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1、2021年考研数学三真题一、选择题18小题，每题4分，共32分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。(1)曲线?=?+?渐近线的条数为?-1(A) 0B)1(C)2D)3【答案】【解析】由？古? f + oo?多+?_=加字-1?=? f - oo?乡+?-? f - 0?<2-1得?= 1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线;由？?？3 ?浮二o得？?= 1是曲线的一条垂直渐近线; ? fi? fi?M2由孑? 孑?=-得？?= -1不是曲线的渐近线；?f -1?f -1 ?-12综上所述，此题正确答案是C【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸、拐点及
2、渐近线(2)设函数?= (?- 1)(?- 2) ? (?7? ?)其中？为正整数, 那么?%0)=(A)(-1 )?-1(?2 1)!( B) (-1 )?(? 1)!(C)(-1 )?-1(?!(D) (-1 )?(?!【答案】A【解析】【方法1】令g(?= (?- 2)?(? ?)那么?= (?- 1)g(?%?)= ?牝(？+ (?皆-1)g (?(0) = g(0) = (-1 )(-2 )? (-(? - 1)=(-1 )?-1(? 1)!故应选A.【方法2】由于?0) = 0,由导数定义知?(0) = ?=?|八_2)_(?_2? T0 ? T0=?1) ?(?_ 2) ? (?
3、*? ?) ? F ? J=(-1 )(-2 )? (- (? 1) = (-1 )?-1(?2 1)!.【方法3】排除法，令？?= 2,那么?= (?- 1)(?- 2)?(? = ?(?2?- 2) + 2?，?- 1)?(0) = 1 - 2 = -1那么(B)(C)(D)均不正确综上所述，此题正确答案是(A)【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念? 设函数？?(?连续，那么二次积分£?爲?(?(A) (?去籍?+ ? ?(?+ ?)?(B) 彳？?壬籍?)?(C) 彳？汙爲“字?+ ?(?+ ?)?(D) 彳？?£：£?(?+?)?【答案】B。
4、【解析】令？?= ?,?那么?,2所对应的直角坐标方程为？ +? = 4,?= 2?所对应的直角坐标方程为(?- 1)2+ ?= 1 o?由 2 ?22?(/?1?积分区域?2 ? ?s< 2 0 < ?< 2得在直角坐标下的表示为V2? ? < ?< v4 - ?,0< ?< 2所以 但？b?(? z2 ?v±?2?(?+ ?)?02 ?0v 2?-?Q综上所述，此题正确答案是(B)。【考点】高等数学一多元函数微积分学一二重积分的概念、根本性质和计算(4)级数X?=1(-1) ?V?绝对收敛，级数X?=1 (?-?条件收 敛，贝S11,?a
5、_2故a-2> 1,即 /(A)0 < ?< -(B) - < ?< 1?由级数/务条件收敛，知a< 2 综上所述，此题正确答案是(D)【考点】高等数学一无穷级数一数项级数敛散性的判定0 0 1-1(5) 设? = 0,?= 1,?= -1 ,?= 1 ,其中？?,？?,？4?为?4?任意常数，贝S以下向量组线性相关的为(A) ?,?,?(B) ?,?,?(C) ?,?,?(D) ?,?,?【答案】C。【解析】?个?维向量相关? |?,?,? ? = 00 1 -1显然，1?,?,?| = |0-11 | = 0?1? ?4?所以？,？,？必线性相关综上所述
6、，此题正确答案是(C)。【考点】线性代数一向量一向量组的线性相关和线性无关1 0 0(6) 设?为3阶矩阵，？为3阶可逆矩阵，且？?？?= 010假设0 0 2?= (?霜？?？刘,？?= (?+ ?，那么?=100100(A) 020(B)010001002200200(C) 010(D)020002001【答案】B。【解析】由于？经列变换(把第2列加至第1列)为?有100?=?110= ?(1)001那么？ ？?= ?)?？?？?)二?)?-? ?)100100100100-110010110=010001002001002综上所述，此题正确答案是(B)。【考点】线性代数一矩阵一矩阵运算、
