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1、2.1.1 直线的斜率【学习目标】1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性.3. 了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率问题导学知识点一直线的倾斜角 思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢?思考2在平面直角坐标系中，过定点 P的四条直线如下图，每条直线与 x轴的相对倾斜 程度是否相同？梳理(1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角. 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2) 直线的倾斜角a的取值范围为 .(
2、3) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1在日常生活中，我们常用“升册量表示“坡度，图(1) (2)中的坡度相同吗?前进2丽进20> 思考2思考1中图的“坡度与角 a,卩存在等量关系吗?梳理 1直线的斜率k表示，即 k =把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母tan a .2斜率与倾斜角的对应关系图示二1 y3tJvLIh xnrr0倾斜角范围a = 0°0°< a <90°a = 90°90°< a
3、<180°斜率范围k = 0k>0不存在k<0知识点三过两点的直线的斜率公式两点 Rxi,yJ ,Qx2,y2，如果xiX2,那么直线 PQ的斜率为k =x1 X2.例1图中a是直线l的倾斜角吗？试用 a表示图中各条直线l的倾斜角(2)求直线的倾斜角主要根据定义，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论跟踪训练1直线I向上方向与y轴正向所成的角为30°,那么直线l的倾斜角为类型二直线的斜率例2经过以下两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角 a .(1) A(2,3) , B(4,5)； C( 2,3) , D(
4、2 , - 1)； P( 3,1) , Q 3,10).反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 运用公式的前提条件是"X1X2，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； 斜率公式与两点 P , F2的先后顺序无关，也就是说公式中的X1与X2, y1与y2可以同时交换位置 在0°< a <180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记倾斜角a0°30°45°60°120°135°150°斜率k031-霞13跟踪训练2如下图，直线丨1,丨2,丨3都经过点F(3
5、,2)，又丨1,丨2,丨3分别经过点 Q( 2, 1) , Q(4 , 2) , Q( 3,2)，计算直线I 1, I 2, I 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐 角还是钝角5二:幺1X 1-3-类型三直线的倾斜角、斜率的应用命题角度1三点共线问题例3如果三点A(2,1),B( 2,m),C(6,8)在同一条直线上，求m的值.反思与感悟斜率是反映直线相对于 x轴正方向的倾斜程度的直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因跟踪训练3倾斜角为90°的直线经过点 A(2m,3)，B(2，- 1)，那么m的值为命题角度2
6、数形结合法求倾斜角或斜率范围例4直线I过点R1,0)，且与以A(2,1),巳0,：3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围反思与感悟(1)直线的倾斜角与斜率的关系nntan a, a 0 , 2 U , n ,k=.n不存在， a具体变化规律： 当倾斜角a为0°时，斜率k为0，直线平行于X轴或与X轴重合； 当倾斜角a为锐角时，斜率k为正且随着倾斜角a的增大而增大； 当倾斜角a为90°时，斜率k不存在，直线平行于 y轴或与y轴重合； 当倾斜角a为钝角时，斜率k为负且随着倾斜角的增大而增大，其值可以由与之互补的 锐角求得.(2) 研究直线的斜率的变化规律，通常先研
7、究直线倾斜角的变化情况，再根据它们之间的关 系求出斜率的范围.yVo(3) 代数式x的几何意义表示动点 F( x, y)与定点Qx0, y°)连线的斜率.跟踪训练4A(3,3) , B( 4,2) , C(0，- 2).假设点D在线段BC上(包括端点)移动，求 直线AD的斜率的变化范围.当堂训练1. 对于以下说法： 假设a是直线I的倾斜角，贝U 0°W a<180° 假设k是直线的斜率，那么k R; 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中正确的有个.2. 假设经过A(m,3),巳1,2)两点的直线的倾斜角为45
8、76;,那么m=.13. 假设三点A(2,3) , B3,2) , C(2, m共线，那么实数 m的值为.4. 经过A(m,3) , B(1,2)两点的直线的倾斜角a的取值范围是 .(其中m> 1)5. 交于点 M8,6)的四条直线I 1, I 2, I 3, I 4的倾斜角之比为 1 : 2 : 3 : 4,又知I 2过点 N5,3)，求这四条直线的倾斜角.规律与方法!直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表:直线情况一IV.JJX平行于x轴1 1垂直于x轴I TP|a的大小0°0°< a <90°90°90
9、76;< a <180°k的范围0k>0不存在k<0k的增减情况k随a的增大而增大k随a的增大而增大合案精析问题导学知识点一 思考1 不能.思考2 不同.梳理(1)逆时针最小正角(2)0 ° < a <180°知识点二32思考1不同，因为工2思考2存在，图(1)中，坡度=tana,图(2)中，坡度=tan卩.知识点三屮一yX2 X1题型探究卩,结合倾斜角的定义可知,图中a是直线l的倾斜角,即 3 = a .图中a不是直线I的倾斜角，但图中a不是直线I的倾斜角，但图中a不是直线I的倾斜角，但例1解设直线l的倾斜角为跟踪训练1 60
10、°或120°a与卩互补，即有卩=180° a .a与卩是对顶角，故卩=a .卩=90 + a .例2解1存在.直线AB的斜率5 3kAB= 1，即 tan a = 1,4 2又0°W a <180。，所以倾斜角 a = 45°.1 3存在.直线 CD的斜率kcD= 1, 即卩tan a = 1,又0°w a <180°,所2 2以倾斜角a = 135° 不存在.因为Xp= Xq= 3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角a = 90跟踪训练2解 设k1, k2 , k3分别表示直线丨1 ,丨2 ,丨3的斜率
11、.由于QQ, Q, QQ的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以1 2k1 = 2335ks = 2233 30.由ki>0知，直线l i的倾斜角为锐角；由 k2<0知，直线丨2的倾斜角为钝角；由 线13的倾斜角为0°.k3= 0知，直kAC=8 162m 11 mkAB=22 = T，A, B, C二点共线，kAB= kAc,1 m 7 即=-,a m= 6.44跟踪训练31例4解如下图.V kAP= H = 1, kBP=-0吕=3, k ( a, 3 U 1 ,+s), 45°< a < 120°.跟踪训练4解如下图.当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAc,所以直线AD的斜率的变化范围是157，3 .当堂训练91. 32.23.24.(0 ° , 90°6 35解12的斜率为內=1,.|2的倾斜角为45°，由题意可得：11的倾斜角为22.5 ° :13的倾斜角为67.5 ° , |4的倾斜角为90°