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1、2. 2.1等差数列(一)【学习目标I 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项 公式解决一些简单的问题 3掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.问题导学知识点一等差数列的概念思考 给出以下三个数列：(1) 0,5,10,15,20;(2) 4,4,4,4，；(3) 18,15.5,13,10.5,8,5.5.它们有什么共同的特征？梳理 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示.知识点二等差中项的概念思考观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等
2、差数列:(1)2,4 ; (2) 1,5 ; (3) a, b; (4)0,0.梳理如果三个数x. A, y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且 A= 宁.知识点三等差数列的通项公式思考 对于等差数列 2,4,6,8 ，有 a2 a = 2,即卩 a2= a1+ 2； a3 a2= 2,即卩 a3= a?+ 2 = a1 + 2x2； a4 a3= 2, 即卩 a4 = st + 2 = a1 + 3x2.试猜测 an = a1 + () x 2.梳理假设一个等差数列an，首项是a1,公差为d,那么an= a1 + ( n 1)d.此公式可用叠加法证明.题型探究类型一等差数列的概念例i
3、判断以下数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，一2n+ 11,;一1,11,23,35，12n 13,; 1,2,1,2 ，；(4) 1,2,4,6,8,10，； a, a, a, a, a,.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an+1an( n?1,n N+)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列an的通项公式an = 2n+ 5，那么此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列类型二等差中项例2在1与7之
4、间顺次插入三个数a, b, c使这五个数成等差数列，求此数列.反思与感悟在等差数列an中，由定义有an+1 an = an an 1 (n?2, n N+)，即 a =an+1 + an1，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.跟踪训练2 假设m和2n的等差中项为4,2 m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.类型三 等差数列通项公式的求法及应用命题角度 1 根本量 a，d， n例3 在等差数列an中，a6= 12, ai8= 36，求通项公式an.反思与感悟像本例中把量都用根本量a, d, n表示，列出方程求解的思想方法，称为方程思想跟踪训练31
5、求等差数列8,5,2，的第20项； 判断401是不是等差数列5, - 9, - 13,的项，如果是，是第几项？命题角度 2 等差数列的实际应用例4 某市出租车的计价标准为 1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km不含4 km计费 10元，如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？反思与感悟在实际问题中，假设一组数依次成等数额增长或下降，那么可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果 1
6、 km高度的气温是 8.5 C, 5 km高度的气温是17.5 C,求2 km, 4 km,8 km 高度的气温.当堂训练1.等差数列an的通项公式 & = 3 2n,那么它的公差d为A. 2 B . 3 C . 2 D . 32 .在厶ABC中，三内角 A, B, C成等差数列，那么角 B等于A. 30° B . 60° C . 90° D . 120°13.等差数列an中，a1= 3, a2 + as= 4, an= 33,求n的值.3-规律与方迭-1判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1) an+1-an= d(d 为常数，n N+)
7、? an是等差数列；2 an+ 1 = an+ an + 2( n N+ ) ? an是等差数列；(3) an = kn+ b(k, b 为常数，n N+)?an是等差数列. 但假设要说明一个数列不是等差数列，那么只需举出一个反例即可2.由等差数列的通项公式 an= ai+ (n- 1)d可以看出，只要知道首项ai和公差d,就可以求出通项公式，反过来，在 a1, d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另 一个量.合案精析问题导学 知识点一 思考 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理 2 常数公差知识点二思考插入的数分别为3,2，a+ b0.知识点三思考 n 1题
8、型探究类型一例1解由等差数列的定义得(1) , (2) , (5)为等差数列，(3),不是等差数列.跟踪训练1 A类型二例2解一 1, a, b, c, 7成等差数列，b是一1与7的等差中项，1 + 7又a是一1与3的等差中项,=1.又c是3与7的等差中项,=5.该数列为1,135,7.跟踪训练2 解由m和2n的等差中项为4，得m+ 2n= 8.又由2m和n的等差中项为5，得 m+ n2m n= 10.两式相加，得 m+ n=6.所以m和n的等差中项为一厂=3.类型三命题角度1a + 5d= 12,例3解由题意可得17d= 36.解得 d= 2, a1 = 2.an= 2 + (n 1) x2
9、= 2n.跟踪训练3解(1)由ai= 8, a2= 5, 得 d= a2 a1= 5 8= 3，由 n= 20，得 a20= 8(20 1) x ( 3) = 49.(2) 由 a1= 5， d= 9(5) = 4，得这个数列的通项公式为an= 5(n1)x ( 4)= 4n 1.由题意，令 401 = 4n 1 ，得 n = 100 ，即 401 是这个数列的第 100 项命题角度 2例4解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km,乘客需要支付1.2 元故可以建立一个等差数列 an 来计算车费令 a1=11.2 ,表示 4 km 处的车费,公差 d=1.2 , 那么当出租车行至 14 km 处时, n=11,此时需要支付车费 a11= 11.2 (11 1)x 1.2= 23.2( 元) 即需要支付车费 23.2 元跟踪训练4 解 用an表示自下而上各高度气温组成的等差数列，那么 a1=8.5 , a5= 17.5 ,由 a5=a14d= 8.5 4d= 17.5 ,解得 d= 6.5 , an= 15 6.5 n.-a2= 2, a4 = 11, a8= 37,即 2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2 C, 11 C, 37 C.当堂训练1 C 2.B3. n= 50