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1、2掌握直线与圆的习题课圆的方程的应用【学习目标】1.体会数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中的应用 方程的实际应用3 了解圆系的方程知识梳理知识点一与圆有关的最值问题1. 与圆上的点(x, y)有关的最值常见的有以下几种类型：(1) 形如u= y_ 形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题.x a 形如I = ax+ by形式的最值问题，可转化为动直线y= + 截距的最值问题.b b 形如vm= (x a)2+ (y b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的 平方的最值问题.2. 与圆的几何性质有关的最值(1) 记0为圆心，
2、圆外一点 A到圆上距离的最小值为 AC r，最大值为 AS r.(2) 过圆内一点的最长的弦为圆的直径，最短的弦为以该点为中点的弦记圆心到直线的距离为d,假设直线与圆相离，那么圆上的点到直线的最大距离为d+ r，最小距离为d r.(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆知识点二 直线与圆的方程的实际应用直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程|儿如血聲 建上平血直增坐扮系|代如歸|ft It 运彈JL何冷论知识点三圆系方程两圆相交
3、(相切)有两个(一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆具有某些共同的性质，我们把这些圆的集合称为圆系.常见的圆系方程有以下几种：(1)以(a, b)为圆心的同心圆系方程为 (x a)2+ (y b) 2= k2 ( k0). 与圆x2 + y2 + Dx+ Ey+ F= 0同圆心的圆系方程为 x2+ y2+ Dx+ Ey+ K= 0. 过定点(a, b)的圆系方程为(x a)2 + (y b)2+入1(x a) +入2(y b) = 0. .22. .22 过直线Ax+ By+ C= 0与圆x + y + Dx+ Ey+ F= 0的交点的圆系方程为 x + y + Dx+ Ey+
4、 F+ 入(Ax+ By+ C = 0.(5)过两圆C : x + y + Dx+ Eiy + Fi= 0和C: x + y + Dx + E>y+ F>= 0的交点的圆系方程为x + y + Dx + Eiy + Fi+ 入(x + y + Dax + Ey + F2) = 0(入丰1,其中不含圆 C2).当 入=1 时，I ： (D D)x + (Ei - EOy + Fi F2= 0,当两圆相交时，I为两圆的公共弦所在直线的方 程；当两圆相切时，I为过两圆切点的直线方程命题角度1求目标函数的最值例1实数x, y满足方程(x 2)2+ y2= 3.(1)求-的最大值和最小值；x
5、 求y x的最大值和最小值； 求x2+ y2的最大值和最小值.反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型y b(1)形如u=形式的最值问题，可转化为过点 (x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题x a 形如1 = ax+ by形式的最值问题，可转化为动直线y= x+匚截距的最值问题.b b 形如m= (x a)2+ (y b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的 平方的最值问题.跟踪训练1圆C: (x + 2)2+ y2= 1, F(x, y)为圆C上任一点.y 2(1) 求X的最大值与最小值；x I(2) 求x 2y的最大值与最小值.命题角度
6、2与面积有关的最值例2 点F是直线2x + y+ 10= 0上的动点，FA PB与圆x2 + y2= 4分别相切于 A, B两点， 那么四边形PAOBT积的最小值为 .反思与感悟 求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题跟踪训练2 点 Rx, y是直线kx + y+ 4= 0 k>0上一动点，PA PB是圆C： x2+ y2- 2y= 0的两条切线，A, B是切点，假设四边形 PACB勺最小面积是2，那么k的值为.类型二 直线与圆的方程的实际应用例3设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙 向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方
7、向前进，后来恰好与乙相遇设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3 : 1,问：甲、乙两人在何处相遇？反思与感悟 坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算跟踪训练3为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储藏基地如图，它的附近有一条公路，从基地中心 O向正东走1 km是储藏基地的边界上的点 A接着向东再走 7 km到达公 路上的点B,从基地中心 O向正北走8 km到达公路的另一点 C现准备在储藏基地的边界上 选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE求DE的最短距离类型三过交点的圆系方程例
