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1、函数与导数周五训练3k(11 年重庆理 18)设 /(x) = x3 +ax2+bx+的导数 fx)满足广=2 J'(2) = -b其中常数(I)求。力的值；(II )设g3) =/(外。7求函数g(X)的极值C2、(10年北京理18)已知函数f(x) = ln(l + x) -x +1/(k>Q) 2(I)当女=2时，求曲线>，=/'(X)在点处的切线方程；(II)求/的单调区间.3、设函数/(幻=，一以一2(【)求/(X)的单调区间：(H)若。=1,攵为整数，且当x>0时，(x k)/'(x) + x + l>0,求的最大值。1> 解：
2、(I )因 /(x) = 丁 + ax1 +1,故/'(x) = 3x2 + 2ax + b ,令x = l,得/'(1) = 3 + 2« + ，由已知/'(l) = 2a,解得。=一33令x = 2,得/'(2) = 12 + 4。+ ，由已知/'(2)= 一力,解得。=一一2(H)由(I )知,g(x) = (3x2 -3x-3)e-x,从而有g(x) =+9W,令g'(x) =。，解得3=0,勺=3当 X £ (-00,0)时，g '(X)<0,故 g(X)在(-00,0)为减函数，当xe(0,3)时,g
3、'(x)>0，故g(x)在(0,3)为增函数,当xe(3,+s)时，g'(x)vO,故g(x)在(3,+8)为减函数，从而函数g(x)在玉=。处取得极小值或0) = -3,在叫=3处取得极大值g(3) = 15e"2、解： 当攵=2时，f(x) = ln(l + x)-x + /, f,(x) = -l + 2x + x3由于/(I) = In2, /'(D = -.曲线y = /(a)在点(1,/(l)处的切线方程为3y-ln2 = -(x-l)即 3x-2y + 21n2-3 = 0(II) j (x) = -, xe(-l.-Ho). + xY当k
4、 = 0时，= l + x在区间(T,0)上，/,(x)>0；在区间(0,+s)上，/,(x)<0.故/(x)得单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(。，).当OvAvl时，由/'(x)= "*'+1一1=0，得=0，x.= >0 + xk所以，在区间(1,0)和(土 ,+s)上，/ x) > 0 ：在区间(0,匕1)上，f X) < 0 kk1一1 一故fM得单调递增区间是(-1,0)和(,+s)，单调递减区间是(0,).kk当左=1时，f x）= 故/（X）得单调递增区间是（一1,+00）,1 + X当攵 >1 时，/&#
5、39;（x）= 八十 AT）= 0,得内=je（1,0）, x, =0. + xk在区间（一1,匕与）和（0,+8）上，/,«>0； K在区间（!,o）上，/x）<o k1一人-k故/W得单调递增区间是（-1,）和（0, +8）,单调递减区间是（,0） kk3、解：(1)/(幻=优一。当a<0, /V)>0, /(X)在(一8,+8)是增函数；当.> 0 ,当x w (-s,ln a)时，fx) < 0；当x e (lna,+s)时，fx) > 0所以/(x)在(8, In a)是减函数,f(x)在(lna,+s)是增函数(II) a = l
6、 时，且当 x > 0时(x-Z)/'(x) +x +1 = (x-k)(e, - l) + x +1 > 00%< 毕+ x(x>0)；令 8(幻=毕 + 工，g'(x)h”一；2)e -1e -1ex -1)-由(I )知力(x)=" 一 x - 2 在(0,+s)是增的，/?(1) < 0,/?(2) > 0 ,则做幻在(0,+s)上存在唯一的零点，g'(x)在(0,+s)上存在唯一的零点设为a,当xe(0,a)时，g'(x)vO；当xe(",+s)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+oo)的最小值为g(a)又 g'(a) =。得e" =a + 2,所以 g(a) = a + l e (2,3)，所以vg（a）, k的最大值为2.