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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛辅导资料（17）奇数偶数甲内容提要1 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被能被 2 整除的整数是奇数，如1， 1， 3。如果 n 是整数，那么2n 是偶数， 2n 1 或2 整除的整数是偶数，如2， 0 2，不2n+1 是奇数。如果n 是正整数，那么2n是正偶数， 2n-1 是正奇数。2 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：整数奇数偶数或 整数集合奇数集偶数集这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。3 奇数偶数的运算性质：奇数±奇数偶数，奇数±偶数奇数，偶数±偶数偶数奇数&
2、#215;奇数奇数 奇数×偶数偶数，偶数×偶数偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数。乙例题例1求证：任意奇数的平方减去1 是 8 的倍数证明：设k 为整数，那么2k 1 是任意奇数，（ 2k 1） 2 1 4k2 4k 1 1 4k(k 1) k(k 1)是两个連续整数的积，必是偶数 4k(k 1)是即任意奇数的平方减去1是 8的倍数例2已知：有n 个整数它们的积等于n，和等于0求证： n 是 4 的倍数8 的倍数证明：设n个整数为x1 ,x2,x3,xn根据题意得x1 x2 x3xnnx1x2x3xn0如果 n 为正奇数，由
3、方程（1）可知 x1,x2,x3, xn 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以 n 一定是偶数；当 n 为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2 ,x3, xn 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（ 2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2 个。学习必备欢迎下载所以 n 是 4 的倍数。例 3 己知： a,b,c 都是奇数求证：方程 ax2+bx+c=0 没有整数解ax2，bx， c 都是奇数，证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的而右边 0 是偶数，故不能成立；若方程的整数解 x 是偶数， 那么 ax2,bx, 都是偶数， c 是奇数
4、， 所以左边仍然是奇数，不可能等于 0。既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 (以上的证明方法是反证法)例 4 求方程 x2 y2 60 的正整数解解： (x+y)(x y)=60，60 可分解为： 1× 60， 2× 30， 3× 20， 4× 15， 5× 12， 6×10左边两个因式 (x+y) ， (x y)至少有一个是偶数因此 x, y 必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0, 适合条件的只有两组xy30xy1 0xy2xy6解得x16x8y14y2方程 x2 y2 60 的
5、正整数解是x16x8y14y2丙练习 171 选择题设 n 是正整数，那么n2+n-1 的值是（）（A ）偶数（ B）奇数（ C）可能是奇数也可能是偶数求方程 85x 324y=101 的整数解，下列哪一个解是错误的？（）（ A ）x5x329x653x978y（ B）y86（ C）171（ D）2561yy2 填空：能被 3，5， 7 都整除的最小正偶数是能被 9 和 15 整除的最小正奇数是最大的三位数是学习必备欢迎下载 1 2 3 2001 2002 的和是奇数或偶数？答正整数 1234 20012002 是奇位数或偶位数？答10001能被 11 整除，那么 n 是正奇数或正偶数？答n 位3 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？4 试说明方程2x+10y=77 没有整数解的理由5 求证：两个連续奇数的平方差能被8 整除6 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7 求方程（ 2x y 2）2（ x+y+2 ）2 =5 的整数解8 方程 19x+78y=8637 的解是 ()x78x84x88x81(A)91(B)92(C)93(D)91yyyy9. 十进制中，六位数19ab87 能被 33 整除，求 a,b 的值