《2021版高中数学第二章平面解析几何初步章末复习课学案新人教B版必修2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版高中数学第二章平面解析几何初步章末复习课学案新人教B版必修2.docx（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二章平面解析几何初步【学习目标I 1.熟练掌握直线方程的四种形式，并会判断两直线的位置关系 2会运用两点间 距离、点到直线的距离及两平行线间的距离公式解决一些实际问题 3理解圆的标准方程和一 般方程，熟练掌握直线与圆的位置关系的相关应用.知识梳理1 直线倾斜角的范围 直线倾斜角的范围是 0°W aV 180°.2 写出直线的斜率公式(1) 直线I的倾斜角a满足aM 90°,那么直线斜率 k=.P(X1,yJ ,R(X2,y2)是直线I上两点，且x"X2,那么直线I的斜率为k=3 直线方程的几种形式(1)点斜式：斜截式：.(3) 两点式： (X1 mX2
2、,y1My2)截距式：(aM0,bM0)一般式：.4 .两直线平行与垂直的条件直线方程I 1: y = k1x+ b1,12: y = k2x+ b2I 1: AiX+ By + C = 0,12: Ax+ By + G= 0平行的等价条件I 1 / I 2?k1 = k2 且 b1M b2I 1 / I 2?AB> A>B = 0,且 BG B>Ci M0 或 AC AC2m 0；A1 B1 C或"一 fMABCM0ABC垂直的等价条件1 1 丄 12? k1k2= 111丄 12? AA+ B1B2 0由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制
3、；同时平行或垂直 关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.5 距离问题类型条件公式两点间的距离A(xi, yi), B(X2, y2)d =寸X2 xi2+ y2 yi 2点到直线的距离P(x。，y。)l : Ax+ By+ C= 0| Ax + Byt)+ C dM+ w两条平行直线间的距离I i: Ax+ By+ C = 0,12： Ax+ By+ C2 = 0(A, B不同时为0).|C2 C| d=VA+26.平行直线系和垂直直线系(1) 与直线Ax+ By+ C= 0平行的直线方程为 Ax+ By+ m 0(C). 与直线Ax+ By+ C= 0垂直
4、的直线方程为 Bx+ Ay+ n= 0.7 .圆的方程(1) 圆的标准方程：.(2) 圆的一般方程： .8直线与圆的位置关系设直线I与圆C的圆心之间的距离为 d,圆的半径为r，贝U(1) I与圆C相离？ .I与圆C相切？ .I与圆C相交？ .9 .圆与圆的位置关系设O O的半径为ri,O Q的半径为2，两圆的圆心距为 d.当|ri 2| v d< ri+2时，两圆相交；当ri +2 = d时，两圆外切；当| ri 切=d时，两圆内切；当ri +2<d时，两圆外离；当|ri2| >d,两圆内含.iO.空间直角坐标系空间两点间距离公式：设空间两点A(xi, yi, zi), 0X
5、2, y2, Z2)，两点的距离公式是d(A,B) = | AB =.特别提醒：(i)计算直线被圆截得的弦长的常用方法 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. 代数方法运用根与系数的关系及弦长公式注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.对称问题 点关于点的对称：求点P关于点Ma, b)的对称点Q的问题，主要依据M是线段PQ的中点， 即 xp+ xq= 2a, yp+ yQ= 2b. 直线关于点的对称：求直线I关于点Mm n)的对称直线I '的问题，主要依据I '上的任一点T(x, y)关于Mm n)的对称点T' (2 m-x, 2
6、n y)必在I上. 点关于直线的对称：求点A( m n)关于直线I : y = kx + b的对称点A'(xo, yo)的一般方法是依据I是线段AA的垂直平分线，列出关于 xo, yo的方程组，由“垂直得一方yo ny- 1,程，由“平分得一方程，即yo + n xo+ m=丁 + b.直线关于直线的对称： 求直线I关于直线g的对称直线I ',主要依据I '上任一点 M关于直线g的对称点必在I上.题型探究类型一两直线的位置关系 例1 两条直线li： ax by+ 4 = o和12: (a 1)x + y+ b= o，求满足以下条件的 a, b 的值.(1) li 丄丨2
7、，且 I 1 过点(3, 1)；(2) I 1 / 12，且坐标原点到这两条直线的距离相等.反思与感悟两直线I仁A1X+ By + C = o和I 2： A?x + B2y + C = o(1)对于丨1/丨2的问题，先由 AB AB = o解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的 I 1和I 2是否重合，假设重合，舍去. 对于丨1丄I 2的问题，由AA+ BR= o解出字母的值即可.跟踪训练1 直线11： ax+ 2y + 6 = o和直线12： x + ( a 1) y+ a2 1 = o.(1) 试判断 l 1 与 l 2是否平行；(2) 当11丄12时，求a的值.类型二 直线的方程例
8、2 过点 P( 1,0) 、Q(0,2) 分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对 值为 1，求这两条直线的方程反思与感悟 求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1) 直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果； (2) 待定系数法：先以直线满足的 某个条件为根底设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程跟踪训练2 经过点 A 2,0)和点 耳1,3 a)的直线11与经过点P(0 , - 1)和点Qa, 2 a) 的直线 l 2 互相垂直，求实数 a 的值类型三 圆的方程例3 圆经过点 A(2 , 1),圆心在直线2x
