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1、圆的基本概念和性质 教学设计教学设计思想圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮
2、助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。教学目标圆的基本概念和性质总目标：1、 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系；2、 掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用；3、 探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。第一课时教学目标知识与技能：1、经历圆的形成过程，理解圆的概念，2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是
3、中心对称图形；过程与方法：1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；情感态度价值观：经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。教学重难点重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。学情分析1 / 15学生在小学已经学过圆的一些知识，对于圆已经有初步的了解，并会利用圆规画园，经历了在操作活动中探索圆的性质的过程。初步了解圆所具有的一些性质，并会用自己的语言加以简单描
4、述，初步具有了有条理地思考与表达的能力，为本章的深入学习奠定了基础。当然105班的学生基础普遍偏差，接受能力较弱，而本课时概念较多，容易混淆，因此在教学中也不能盲目，必须一步一个脚印的走，务必让学生实实在在的理清概念，这样才可能为后面内容的学习打好基础。教学方法启发式教学教学媒体电子白板，课件，圆规，直尺，半透明纸。课时安排1课时教学过程设计第一课时活动一、观察与思考课件展示：第一章幻灯片生活中的圆；第二章幻灯片自行车和皮带转动轮。教师提问：车轮是什么形状的？学生回答：圆形（问题简单，一起回答）设计意图：通过实际情景，展现生活中圆的存在、应用及价值，从而引起学生的兴趣。教师又问：“为什么车轮要
5、做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角形、四边形等？”学生回答：“不能！”“它们无法滚动！”课件展示：小人骑不同轮子小车。教师追问1：那我们这样吧，把轮子作成椭圆的，可不可以，同时在黑板上画一椭圆。学生回答：不行，这样一来，车子前进时，就会一忽儿高，一忽儿低。教师追问2：为什么做成圆形就不会一下高，一下低呢？学生思考，同桌讨论，并回答：因为车轮上的任何一点到轴心的距离都相等的。设计意图：通过对车轮的观察及认识，感知圆的定义及特性。活动二、概念探索教师启发：同学们知道怎样画出一个圆么？你都有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，然后教师课件演示动画画圆的过程，之后学生自己动手画圆。设计意图：
6、学生知道怎么画圆，让学生亲身体会圆的形成过程，为定义的顺利产生做好铺垫。圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。以O为圆心的圆，记做O，读作：圆O，确定圆的两个要素：圆心和半径。有关圆的几个概念：1、弦和直径：利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段。指出：连结圆上任意两点的线段叫做弦。如线段CD，AB，EF，DF都叫做O的弦（如图2）。进一步指出：图中弦AB经过圆心O，我们把经过圆心的弦叫做直径。最后让学生观察，得出：直径等于半径的2倍，并且强调直接是最长的弦。2、弧：继续引导学生观察图2，发现，连结圆上任意两个点可以得到一条弦
7、。同时，这两个点还将圆分成两部分，我们把每一部分叫做圆弧，即：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。用符号“”表示，如以C、D为端点的弧，记做。继续引导学生观察会进一步发现，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧我们把它叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的弧、等，小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的，等。3、等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。（此处用课件演示圆重合的过程，图3）4、等弧：课件演示两段弧重合的过程，指出：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。概念辨析：（1）、直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？（学生口答并说明理由）教师强调：直径是弦，但在一般
8、情况下弦不是直径，只有在弦经过圆心时，这弦才叫做直径，是最长的弦。（2）、半圆是弧吗？弧是不是半圆？（学生口答，并说明理由）教师强调：半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆。（3)、长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？（学生口答）教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧，此处师用两根长度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，此难点很容易被突破。设计意图：通过课件的动画效果以及实物教具，可以让学生获得更加直观的知识，同时对本节繁多的系列概念认识更清晰，掌握更牢。活动三、实践操作，探究结论教师提出问题：1、让学生在一张半透明的纸上以O
