当前小学数学教学存在的主要问题及对策.docx

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1、简单有效智慧一一当前小学数学教学存在的主要问题及对策理想的数学课堂，我以为可以用六个字来概括：简单、有效、智 慧。当前数学教学存在的主要问题是什么？这可能仁者见仁，智者见 智，没有统一的标准答案。我以为，当前数学教学值得反思的主要问 题有三：是否把数学的课堂教学搞复杂了，尤其是所谓的公开课； 是否落实了数学化的教学思想及策略，提高了数学教学的有效性； 关于“数及计算”的教学，是否以培养“数感”为主要目标？教学 的现状，可能更多的不是学数学，而是学算术。一、把数学的课堂教学搞复杂了，具体表现如下：1.把创设情境，引入新课的环节搞复杂了。案例1:二上“看望老人”的“创设情境，引入新课”教学片断。师

2、：我们中华民族有一个传统美德一一尊老爱幼。每年的农历 九月初九是中国的传统节日一一重阳节。谁知道重阳节又叫什么节？个别的学生有的说知道，好像叫老人节，多数说不知道。师：在那一天，有的人会去敬老院里看望老人（板：看望老人）（这时有学生举手）生1：我爷爷在敬老院呢！还有很多的爷爷、 奶奶也都在那，我去过那。师：你真是个尊敬老人的好孩子。今年重阳节，小红、小明、小刚他们也想去敬老院里看望老人, 老师带来了他们3个人从家到敬老院的行走路线图，请同学们仔细观 察，你在图中看到了什么？（出示例题图）生1：我在图上看到小刚家。生2：我在图上还看到了小红家。生3：我看到了邮局，还有小明家。生4：我还看到了敬老

3、院、书店。师：除了刚才大家观察到的你们还看到了什么？谁是个细心观察 的孩子？生5：我还看到了小明家到邮局有20 mo生6：邮局到敬老院有50 mo生7：小红家到敬老院有60 mo生8：我看到小刚家到书店有30 m,书店到敬老院有50 m.生9：邮局在小明家的北面，书痞在小刚家的西面，邮局和敬老院 都在小红家的西面。生10：我还看到了向上的“ ”，写赧北。（这时学生们七嘴八舌的说：那叫指向标，所指的方向是北。）师：同学们还记得在地图上如何辨认方向吗？生：上北、下南、左西、右东（学生争先恐后地说着）师：同学们，刚才你们观察得那么仔细，你能帮助3个小朋友看 图说出他们从家到敬老院的行走路线吗？先独立

4、思考，然后小组间互 相说一说你的想法。创设情境的目的是什么？ 一是衔接学生的旧经验（包括学习经 验及生活经验）；二是引发学生解题的需要感（通过数学问题的解决 的学习，可以帮助学生解决生活中所面临的问题。）什么是数学问题？数学问题常被定义为一个情境，在此情境中我 们想要到达的某一目标。只有情境，没有目标，还产生不了问题。有了目标，而通往目标 的路径是未知的，需要学生自己去寻找，去发现，问题因此便产生了。 问题既是引发学生思考或讨论的起点；问题也是学生从情境中捕捉信 息的内驱力；问题还是数学学习的发动机。在没有目标的情境中，让学生描述自己看到了什么。这是在创设 情境的教学环节，经常看到的一种现象。

5、值得反思的是，这样的教学 活动有什么意义和价值呢？出示情境图后，教师问学生：“你在图中看到了什么？ "学生 的发言接二连三，相当踊跃、热烈，但对这样的情境创设，却有人质 疑：是在上数学课还是上看图说话课？数学课程可以说是由“问题”组合而成的课程，它和其它科目 最大的区别在于，数学课本有一系列的问题等待解决。其实，出示情 境图后，可以直截了当地提出问题：小红、小明、小刚三个小朋友分 别从自己家出发，他们怎么走才能走到敬老院？在这个问题的引导 下，学生才能有的放矢从图中捕捉有用的信息，激活旧经验，解决面 临的问题。所以，创设情境，引入新课的有效策略是开门见山，直截了当, 情境及问题都和盘