9、 + y= 0上，且与直线x y 1 = 0相切，求圆的方程反思与感悟(1)求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.(2)采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 选择圆的方程的某一形式. 由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组) 解出a, b, r(或D, E F) 代入圆的方程.跟踪训练3在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为 A 3,0) , B(2,0),C(0，- 4)，经过这三个点的圆记为M(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；求圆M的方程.类型四直线与圆的位置关系 _ . 2 2例 4 点 M(3,1)，直
10、线 ax y + 4 = 0 及圆(x 1) + (y 2) = 4.(1)求过点M的圆的切线方程；假设直线ax y+ 4= 0与圆相切，求a的值； 假设直线ax y+ 4= 0与圆相交于 A, B两点，且弦 AB的长为2 '3，求a的值.反思与感悟直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法一般常用几何法，而不用代数法因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单.跟踪训练4 与直线x + y 2= 0和曲线x2+ y2 12x 12y + 54= 0都相切的半径最小的圆的 标准方程是.类型五数形结合思想的应用2 2例 5 设点 P(x, y)在圆 x + (y 1) = 1
11、 上.(1)求、：x 2 2 + y2的最小值；y + 2 求的最小值.x+ 1反思与感悟i形如口=匚a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.X a 形如t = ax+ by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. 形如x-a2+ y b2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.跟踪训练5当曲线y = 1 + ,'4 x2与直线y= k x 2 + 4有两个相异交点时，实数 k的取值 范围是513A. °，他B. 3，4A.RK 1B.m> 1C.1V RK 1D.m> 1 或 nv 12.以点一3,4为圆心，且与x轴相切的圆的方程
12、是A.2 2(x 3) + (y+ 4) = 16B.2 2(x+ 3) + (y 4) = 16C.2 2(x 3) + (y+ 4) = 9D.2 2(x+ 3) + (y 4) = 93.直线1 : x y+ 1 = 0关于y轴对称的直线方程为A.x+ y 1 = 0B.x y+ 1= 0C.x+ y + 1 = 0D.x y 1= 04 假设直线 mx- m+ 2y+ 2= °与3x my- 1 = °互相垂直，那么点m,1到y轴的距离为5 .直线 x my+ 3= ° 和圆 x + y 6x + 5 = 0.1当直线与圆相切时，求实数m的值； 当直线与圆
13、相交，且所得弦长为 彳=1°时，求实数m的值.5规律与方法1 求直线的方程时需要充分利用平面几何知识，主要求解方法有数形结合法、待定系数法、 轨迹法等在求解时，一定要注意直线方程的各种形式的局限性平行与垂直是平面内两条 直线特殊的位置关系高考一般考查平行或垂直的判断、平行或垂直条件的应用.2 在求解圆的有关问题时，常使用几何法常使用的圆的几何性质如下：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶(2) 直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在
14、直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3) 与直径有关的几何性质： 直径是圆最长的弦； 圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.合案精析知识梳理y2y1X2 Xi3. (1) y yo= k(x xo)(2) y= kx + by yi x Xi yi=b x+ b= i a b(5) Ax+ By+ C= 07. (1)( x a)2+ (y b)2=r2 x2 + y2 + Dx+ Ey+ F= 0(D?+ E2 4F> 0)8. (1) d>r(2) d= r(3) dv r10.： X2 X12+
15、y2 y12+ Z2 Z1题型探究例 1 解(1) T I 1丄 l 2,a( a 1) b= 0.又 l 1 过点(3, 1),一 3a+ b+ 4 = 0.a= 2,由，得b= 2.(2).T 2的斜率存在，I 1 / l 2 ,直线11的斜率也存在，a- k1 = k2,即匚=1 a.b坐标原点到这两条直线的距离相等，且11 / 12,- l 1, l 2在y轴上的截距互为相反数，4即 _= ( b).b联立，解得 a_ 2,b=- 2b= 2.经检验此时的丨1与l 2不重合，故所求值为a= 2,b= 22r a= 3,或 3b= 2.跟踪训练1解假设丨1/丨2,a a 1 那么 aa2