9、 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？2、将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？学生活动：动手操作，探索圆的对称性。设计意图：培养学生观察、动手能力，能不能发现结论的能力。学生归纳结论（教师做必要的补充）：圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。活动四、课堂练习1、 课件练习；2、 教材P81 练习1，2，3设计说明：通过不同形式的练习，从不同角度帮助学生进一步加深对圆的定义及相关概念的认识，形成初步的技能。活动五、课堂小结这节课我们学习了哪些主要概念？知道了圆的什么性质？（主要总结
10、本节课的主要内容）在学生回答的基础上，教师强调：本节课学习了圆的有关概念。在这些概念中，要特别注意“直径和弦”、“弧和半圆”，以及“同圆、等圆和同心圆”这些概念的区别和联系。另外还要注意，等圆和等弧的概念，是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据。六、板书设计圆的基本概念一、圆的有关概念 二、圆的对称性 三、练习圆 弦半径 直径活动二、概念探索教师启发：同学们知道怎样画出一个圆么？你都有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，然后教师课件演示动画画圆的过程，之后学生自己动手画圆。设计意图：学生知道怎么画圆，让学生亲身体会圆的形成过程，为定义的顺利产生做好铺垫。圆
11、的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。以O为圆心的圆，记做O，读作：圆O，确定圆的两个要素：圆心和半径。有关圆的几个概念：1、弦和直径：利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段。指出：连结圆上任意两点的线段叫做弦。如线段CD，AB，EF，DF都叫做O的弦（如图2）。进一步指出：图中弦AB经过圆心O，我们把经过圆心的弦叫做直径。最后让学生观察，得出：直径等于半径的2倍，并且强调直接是最长的弦。2、弧：继续引导学生观察图2，发现，连结圆上任意两个点可以得到一条弦。同时，这两个点还将圆分成两部分，我们把每一部分叫做圆弧，即：圆上任意两点
12、间的部分叫做圆弧，简称弧。用符号“”表示，如以C、D为端点的弧，记做 。继续引导学生观察会进一步发现，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧我们把它叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的弧 、 等，小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的 ， 等。3、等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。（此处用课件演示圆重合的过程，图3）4、等弧：课件演示两段弧重合的过程，指出：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。概念辨析：（1）、直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？（学生口答并说明理由）教师强调：直径是弦，但在一般情况下弦不是直
13、径，只有在弦经过圆心时，这弦才叫做直径，是最长的弦。（2）、半圆是弧吗？弧是不是半圆？（学生口答，并说明理由）教师强调：半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆。（3)、长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？（学生口答）教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧，此处师用两根长度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，此难点很容易被突破。设计意图：通过课件的动画效果以及实物教具，可以让学生获得更加直观的知识，同时对本节繁多的系列概念认识更清晰，掌握更牢。活动三、实践操作，探究结论教师提出问题：1、让学生在一张半透明的纸上以O 为
14、圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？2、将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？学生活动：动手操作，探索圆的对称性。设计意图：培养学生观察、动手能力，能不能发现结论的能力。学生归纳结论（教师做必要的补充）：圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。活动四、课堂练习1、课件练习；2、教材P81 练习1，2，3设计说明：通过不同形式的练习，从不同角度帮助学生进一步加深对圆的定义及相关概念的认识，形成初步的技能。活动五、课堂小结这节课我们学习了哪些主要概念？知道了圆的什么性质？（主要总
15、结本节课的主要内容）在学生回答的基础上，教师强调：本节课学习了圆的有关概念。在这些概念中，要特别注意“直径和弦”、“弧和半圆”，以及“同圆、等圆和同心圆”这些概念的区别和联系。另外还要注意，等圆和等弧的概念，是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据。六、板书设计圆的基本概念和性质（一）一、圆的有关概念 二、圆的对称性