7、初等变换 设随机变量？?相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，那么?+ ? < 1=(A)44(C) n'丿8B) 12D)上【答案】D。丿4【解析】? + ? < 1 = ?(?)? X 1 J V /?+?2 <11,0 < ?< 1,0 < ?< 1,而?=恋？?(？ = 0 其他即?是在正方形0 < ?< 1,0< ?< 1上等于常数1,其余地方均为0,?2+?*g ?(?)?实际上就是单位圆？+ ? <1在第一象限的面积。综上所述，此题正确答案是D【考点】概率论与数理统计一多维随机变量的分布一二维
8、随机变量分布(8)设?？,？,？,？?为来自总体？1,?)(?> 0)的简单随机样本，那么统计量? -?21?3+?4-2 |的分布为(A)?0,1)(C)?(1)(B) ?(1)D) ?(1,1)【答案】B【解析】1, ?- ?勺0,2?)，故?J?(0,1)；2, ?+?- 2?(0,2?)，故?V?4-2 ?(0,1),v2(T(沪)5(1)用+?4-2 、2|?色+?4-2 |，VV V T ) /1= V T3, ?- ?与?+ ?- 2相互独立?尹与严?4-2 )2也相互独v2 (TV2 (T立,?| -? 2,所以“安爲冈?-?212 ?(1)|?/3+?4-2 |综上所述
9、，此题正确答案是 B。【考点】概率论与数理统计一数理统计的概念 二、填空题(914小题，每题4分，共24分。)i(9) ? ?=?-4【答案】？?迈1(?？?=? 1?=?=?1 1 ?(2)?(?= 2?2?_ 1?=? ?1 + (? 1) ?2-?>? 11?= ?= ? = - V2?垒？?9 ? ? J?® ?) J?- 44'? 4 1 - 所以? ?= ?-?v2?亠4【考点】高等数学一函数、极限、连续一两个重要极限(10)设函数?= 鳥碍?猗1 ?= ?(?),那么篡2/z/?<1?=?【答案】?【解析】?= ?可看做？?= ?与？?= ?的复合，
10、当？?= ?时1 1?= ?-? -?=?由复合函数求导法那么知【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念11设连续函数？?= ?满足?im?：2；+?-； = 0 那么？?1? F【答案】2? ?【解析】由?m?,?2?+?-20 V ?+(?-1)20,且2乍?连续，可得?0,1 = 1且?J 0?11)?- ?0,1) = 2?- (? 1) + ?( v2?(?- 1)2)( ,由可微的定义得,?炉,1 = 2,?炉,1 = -1即?(?)=?e，i)?xo,i)? 2? ?,【考点】高等数学一多元函数的微分学一多元函数偏导数的概念 与计算(12) 由曲线？?= 4和直线？?=
11、 ?及?= 4?在第一象限中围成的平面图 ?形的面积为,。【答案】4?2【解析】曲线？?= 4和直线？?= ?及?= 4?在第一象限中围成的平面域如下?图，那么所围面积为?=八4? ?八4- ?)?4?2【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的应用(13) 设？为3阶矩阵，|?= 3, ?为？的伴随矩阵。假设交换？的第1行与第2行得到矩阵?那么|?=。【答案】-27【方法1】两行互换两列互换？变成?所以|?= -1?再由行列式乘法公式及 |?| = I?-1，那么|?= |?|?|?| = - |?|?2 二-27,【方法2】根据题意010,100?=?即？?=?2?001那么?= ?2?=
12、 |?2 = 3?2从而 |?= |3?2丨=33|?2| = -27,【考点】线性代数一行列式一行列式的概念和根本性质,线性代数一矩阵一伴随矩阵，矩阵的初等变换1 1(14) 设?是随机事件，？?互不相容，？?= ?,? = 3那么 ?(?|?),。【答案】34【解析】3 - 4=丄 2-2一3?互不相容，自然有? ?当然更有? ?，所以?(?|?)?(?) ?(?)?(?) = 1 - ?(?)【考点】概率论与数理统计一随机事件和概率一事件的关系与运 算，概率的根本公式，事件的独立性三、解答题：1523小题，共94分。解容许写出文字说明、证明过 程或演算步骤。?2-2 cos ?(15)
13、求极限lim-? F?咿【方法1】lim? F? - ?2-2 cos ?-=lim ?2 cos ? F?-2+2 cos ?=lim 4? 5?2?-2 sin ?=lim? 5?4?1-cos ?=2?巴0 3?2【方法2】?- lim ? F【方法3】?2 lim ? F?-2+2 cos ? i?lim ?"? 5?等价无穷小代换洛必达法那么芒1 ?12?2-2 cos ?=lim ?2? F ?-2+2 cos ?=lim? 5?-?2-2 cos ?cos ?m? -2+2 cos ?_ i?等价无穷小代换?=lim ?-2+2于 4!? 5?+?土亠泰勒公式丄？夕+?
