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1、第二章数列章末复习提升、本章知识网络二、知识要点归纳1 数列的概念及表示方法(1) 定义：按照一定顺序排列的一列数.(2) 表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法.按项与项之间的大小关系可分为递(3) 分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；增数列、递减数列、摆动数列和常数列.2 求数列的通项(1) 数列前n项和S与通项an的关系：S, n= 1,an =Sn S i, n?2. 当数列an中，满足an+1 an= f(n)，且f (1) + f(2) + f (n)可求，那么可用累加法求数列的通项 an,常利用恒等式 an= a1 + (a2 a" + (a3 a
2、?) + (an an1)( n?2).an+ 1 当数列an中，满足 =f(n),且f (1) f (2) f (n)可求，那么可用累积法求数an(a2 a3an列的通项an，常利用恒等式an= a1 (n?2).a1 a2an 1(4) 作新数列法：对由递推公式给出的数列， 经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项.归纳、猜测、证明法.3 等差、等比数列的性质工程等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起， 第一项与匕的前一项的差都 等于同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列，这个常 数叫做公差，常用字母 d表 示如果一个数列从第二项起，每 一项与匕的前一项的比都等于 同一个常数，那么这
3、个数列叫 做等比数列，这个常数叫做公 比,常用字母q表示递推关系an+1 an = dan+1岂=q通项公式an= a1 + (n 1)dan 一 a1 qan = am+ (n n)dn man 一 anq中项假设三个数a, A, b成等差数 列，这时A叫做a与b的等a + b差中项，且山亍假设三个数a, G b成等比数列， 这时G叫做a与b的等比中项，且 G=ab前n项和公式小n (a1 + an)Sn 一2一 na1 +n (n 1) d2qz 1 时，_ a1 (1 qn) a1 anq S 一=1 q1 qq= 1 时，Si= na1判定方法定义法an+1_ an是同一个常数蓉是同一
4、个常数中项法an+ an + 2= 2an+ 1231 an + 2 = an + 1通项公式法an= pn+ qan= pq"S的形式S是不含常数项的二次函数S中只有qn与常数项，且系数 互为相反数性质下标性质m n、p、q n'且 m+ n= p+ qam+ an= ap+ aqam an= ap aqSm, S2m Sm,S3m_ Szm成等差数列成等比数列4.求数列的前n项和的根本方法(1) 公式法：利用等差数列或等比数列前n项和S公式；(2) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(3) 裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消
5、去中间项，只剩有限项再求和；(4) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(5) 倒序相加：例如等差数列前 n项和公式的推导；(6) 并项求和法：适用于正负相间的数列.三、题型探究题型一 数列的实际应用例1甲、乙两人连续 6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查说明：从第 1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产 2万只 鸡，乙调查说明：由第 1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.i平均只劲片H彝谒场个数/个A30I.B261622L44l：Lf121 I1.010«JILi.0I 2* i甲°12
6、3 4 5 6乙请你根据提供的信息说明，求：(1) 第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2) 到第6年这个县的养鸡业比第 1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3) 哪一年的规模最大？请说明理由.解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列an，公差为di,且ai= 1, a6= 2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数 列bn，公差为d2，且bi = 30, b6= 10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列 o, 那么 6= an bn.(1)由 a1= 1,a6= 2, 得a1 = 1,a1 + 5d1 = 2,a1 = 1d1
7、 = 0.2su= 1.2.由 b1 = 30, b6 = 10,得b= 30,b + 5d2= 10,b1= 30? b2= 26.d2= 4C2= a2b2= 1.2 x 26= 31.2.所以第2年养鸡场的个数为 26个，全县出产鸡的总只数是 31.2万只.(2) C6 = a6be= 2 x 10= 20<C1 = a1b1 = 30,所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.(3) T a = 1+ (n-1) x0.2 = 0.2 n+ 0.8 ,bn= 30+ (n 1) x ( 4) = 4n + 34(1 w nw 6), Cn= an bn = (0.2 n+ 0.8
8、)( 4n+ 34)=0.8 n + 3.6 n+ 27.2(1 w nW 6).9对称轴为n = 9,所以当n= 2时，6最大.4所以第2年的规模最大.反思与感悟解决与数列有关的应用题应注意以下几点：(1) 题目中用到的数列是等差数列还是等比数列.(2) 题目中要求的是数列的项还是和.(3) 所用的数列的首项是哪个？(4) 得出的结论是否符合实际.跟踪训练1某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给 股东们分红500万元.该企业2021年年底分红后的资金为1 000万元.(1) 求该企业2021年年底分红后的资金；(2) 求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32
9、 500万元.解 设an为(2021 + n)年年底分红后的资金，其中n N,那么 a1 = 2x 1 000 500 = 1 500 ,a2= 2X 1 500 500 = 2 500 ,an= 2an1 500( n>2).所以 a 500= 2(an-1 500)( n>2),即数列an 500是首项为a1 500 = 1 000，公比为2的等比数列. 所以 an 500= 1 000 X2 n 1,所以 an= 1 000 X2 n1+ 500.(1) a4= 1 000 X2 41 + 500= 8 500 ,万元.所以该企业2021年年底分红后的资金为 8 500(2)
10、由 an> 32 500，即 2n1> 32,得 n> 6,所以该企业从2021年开始年底分红后的资金超过32 500万元.题型二数列的交汇问题例2设数列an满足1 +n 1n22 A= 1 , anan其中常数入2.(1)求数列an的通项公式;2假设入=3, bn= (2n 4 001) an,当n为何值时,bn最大?(1)由题意得丄+ - + 2a1a22n Aanan1，n2n 1 、1222 入当 n?2 时，一+= 1,a1 a2an1an1n 2an 1由一得=红一,ananan 1即 ar=(n> 2).12入又当n= 1时，二=肓1,a1 = 2 入1.