16、60; 三、练习圆 弦 半径 直径弧 半圆 优弧 劣弧等弧（同弧） 等圆（同圆）第二课时一、引入新课上节课我们一起认识了圆及圆的有关概念，我们做如下练习。指出图中所有的弦和弧：这节课我们继续认识圆中的弦与弧，
17、探究它们之间的关系。二、观察与思考让学生做如下操作：在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的O1，O2及相等的两条弦AB，CD，把两张纸叠放在一起，使O1与O2重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当角度，使弦AB和弦CD重合。回答：与是什么关系？思考：（1）在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？（2）在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？由此你能得出什么结论？学生通过动手发现弦、弧之间的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等。三、一起探究（1）在纸上画出一个圆，并画出任意一条直径及与该直径垂直的一条弦；（2）将O沿CD所在的直线对折，
18、哪些线段重合？哪些弧重合？由此你得出什么结论？学生活动：分成小组动手操作，总结得出的结论，并尽力证明垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。四、大家谈谈如图，O的直径CD交弦AB（不是直径）与点E，AE=BE。1。你认为CD与AB垂直吗？为什么？2。你认为分别具有什么样的关系？和同学说说你的结论和理由。学生活动：小组讨论，总结性质。结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。五、巩固练习教材P6练习1，2六、小结这节课你的收获什么？你对弦与弧都有了哪些认识？七、板书设计圆的性质观察与思考 一起探究 大家谈谈 练习性质1 性质2 性质3 圆心角和圆
19、周角 教学设计教学设计思想本节在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，渗透了分类讨论的思想。在探究活动中，学生体会分类讨论点必要性和方法。本节课遵循“以教师为主导，以学生为主体”的教学原则，以“发展学生的思维”为主线。教学过程中，通过设问进行师生之间，学生之间的交流，根据学生反馈的信息，教师对出现的问题及时加以校正。最后通过练习及时反馈学生对知识掌握的情况，通过小结进一步使学生明确本节课的教学目标。教学目标知识与技能：1。能说出圆心角、圆周角的概念；2。明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。过程与方法：通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关
20、系，体验探索过程。情感态度价值观：体会从“特殊到一般”的数学思想方法，及在解决问题中体会与他人合作交流的重要性，养成合作学习的习惯。教学重难点重点：圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程教学方法1。采用引导探究法，体现“教为主导，学为主体”的教学原则。2。学法指导：通过教师的“教”导出学生动脑、动口、动手的“学”，使学生由“学会”向“会学”过渡，力争体现“教是为了不教“的原则。教学媒体多媒体课时安排2课时教学过程设计第一课时一、创设情境，引入新课通过上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将O绕圆心O旋转任意角度
21、后，出现一个角AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图 (如有条件可电脑闪动显示图形。) 在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上。在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书。顶点在圆心的角叫做圆心角。再进一步观察，是AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角AOB也是所对的弦。这节课我们就来研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系。二、一起探究1。请同学们自己画一个圆心角AOB，再在同一圆中画出与AOB相等的另一个圆心角COD，再作出它们所对的弦AB，CD。（1）请大家大胆猜想，AOB=COD，其余两组量，弦AB与CD大小关系如何？学生很容易猜出：，AB=CD。教师进一步提
22、问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？学生最容易想到的是证全等的方法可以得出AB=CD，那么怎样证明弧相等呢？学生思考并回忆弧与弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等。所以由AB=CD可得。（2）如果AB=CD（或），那么AOB等于COD吗？学生积极思考，同样利用三角形全等可推理证明AOB=COD。2。刚才我们探究的是同一圆中圆心角与弦、弧的关系，下面我们如果画两个相等的圆O1与O2，AO1B=CO2D，那么AB与CD，分别相等吗？反过来，如果AB=CD（或），那么AO1B等于CO2D吗？为什么？学生小组交流，推理