14、(?夕)=lim 12? 5?112?2-2+2 cos ?) 二？ lim ( “ r ? 5?-2+2 cos ?=lim? F?2?-2 sin ?,=lim3''? F 4?0拉格朗日中值定理洛必达法那么1-?<3=2?2 ?6 /i12【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四那么运算高等数学一一元函数微分学一微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法那么(16) 计算二重积分？?其中?是以曲线？?= V?=冷及?轴为边界的无界区域。【解析】11 1? ?仞？/? ?=?？彳1 - ?)?0V?2 0?111=-?1
15、 - ?)| + r ?'20丿。7?*?1 - r ?【考点】高等数学一一元函数积分学一不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法,高等数学一多元函数微积分学一二重积分的概念、根本性质和计算(17) 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定本钱为10000(万元)。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是？?牛)和?(件),且这两种产品的边际本钱分别为20 +負万元/件)与6 +?(万元/件).(I) 求生产甲、乙两种产品的总本钱函数？?(?？?(万元);(II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总本钱最小？求最小本钱；(III) 求总产量为50件且总本钱最小时甲
16、产品的边际本钱，并解 释经济意义。【解析】总本钱函数,? = 10000 + 20?+ 一+ 6?+ 一，(万元)42(II)由题意知，求？?在？各?= 50时的最小值，构造拉格朗日函数?= ?+ ?(?+ ? 50)? ?=10000 + 20?+? + 6?+?+?h ?50). ?= 20 + 2?+ ?= 0,解方程组 ?= 6 + ?f ?= 0,得？?= 24, ?= 26.(?+ ? 50) = 0.因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为 50件 时，甲乙两种产品的产量分别是 24 26时可使总本钱最小，且此 时投入总费用242262?(? = 10000 + 20
17、X 24 + 6 X26 += 1111842(万元)(III) 甲产品的边际本钱函数：？?(?？ = 20 + ?于是，当总产量为50件且总本钱最小时甲产品的边际本钱24?(? = 20 + y = 32其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24 26时，假设甲的产量每增加一件，那么总本钱增加 32万元。(18) 证明：？?？?？+cos?1 + ?,(-1 < ?< 1)1-? 2【解析】【方法1】记?= ?鬻+ cos? 1 - ?那么1 + ? 2?(?= ? + ?1 _ ? 1 - ?44?'，=(1?H+(1- ?)2- 1- cos?当-1 < ?兴
18、1时，由于丄 > 4,1 + cos?< 2所以? 胃2?>1-?0从而?'单调增加。又因为？?(0) = 0,所以，当-1 < ?< 0时，?(?< 0;,当0 < ?< 1 时，？?(？> 0,于是?0) = 0 是函数? 在 (-1,1)内的最 小值。从而当-1 < ?* 1 时，？?？ > ?0) = 0即?+ cos?> 1 + ?,(-1< ?兴 1)1-? 2 '、 + ? 2? ?> 0-> 2?= ?f ?> ?+ sin ?1 - ? 1 - ?从而有？?(?？&
19、gt; 0, ? (-1,1)有?0) = 0那么当-1 < 2* 1 时，？?？ >?0) = 0即?+ cos?> 1 + ?,(-1< ?兴 1)1-? 2 '、 1【方法2】记?= ?烤+ cos? 1-空(-1 < ?< 1)1-? 2 ' 丿显然，？?是偶函数，因此只要证明? > 0?隹0,1)由于?%? =? 2? +? 1 - ?-? 0,1)考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四那么运算，函数单调性的判别，函数的极值(19) 函数？?满足方程？(？+ ?(?- 2? = 0及？(？ +?(?) =
20、 2?,(I) 求?(?)的表达式；?(II)求曲线？?= ?(字？ j? ?(-?)?的拐点【解析】(I) 联立0,? ( ? + ?(? - 2?=?(?) + ?(?) = 2?,得?(?) - 3?(?) = -2?因此?(?) = ?j3?( j -2?- j3?+ ?)= ?+ ?3?代入?(?+ ?= 2?,得？?= 0 所以?= ? (II) ?= ?(?2) j0?(-?2)?=?2j0?-?2?ff?=? = 2? ?2 j ?-?2?+?10?2?+ 2(1 + 2?2)? ?2 j ?-?2?0当？?< 0时，？< ?;,当？?> 0时，？ >