8、4求过直线x+ 3y- 7= 0与圆x2+ y2+ 2x- 2y 3 = 0的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为一8的圆的方程跟踪训练4对于任意实数入，曲线1 +入x2 + 1 +入y2 + 6 4入x 16 6入=0恒过定点当堂训练x轴和y轴上，那么圆的方程为1. 圆C的圆心为点 Q2 , - 3)，一条直径的端点分别在2. 圆(x + 2)2 + y2= 5关于y轴对称的圆的方程为 .3. 实数x, y满足x2+ y2 + 4x- 2y 4= 0,贝U x2+ y2的最大值为 .4. 圆x2 + y2 4x 4y+ 7= 0上的动点P到直线y= x的最小距离为 .5. 圆C的方程为(x 3
9、)2+ (y 4)2= 1，过直线I ： 3x+ ay 5= 0( a>0)上任意一点作圆 C的切线，假设切线长的最小值为仆，那么直线I的斜率为.规律与方法 11. 与圆有关的最值问题求目标函数的最值比方u = -_b, I = ax+ by, m= (x a)2+ (y b)2的最值，应分别转化为直线的斜率，截距x a与两点距离平方的最值. 与圆的几何性质有关的最值.2. 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1) 认真审题，明确题意；(2) 建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；(3) 利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)
10、 把代数结果复原为实际问题的解.合案精析题型探究例1解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以 3为半径的圆.y(1)设X = k,即卩 y = kx.当直线y = kx与圆相切时，斜率 k取得最大值和最小值， 此时p* 3，解得k=±3.故X的最大值为，3,最小值为3.设 y x= b, 即卩 y= x+ b.当y= x + b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，|2 0+ b|厂厂此时=,3,即 b= 2±.6.故y x的最大值为一 2 +6,最小值为2 6.x2+ y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线 与圆的两个交点处取得最大值和
11、最小值.又圆心到原点的距离为2,故(x2+ y2) max= (2 +3)2= 7 + 4 3,(X2 + y2)min = (2 3)2= 7 4 3.=山x 1y 2跟踪训练1解 (1)显然 一可以看作是点P(x, y)与点Q1,2)连线的斜率，令kx 1如下图，那么其最大值、最小值分别是过点Q1,2)的圆C的两条切线的斜率.将上式整理得kx y k + 2 = 0,| 2k k + 2|3±34故y2的最大值是, 令u= x 2y，贝y u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.| 2 u|依题意，得-一严=1,寸5解得 u= 2
12、± ,5 ,故x 2y的最大值是2+" 15，最小值是2- 5.例28跟踪训练2 2例3解 如下图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.设甲向东走到点 D转向到点C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为 彳+ b= 1a>3, b>3, 乙的速度为v，那么甲的速度为3v.依题意，有解得a= 5,b= 3.75.I ab|1)(km).3vv'所以当乙向北前进 3.75 km时，甲、乙两人相遇.跟踪训练3解 以0为坐标原点，以 OB 0C所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角 坐标系，那么圆 0的方程为x2+ y2= 1.
13、因为点 B8,0 , qo,8,所以直线BC的方程为X + y = 1,8 8即 x+ y = 8.例4 解设过直线与圆的交点的圆的方程为x2+ y2 + 2x 2y 3 +入x + 3y 7 = 0,2 2即 x + y + 2 + 入x+ 3 入一2 y 3 7 入=0.令 y= 0，得 x + 2 + 入X 3 7 入=0,圆在x轴上的两个截距之和为一2入.令 x= 0，得 y + 3 入一2y 3 7入=0,圆在y轴上的两个截距之和为2 3入.由题意得一2 入+ 2 3入=8,解得 X = 2.故所求圆的方程为x2 + y2 + 4x + 4y 17 = 0.跟踪训练4(1，土 3)当堂训练2 21. (x 2) + (y + 3) = 132. (x 2)2 + y2= 5 3.14 + &护