23、证明，老师规范学生的书写格式。通过探究我们可以知道什么性质？学生总结，老师补充，板书定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等，相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等。三、巩固练习课本P9练习1，2四、课堂小结这节课你的收获是什么？五、作业课本P9习题1，2，3六、板书设计圆心角定义 一起探究 练习 性质 第二课时一、类比联想，引入新课1。显示实际生活中的图形，感受圆周角。2。电脑显示圆心角，如图1。将圆心角的顶点进行移动。（如图2）教师边演示角的顶点运动的情况，边讲解：（1）当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如AOB；（2）角的顶点运动到圆内，如ADB；（3）角的顶
24、点运动到圆外，如AFB；（4）当角的顶点运动到圆周时，如ACB这样的角叫什么角呢？学生会马上猜出：圆周角。教师给予鼓励，并引出课题。3。引导学生探索与讨论。什么样的角是圆周角呢？鼓励学生尝试自己给圆周角下定义。估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角。是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示图3。学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：（1）顶点在圆周上；（2）两边都与圆相交，最后让学生给圆周角下一个准确定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角。教师进一步提问：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两
25、边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意两边“两边都与圆相交”这一条件。练习1，判断题：下列命题是否正确？（1）圆周角的顶点一定在圆上；（2）点在圆上的角是圆周角；（3）圆周角的两边都和圆相交；（4）两边都和圆相交的角是圆周角。设计意图：通过学生自己去发现圆周角定义，加深学生对概念的理解。二、做一做某艺术团到基层进行慰问演出，演出现场为一圆形广场，其中为一临时搭建的圆弧形舞台，在圆上的点P和点Q处分别安放一台摄像机。（1）你认为这两台摄像机相对于舞台的张角APB与AQB的大小具有什么关系？把你的判断和同学进行交流。（2）请用量角器量出这两个角的大小，验证你的
26、判断。（3）请画一个圆，在这个圆上任意截取一段弧，并画出所对的任3个圆周角，用量角器量出这些角的大小关系。学生首先凭直觉猜想两个角相等，然后用测量或其他方法验证猜想的正确性，最后画图进一步验证：同弧所对的任意圆周角都是相等的。三、观察猜想，寻找规律1。圆周角和圆心角是圆中不同的角，有着不同的性质。观察图2，ACB与AOB对着同一条弧，它们之间有关系吗？提出问题，让学生思考。教师可以引导学生从特例看起。学生和教师一起画图，如图：图（1）、图（2）中，圆心角AOB分别等于多少度？学生很快答出：AOB分别等于180°，90°。让学生进一步观察，所对的圆周角ACB又分别等于多少度？
27、学生通过观察，会得出所对的圆周角ACB分别为90°，45°。2。通过特例，你发现了什么？大胆的猜想一下。学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。设计意图：圆周角和圆心角联系的桥梁是它们所共同对着的那条弧，在特殊情况下，较易发现它们之间的关系，符合从特殊到一般的认识规律。四、一起探究猜想是否正确，还有待证明。教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证。但是，学生画出的图形往往只是一种情况。先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同，如果不同，有何区别？教师可在教室巡视，把学生画出的不同情况的图形拿出来，利用实物投影在全班交流。若三种位置关系都
28、出现，让学生观察、比较，叙述特征，提问：还有没有其它可能？学生议论后，利用电脑演示同一条弧所对的圆周角的顶点在圆周上运动的过程，加以验证。若只出现两种位置关系，电脑先演示同一条弧所对的圆周角的顶点在圆周上运动的过程，让学生思考：所画图形是否全面？通过自己观察、分析，交流得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系。进而得到圆心角的顶点（圆心）在圆周角的“一边上”、“内部”、“外部”三种情况，如图5所示。观察以上三个图形，三种情况中哪一种最特殊，最容易证明呢？经思考学生会发现，从情形（1）入手最容易证明，只要利用“等边对等角”和“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”就可以
29、证明结论。再研究情形（2）。如果点O在ACB的内部时，还能象情形（1）那样证明吗？学生观察、思考后会回答：不能。那么我们能否想办法将情形（2）转化成特殊情况呢？在教师的启发下，学生会发现只要过点C作直径CD，问题就解决了。有了情形（2）的经验，对于情形（3）：点O在ACB的外部时，怎样转化，可完全交给学生自己解决。最后由学生口述，教师规范板书一种证明过程，其余两种由学生书写，教师作个别指导。待师生共同完成证明过程后，将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”。通过此定理的证明，要使学生明确，要不要分不同情况来证明，主要看各种情况的证明方法是否相同，相同者不需分，不相同者必须对各种不同情况逐个加以证明。设计意图：学生动手实践，再观察，比较，分析，交流，体现了学生的主体作用。计算机辅助教学，突破难点。教师板书，培养学生良好的书写习惯。练习2：如图在下列各图中1= ，2= ，3= ，4= 。五、小结利用提问形式，从以下三方面进行小结。（1）本节课所学习的主要内容是什么？（2）本节课涉及的数学思想方法主要有哪些？电脑屏幕显示下图：六、作业课本P 12 1，2，3七、板书设计圆周角定义 性质1 一起探究 练习1 性质2 练习2