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1、第2课时平面向量数量积的坐标运算【学习目标I 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式3能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.ET问题导学知识点一 平面向量数量积的坐标表示设i , j是两个互相垂直且分别与 x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.思考1 i i , j j , i j分别是多少？思考2取i , j为坐标平面内的一组基底，设 a= (xi, yi), b= (X2, y2)，试将a, b用i , j 表示，并计算 a b.思考3假设a丄b,那么a, b坐标间有何关系?
2、梳理 假设向量 a= (xi,yi) , b= (X2, y2).数量积a b=向量垂直知识点二平面向量的模思考i假设a= (x, y)，试将向量的模| a|用坐标表示.思考2假设A(xi, yi) , B(X2, y2)，如何计算向量 AB勺模?梳理 向量的模及两点间的距离向量模长a = (x, y)1 a| =V x2+ y2以A(X1, y1) , B(X2, y2)为端点的向量 AB|AB =p X2X1 2 + y2 y 2知识点三向量的夹角设a, b都是非零向量，a -ba (X1, y , b (X2,抽,B 是 a 与 b 的夹角，贝U cos 0 -lallblX1X2+ y
3、iy22 2 2 2 ；xi+ yi ，X2+ y2题型探究类型一 平面向量数量积的坐标运算 例 1 a 与 b 同向，b= (1,2) , a -b = 10.(1) 求a的坐标；(2) 假设 c = (2 , - 1)，求 a(bc)及(ab)c.反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用根本公式是前提，设向量- 般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况 下(a b) cm a ( b c)，即向量运算结合律一般不成立.跟踪训练 1 向量 a= (1 , 1) , b= ( 1,2)，那么(2 a+ b) a=.类型二向量的模、夹角问题
4、例2 在平面直角坐标系 xOy中，O是原点(如图).点A(16,12),耳5,15).(1) 求 |OA, | 崩；(2) 求/ OAB反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤:(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.利用| a| = x2 + y2求两向量的模.(3) 代入夹角公式求cos e，并根据e的范围确定e的值.跟踪训练2a= (1 , 1), b= ( X , 1)，假设a与b的夹角a为钝角，求 入的取值范 围.类型三向量垂直的坐标形式例3 (1)a= ( 3,2) , b= ( 1,0)，假设向量 Xa+ b与a 2b垂直，那么实数 入的值为 在厶ABC中, XB=
5、 (2,3) , XC= (1 , k)，假设 ABC是直角三角形，求 k的值.反思与感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，假设在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.跟踪训练3 在平面直角坐标系 xOy中，A(1,4) ,B( 2,3) , C(2 , - 1)，假设(AB- tOC)丄0C那么实数t =.甌当堂训练1 a= (3 , 1) , b= (1 , 2)，贝U a 与 b 的夹角为.2向量gA= 1，進,归迴，1，那么/ ABG.2， 2 2 ， 2 3. 向量 m=(入 + 1,1) , n=(入 + 2,2)，假设(m+ n)丄(m
6、 n)，贝U 入=.4. 平面向量 a, b,假设a= (4 , 3) , |b| = 1，且a b = 5,那么向量b =.5. a= (4,3) , b= ( 1,2).(1)求a与b的夹角的余弦值；假设(a入b)丄(2 a+ b)，求实数 入的值.规律与方法-1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积 的两种形式沟通了“数与“形转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有 力工具.2 .应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不
7、断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3 .注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以比照学习、记忆.假设a= (X1, yi), b= (X2, y2)，贝y a II b? Xiy2X2yi= 0, a丄b? X1X2+ yiy2= 0.4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念和无视“两向量夹角的范围，稍 不注意就会带来失误与错误.合案精析问题导学知识点一思考 1 i i = 1 x 1 x cos 0 = 1, j j = 1 x 1 x cos 0 = 1, i j = 0.思考 2
8、/ a= X1i + yj , b= X2i + y?j ,2 2/ a b= (X1i + y1j) ( X2i + y2j ) = x1X2i + (X1y2+ X2y" i j + y1y2j = X1X2+ y1y2. 思考 3 a丄 b? a b= 0? X1X2 + y$2 = 0.梳理 X1X2+ y1y2a 丄 b? X1X2+ y12= 0知识点二思考 1/ a= Xi + yj , x, y R,a2= (xi + yj) 2= (xi)2+ 2xy i j + (yj) 2=x2i2 + 2xy i j + y2j2.22又- i = 1, j = 1, i j
9、 = 0,2 2 2 1.222 a = x + y , a| = x + y , I a| = ：x2+ y2.思考 2 / XBs= 0E3- 5A= (X2, y2) (X1, y" = (X2-X1, y2-y",I AB = ： X2 X12+ y2 y12.题型探究例1 解设a=入b=(入，2 X)(入0),那么有 a b= X + 4 X = 10, X = 2, a= (2,4). T b c = 1x22x 1 = 0, a b = 10, a(b c) = 0a= 0,(ab)c = 10(2 , 1) = (20 , 10).跟踪训练11例 2 解(1
10、)由 OA= (16,12),花(5 16,15 12) = ( 21,3),得| 6* = ,''162+ 122= 20 ,| AB = / 212+ 32= 15 2.T TAO- XB(2)cos / OAB= cos AQ AB =T TI AQ AB其中 AO- AB= Qa- AB= (16,12) - ( 21,3) =-16 X ( 21) + 12X 3 = 300. 故 cos / QAB=300一 二？220X1 申 2/ QAB= 45°.跟踪训练 2 解/ a= (1 , 1) , b= ( X , 1), j a| = -,：2, Ib| = “J1 + 入，a - b =X 又 a, b的夹角a为钝角，入1<0,2 -1 +入2工1入， 即入:1 ,入 + 2 X + 1工 0.-X <1且入工1. X的取值范围是(一8 , 1) U ( 1,1). , 1例 3(1) 72亠11亠3 ±你(2)亍或§或2.跟踪训练3 1当堂训练n。1.2.30 °3. 345. (1)2 .525