11、入1 ,数列an是以2入一1为首项，以2'牛二为公比的等比数列. an= (2 入1)(1 )n1,即an =(2 入一1)(2)当入=2时，an= 3-2,2n 4 001 bnn 132bn> bn+ 1设bn最大，那么2n 4 001、2 (n +1) 4 001 3232即2n 4 0012 (n 1) 4 0013232解得4 0032< nw4 0052n N,. n = 2 002 ,故当n= 2 002时，bn最大.反思与感悟数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处它包涵知识点多、思想丰富、综合
12、性强，已成为近 年高考的一大亮点.跟踪训练2 二次函数f(x) = x2 ax+ a(x R)同时满足：不等式f(x) w0的解集有且 只有一个元素；在定义域内存在 0v X1< X2，使得不等式f(xj > f(X2)成立.设数列an的 前n项和S = f (n).(1) 求f (x)的表达式；求数列 an的表达式.解(1) f(x) W0的解集有且只有一个元素，A = a2 4a = 0,二 a= 0 或 a= 4.当a = 4时，函数f (x) = x2 4x+ 4在(0 , 2)上递减，故存在0v X1V X2,使f(x >f(X2)成立； 而当a= 0时，f(x)
13、= x2在(0 ,+s)上递增，不合题意.故 a = 4, f (x) = x2 4x + 4.(2) 由(1)知，S= n 4n+ 4.当 n?2 时，an= Sn Sn 122=(n4n+ 4) ( n 1) 4(n 1) + 4 = 2n 5,当n = 1时，a1 = S= 1不适合上式，故 an= 1 '2n 5,四、思想方法总结n= 1 n?2'1 .转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.例1数列an满足an+1= 2an
14、+ 3x2n, a1 = 2,求数列an的通项公式.解 an+1= 2an + 3X2n两边除以2n+1,得an+1 an 3an +1 an 3尹=尹2，那么尹沪2,aai 23故数列詁是以刃=2= 1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得,an32n= 1 + (n 1) 2，3 i所以数列an的通项公式为an= (qn 2)2n.跟踪训练1数列an满足an+1 = 2an+ 35n, ai= 6,求数列刘的通项公式. 解设 an + 1 + x 5n+1= 2( an+ x5n)将an+ 1 = 2an+ 35“代入式，nn+ 1n得 2an+ 3 5 + x 5= 2an
15、+ 2x 5 ,等式两边消去2an，得35+ x5 n + 1 = 2x5 n ,两边除以5，得3 + 5x= 2x，那么x = 1,代入式得an+1 5n+1 = 2( an 5n)1由a1 5 = 6 5 = 1工0及式得，n + 1nrt r an+1 5an 5 工 0,贝y = 2.an 5 an 5n是以1为首项，2为公比的等比数列，an 5n= 1X2 n1 = 2n1, an= 2n1+ 5n( n N).2 .方程思想在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式S共涉及五个量：a1, an, n, d(q),S,其中首项a和公差d(公比q)为根本量，“知三求二是指将条件
16、转换成关于a, an,n, d(q) , S的方程组，通过方程的思想解出需要的量.例2 等差数列an各项均为正整数，a1 = 3,前n项和为S,等比数列bn中，b= 1且b2$ =64, ban是公比为64的等比数列，求 an, bn的通项公式.解 设an的公差为d, bn的公比为q,贝U d为正整数，an= 3+ (n 1) d, bn= qn1.依题意有ban+1banqan+1 1qan 1d6=q = 64= 2b2S2= q (6+ d)= 64 6由q(6 + d) = 64知q为正有理数，又由q= 2d知d为6的因子1, 2, 3, 6之一，解得 d=2, q= 8,故 an=
17、2n + 1, bn= 8 1.跟踪训练2等差数列an的前n项和为Sn,a1= 1 +2,S3 = 9 +趴归.求数列an的通项an与前n项和Sn.解 设数列an的公差为d,由题意得:.d= 2.a1 = 1+ ：23ai+ 3d= 9+ 3 2an= ai + ( n1) d= 2n 1 + 宁 2,小 n (a1 + an)厂S= p -= n(n+ .1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最根本的数列，也是高考中经常考查并且重点 考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种根本数列的概念、根本性质、 简单运算、通项公式、求和公式等问题.2 数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，假设无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择适宜的方法求和.