16、12X 1= 0,6X 1工 0.a = 1,当 a= 1 时，11 / I2. 当直线12的斜率不存在时，a= 1.那么丨2： x = 0, 1 1 ： x + 2y + 6 = 0. 显然1 1与I 2不垂直，当直线12斜率存在时，1.那么k2=11a，k1= / 1 1丄 I 2,k1 k2 =1.2例2解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x= 1, x = 0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，那么两条直线的方程分别为y= k(x+ 1),y 2= kx.令 y = 0，得 x = 1, x = k. 由题意，得| 1
17、+匚| = 1,即k= 1.k两条直线的方程分别为 y = x+1, y = x+ 2,即为 x y + 1 = 0, x y+ 2 = 0.综上可知，所求的直线方程为x= 1，x = 0或x y+ 1 = 0，x y+ 2 = 0.跟踪训练2 解l 1的斜率,3a 0k1= 1 2 = a，当a0时，12的斜率k2=2a1a 01 2aaI 1丄12,. k1 k2= 1,1 一即 a = 1，得 a= 1.a当a= 0时，P(0， 1) , Q0,0)，这时直线12为y轴，A 2,0)、B(1,0)，这时直线I 1为x轴，显然丨1丄I 2.综上可知，实数a的值为1或0.例3解 设圆的方程为
18、(x a)2+ (y b)2= r2(r>0).圆心在直线 2x+ y= 0上， b= 2a,即圆心为 C(a, 2a).又圆与直线x y 1 = 0相切，且过点(2 , 1),| a+ 2a 1|一 2 = r，2 2 2(2 a) + ( 1 + 2a) = r ,即(3a 1)2= 2(2 a)2 + ( 1 + 2a)2,解得a= 1或a= 9,a= 1,a= 9,b= 2,或 b= 18,r = 2r = 13 2.综上所述，所求圆的方程为(x 1)2+ (y + 2)2= 22 2或(x 9) + (y+ 18) = 338.D的坐标为(1 , 2).跟踪训练3 解(1)方法
19、一 由B(2,0) , C(0， 4)知，BC的中点y0 x+3那么厶ABC是等腰三角形，所以ADL BC因为直线BC的斜率kB= 2,所以直线AD的斜率kA= 1又A - 3,0，所以直线AD的方程为 斗=倖, 即中线AD所在直线的一般式方程为 x + 2y+ 3 = 0.方法二 由题意，得| AE| = | Aq = 5,由直线的点斜式方程，得1y0= 2(x+ 3),所以直线AD的一般式方程为x+ 2y + 3= 0. 设圆M的方程为x25所以圆M的方程是x + y + x+卫一6= 0.例4解 由题意知，圆心 C1,2，半径为r = 2, 当直线的斜率不存在时，方程为x= 3.由圆心
20、Q1,2到直线x = 3的距离d= 3 1 = 2 = r知, 此时，直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设方程为y 1 = kx 3,即 kx y+ 1 3k = 0.+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0.将 A( 3,0),巳2,0)4三点的坐标分别代入圆的方程，得9 3D+ F= 0,D= 1,4+ 2D+ F= 0,16 4E+ F= 0,解得5E= 2，F= 6.由题意知,|k 2 节3k| = 2，解得 k +1直线方程为y 1 = 4(x 3),即 3x 4y 5 = 0.故过点M的圆的切线方程为x = 3或3x 4y 5= 0.由题意有|a 2+ 4|,a2+ 1=2,解得4a
21、= 0 或 a=/圆心到直线 ax y+ 4 = 0的距离为"菩亘黑2+寥2= 4,解得a =专2 2跟踪训练 4(X 2) + (y 2) = 2解析曲线可化为(x 6)2+ (y 6)2= 18,其圆心到直线 x+ y 2= 0的距离为d= 16 + 6 2| = 5 ：'2,2根据图示可知, 所求的最小圆的圆心在直线 y = x上,(2,0)之间的距离.2因为圆其到直线x+ y 2 = 0的距离为：2, 所以圆心坐标为(2,2).心(0,1)与定点(2,0)的距离是_'22 + 12= ,：5,圆的半径是1,所以；x 2 2+ y2的最小值是'5 1.y
22、 + 2(2)式子匕的几何意义是点 R x, y)与定点(一1, 2)连线的斜率.x + I如图，当切线为l 1时，斜率最小.即 kx y+ k 2= 0, 由直线与圆相切，解得k= 4.y + 24故x的最小值是4.跟踪训练5 C 曲线y= 1 +4- x2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y = k(x2) + 4是过定点(2,4)的直线.设切线PC的斜率为ko,那么切线PC的方程为y = ko(x 2) + 4，圆心(0,1)至煩线PC的距离等于半径| 1 + 4 2ko|52,即1 + 応=2，得k0=悝.又直线PA的斜率为k1 = 4,54所以实数k的取值范围是 vk< 4.当堂训练1 . C 2.B4.A4. 0 或 5解析由题意，得4mi+2) = 0,解得m= 0或m= 5,点(m,1)到y轴的距离为0或5.5.解 (1)因为圆x2 + y2 6x + 5= 0可化为(x 4)2 + y2= 4,所以圆心坐标为(3,0)又直线x my+ 3= 0与圆相切，所以|3 + 3| = 寸1+m解得 m=±2'2.(2)圆心(3,0)到直线x my+ 3= 0的距离为d =|3 + 3|：1+m|3 + 3|2 2 .'10=5,2 2 2得 2 + 2m = 20m 160,即卩 m= 9.故 m=± 3.