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1、高二数学测试题一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， ）1、设复数z 满足 (1i ) z2i ，则 z（）A 1 iB 1 iC 1 iD 1 i2. 已知 f ( x)ax33x22 ，若 f ' (1)4 ，则 a（）A191613103B3CD333曲线 yx32x4 在点 (13)， 处的切线的斜率为（）A 2B1C 2D 14 设 f'( x) 是函数 f (x) 的导函数 ,f'( x) 的图象如右图所示，y则 yf (x)的图象最有可能的是（）yyyyO1 2xO 1 22O 1 2O 1 2xxO 1xxABCD11
2、）5由直线 x， x=2，曲线 y及 x 轴所围图形的面积是（2xA.15B.17C.1 ln 2D. 2 ln 244222a ( 1 ) dx 的值为6. 设双曲线 x 2y1 a0的渐近线方程为3x2 y0 ，则a91xA ln2B. 0C. ln3D. 17设 z=x+yi （ x, yR ），且 | z4 |2, 则 y 的最小值是（）xA 3B3C3D -138观察式子： 113115，111172，122323224，则可归纳出式子为 （）222324 11111(n 2)11111(n 2)2232n 22n 132n22n 122 11112n1(n 2)11112n(n 2
3、)2232n 2n2232n22n 12x1x x2 )dxx49、设函数 fx3(log2 3 =（）0，则 fx4fx2A.13B.19C.37D.4910如图， 长方形的四个顶点为O (0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) ，曲线 yx 经过点 B 现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是51A B12223CD3411若 f (x)2xf '(1) x2 ，则 f '(0) 等于（）A. 2B. 4C. 2D. 012已知函数f ( x)x2bx 的图象在点 A（ 1， f (1)）处的切线 l 与直线 3x y 20
4、平行，若数列 1 的前 n 项和为 Sn ，则 S2014 的值为（）f (n)2015B201420132012A2015CD201620142013二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20分.）13. 已知 z 是复数，且 | z |1，则 | z34i | 的最大值为 _.14 观察下式： 1=1 2， 2+3+4=3 2， 3+4+5+6+7=5 2， 4+5+6+7+8+9+10=7 2， ，则可得出一般结论：.15.考察下列一组不等式： 235322 5252 ,2454235 253 ,255523 5222 53,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使
5、以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.16.已知数列an满足 a12 ， an 1 1an（ nN *），则 a3的值为，1ana1a2 a3a2007 的值为三、解答题17（本小题满分12 分）已知数列 an的前n项和为n，a13满足 Sn6 2an 1(n N ) ，S,（ 1）求 a2 , a3 , a4 的值；（ 2）猜想 an 的表达式。18.（本小题 12 分）用分析法证明：已知 ab0 , 求证abab19. （ 12 分）已知数列1， 1， 1，1，计算S1， S2， S3， S4，根据计算结果，1223 3 4.(n1)n猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法
6、证明.20.（本小题满分12 分）设函数 f (x) ln x ax1 a1 x( )当 a1时，求曲线f ( x) 在 x 1 处的切线方程；( )当 a1f (x) 的单调区间；时，求函数321（本大题满分12 分）设函数f xx ekxk0（ 1）求曲线 y f x 在点（ 0， f 0 ）处的切线方程；（ 2）求函数 f x 的单调区间；（ 3）若函数 f x 在区间（ -1 ，1）单调递增，求 k 的取值围 .22、 (12 分）已知函数f (x) x 3ax23x 。（ 1）若 f (x) 在 1,) 上是增函数，数a 的取值围；（ 2）若 x1是 f (x) 的极大值点 , 求
7、f ( x) 在 1, a 上的最大值；3b ，使得函数 g (x) bx 的图像与函数f ( x) 的图（ 3）在（ 2）的条件下，是否存在实数像恰有 3 个交点，若存在，求出b 的取值围，若不存在，说明理由。三解答题（本大题共6 小题，共70分.）17、（ 12 分）已知数列 a 的前 n 项和为 S ， a13 , 满足 Sn62an 1 (nN) ，nn（ 1）求 a2 , a3 , a4的值；（ 2）猜想 an 的表达式。解：（ 1）因为 a13 , 且 Sn62an 1 (nN )，所以 S162a2a13（1分）解得 a23分）又 S262a3 a1a2333，（4 分），（ 2
8、（ 3 分），解得 a3422又 S36 2a4a1a2a333332，（ 5 分）所以有 a4（6 分）48（2）由（ 1）知 a13 =3， a233， a333， a433（ 10分）20214283222猜想 an3Nn1 （ n）（ 12 分）221. 解：函数f (x) 的定义域为 (0,) ， f ' ( x)1a1a2 分xx2( ) 当 a1 时， f (x) ln x x1 ，f (1)2, f '(x)11,f ' (1)0x f (x) 在 x1处的切线方程为y25 分( )f ( x)x23x2( x1)(x2)3x23x2所以当时， f，当时
9、， f(x)00 x，或x2( x)01x21故当 a1(1,2)；时，函数 f ( x) 的单调递增区间为3单调递减区间为(0,1),(2,)8 分20已知函数 f ( x)x33x29 xa 。（ I ）求 f ( x) 的单调递减区间；（ II ）若 f (x) 在区间 2， 2 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值。【解】：（ I ） f ( x)3x26x93( x22x3)3( x3)( x1).4 分当时或单调递减，f ( x) 0 , x1 x 3, f ( x)函数f ( x)x33x29x的单调递减区间为(， ，a1) (3, ).6 分（ II ） 当 x2,2时在
10、（ -2,-1）单调递减，在（ -1,2 ）单调递增，f ( x)则函数在时取最小值 ;f ( x)x1因为 f ( 2)2a, f (2)22a,所以f ( x)在x时取最大值 .2由f ( x)maxf (2)22a，得a220所以 f ( x)minf ( 1)5a5 2712 分22、已知函数f (x)x3ax 23x。（ 1）若 f (x) 在 1,) 上是增函数，数a 的取值围；（ 2）若 x1是 f (x) 的极大值点 , 求 f ( x) 在 1, a 上的最大值；3b ，使得函数 g (x)bx 的图像与函数 f ( x) 的图（ 3）在（ 2）的条件下，是否存在实数像恰有
11、3 个交点，若存在，求出b 的取值围，若不存在，说明理由。【解】： (1) f ' ( x)3x22ax30在 x1,) 上恒成立 ,即 a3x 233 ( x1) 在 x1, ) 上恒成立 ,得 a0.42x2x(2) f ' (1)0 得 a=4.f ' ( x)3x 28x3 (3x1)( x3)31,4f (x) 在1,3上为减函数 ,在 3,4在区间上 ,上为增函数 .而 f (1)6 ， f ( 4)12 ，所以 f (x) max68(3)问题即为是否存在实数b，使得函数 x34x 23xbx 恰有 3 个不同根 .方程可化为24x(3)0等价于x24x(3 b)0 有两不等于 0x xb的实根则0 b3 ，所以 b7, b31217 解析 要证abab ，只需证 ( ab)2( a b)2即 ab 2ab ab ，只需证 bab ，即证 b a显然 ba 成立，因此abab 成立