一解时，相切；当方程组有两解时，相交.梳理 >=< 无解只有一解题型探究例1解 圆的方程化为标准形式为(x 3)2+ y2= 4,6故圆心(3,0)到直线x my+ 3= 0的距离为d=2，圆的半径为r = 2.Jm+ 16假设相交，那么dv r，即v 2,pm+1所以 mv 2 2或 m>2 2;假设相切，那么d= r,即_6_m+1所以m=±22;6
9、假设相离，那么d>，即+1>2,所以一2 2 V mv 2 2.跟踪训练10 ° , 60°例 2 解因为(4 3)2+ ( 3 1)2= 17>1,所以点A在圆外.即 kx y 4k假设所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，那么切线方程为y+ 3 = k(x 4),3 = 0.设圆心为C, 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径 1,|3 k 1 3 4k| 所以；k2 + 1 = 1,2215所以 k + 8k +16= k + 1,解得 k= w.8所以切线方程为一即 15X+ 8y 36= 0.假设直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x= 4的距
10、离为1,这时直线x= 4与圆相切，所以另一条切线方程为x = 4.综上，所求切线方程为15x + 8y 36= 0或x= 4.引申探究解因为圆心C的坐标为(3,1),设切点为B,那么 ABC为直角三角形，AC= <3 4+1 + 3=17，又 BC= r = 1,那么 AB= AC bC=气：；172 12 = 4,所以切线长为4.跟踪训练2 x+ 2y 5= 0例 3(1)30(2)( x 2)2+ (y+ 1)2= 4(3) 解 假设直线I的斜率不存在，那么I : x = 5与圆C相切，不合题意，直线I的斜率存在，设其方程为y 5 = k(x 5),即 kx y + 5(1 k) =
11、 0.如下图，0H是圆心到直线I的距离，0A是圆的半径，AH是弦长 AB的一半,在 Rt AHC中, OA= 5,AH= 1aB=2 °4 '5= 2 ：5.0H= ：OA AH = '5,.151 k | 岸-"=5，1解得k=或k= 2.直线l的方程为x 2y + 5= 0或2x y 5= 0.跟踪训练3 (1)证明/ l : kx y + k+ 2= 0，直线I可化为y 2= k(x+ 1),直线I经过定点(一1,2).又 ( 1)直线 I : y 2 = 2(x + 1),即 x 2y + 5= 0.设直线I与圆交于A B两点，0P= ； 12+ 22=5, AB= 2 r2 0P= 2 8 5 = 2 3. 直线I的方程为x 2y + 5= 0,弦长为2茶3.当堂训练1.相交 2.(0) U (10,+)3. 2x+ y + 5 = 0 或 2x+ y 5= 04. 25.( a,0 + 22<8,.( 1,2)在圆C内，.直线I与圆相交.解 由(1)知，直线I过定点R 1,2).2 2又圆C: x + y = 8的圆心为原点0与0P垂直的直线截得的弦长最短.1kop= 2 , ki = 2,