21、0又?) = 0所以曲线的 拐点为(0,0)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念,导数和微分的四那么运算,函数单调性的判别,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线1 ? 0 01(20) 设?= 0 J J ?,?=0 .? 0 0 10计算行列式|?;(II)当实数？为何值时，方程组？?？ ？有无穷多解，并求其通 解。【解析】按第一列展开(II)?0?001?+ ?-1 )4+1|1?0| = 1 - ?0101?1|?= 1 ?|00?有无穷多解，由上可知当|?= 0时，方程组?=?= 1 或-1如果?= 110L01110001100 10|-11 01 01-0L001-0L0 00
22、1101100110 -1 001100 10|-110-11-0L0010 0 1110|-10111 0 0 11-20|-1 10 0 -2? = 3, ?(?= 4,方程组无解，舍去当?= -1时,1-10011-1001-101-0-0L01-1001-1 101100100-101-10011-100L01-10|0】-0L01-101-1 10100-1100000 1-01-01 10 10-10 0? = 3二?(?)方程组有无穷多解，取?为自由变量，得方|-0程组通解为(0,-i,o,o)T+ ?(i,wT,?为任意常数【考点】线性代数一线性方程组一线性方程组有解和无解的判
23、定，非齐次线性方程组的通解1(21)？?= 0 -100 11?，二次型？?,？?,？?)= ?(?"?)?的 秩为? -12求实数？的值；(II)求正交变换？?= ?将?化为标准形【解析】 因为？?？ = ?(?对？做初等行变换1?= 0 -100 1 1 1 0 ? ? -11-0L000 10 ?11?+01,所以，当？?= -1 时，？(?？= 2(II)由于?= -1，所以？?=20222，矩阵？的特征多项4式为? 2|?-? ?|= | 0-20? 2 -2于是？?的特征值为？= 2,-2-2?2| =入(? 2)(?- 6),4?= 6, ?= 0当?= 2时，由方程组
24、(2?-?= 0可得到属于?= 2的一个单位特征向量-1(1, -1,0) T ；v2当?= 6时，由方程组(6?- ?= 0可得到属于?= 6的一个单位特征向量-1 (1,1,2)T ；v6当?= 0时，由方程组(0?- ?= 0可得到属于?= 0的一 个单位特征向量冷(1,1,-1) T。V311V6V3令？=11V6V32 1v6那么？在正交变换？?= ?下的标准形为?= 2? + 6?【考点】线性代数一矩阵一矩阵的特征值和特征向量的概念、性质线性代数一二次型一二次型的标准形和标准形，用正交变换和配方法化二次型为标准形求?= 2?(II)求?)【解析】(I) ?= 2?= ?= 0,?=
25、10+ ?= 2,?= 1 = 1 +40=；(II)由(?,?的概率分布可得1?= 0 = +4?= 1=10=3 ；?= 2=1212?:?= I 11 = 0 + 3+ 0= 3 ；1?= 0 = +4?= 2 = 1 +711?= 0 ； ? 1 = § ; ?= 4=所以11 12? 0 ? + 1?一 + 2 二23631? -(0+31 + 2) = 112 12 12?= 3(03-1)2 + 3(1 -1)2 + §(2-1)2 ='311 2?=?_ + _ = _333所以2222?- ? = ? ?= 3 -3-3 =-3【考点】概率论与数理
26、统计一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质(23)设随机变量？?相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记?= ?,? ,?= ?,?.I， J，l ，J(I) 求?的概率密度 ?(?)；(II) 求?(?+ ?.)【解析】(I)?(? = ?< ? = ? < ? = 1 - ? < ?=1 - ?> ?> ? = 1 - ?> ? ?,= 1- ?-?-?=1- ?-2?,?> 0，115''w2?-2? ，?> 0当？?w 0时，？?(？= 0, ?(?= 0, ?< 0(II)?(?+ ?) = ?(?+ ?) = ?+ ?=? 1+ 1 = 2【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布常见随机变量 的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望均值、方差、标准差及其性质33(C) 1 < ?< 3(D) 3 < ?< 2【答案】D。【解析】由级数E?=1(-1) ?V?fe对收敛，且当时