6、托出。2.把探究新知的过程搞复杂了。案例2： 一上“小明的一天”（认识钟表）的“探究新知”教学 片断。师：从钟面上，你看到了什么？及你的同桌说一说。同桌讨论2分钟后，全班汇报，互相补充。生1：我看到了有12个数字。生2：我看到有两根针。生3：我还知道比较长的是分针，比较短的是时针。师：你们知道的可真多！真棒！时针和分针长得一样吗？生：不一样！师：哪儿不一样呢？生1：我觉得时针和分针有点像我们的手指（边说说边伸出手）， 时针就像我这根手指（伸出拇指）比较粗，比较短，分针就像我这根 手指（伸出食指）比较长，比较细。师：你可真会比喻！那老师考考你们，这是什么？（手指着钟 面的时针）这是什么？（手指着

7、分针）（如此反复几次，目的让学生 清楚的辨认时针分针。）师：同学们知道吗？时针和分针在钟面上是会转动的。（点击课件模拟从6时到7时的两针转动情况）师：你知道他们是怎样转动的吗？你能用手比划一下吗？生1：我知道时针转得比较慢，分针转的比较快。生2：我知道分针要转一大圈，时针才转一点点，转一格。师：你们知道的可真多。你们刚才讲的是时针和分针转动快慢 问题，那他们转动的方向呢？能比划一下吗？生3把手臂伸直，在空中顺时针画了个大圆圈。师在黑板上画了个大圆弧线，并标上箭头，并介绍人们生活中 所说的顺时针方向就是这么来的。说完，请学生再做动作练习一下。 （在黑板上板书画弧线，记录转动的方向）上述探究时钟的

8、知识，仅仅停留在识别时针及分针，以及感知 时针及分针的旋转方向，还未触及时钟如何报时的核心价值，就己经 花掉不少宝贵的时间。这种教学设计及安排的指导思想是，落实知识 点的教学。这种教学观念很容易导致知识及应用被人为地割裂，又回 到“先知识，后应用”的老路。探究新知的有效策略，是把学习新知识及解决问题的过程结合 起来。为此，教材创造了有趣的情境一一“小明的一天”，由此产生 一系列问题：小明早晨几时起床？上午几时上学？诱发学生观 察、思考、讨论、辩证，进而建构自己的知识。关于时钟上的时针（短针）及分针（长针）的位置，怎样及时 间对应的法则，不是学生自己可以探究发现的。部分学生己经学会看 时钟了，那

9、是他们从父母长辈那儿学来的；有的学生还不会看时钟。 学生之间的这种差异是正常的，也是可以利用的教育资源，即可以创 造适当的情境让学生教学生，通过学生的自我教育，普及生活常识。3.把课堂独立作业的环节搞复杂了。案例3：三上“去游乐场”的“随堂练习，巩固新知”的教学片 断O（D （课件出示来到游乐场售票处的画面，画面呈现售票处价格表 和两个旅游团队的人数）师：能把你看到的，用一句完整的话说出来吗？生：我看到了售票处的价格表：太空船每人4元，蹦蹦床每人3 元，电动火车每人2元师：你能根据图中的这些数学信息，提出数学问题并解答吗?生：能！师：先想一想，然后把你提出的数学问题说给你的同桌听，再把 你解答

10、的算式写在本子上。同伴比一比，看谁提的问题好，解答的又 正确！如果你的同伴有说的不够好的地方，一定要给他指出来哦！学生独立作业，教师及时纠正学生出现的问题。（课件出示）来到商店，学生看到琳琅满目的商品，进入服 装店，图片出示在服装店里遇到的问题：一件上衣的价钱是一条裤子 的2倍，裤子每条18元，买这样一套衣服，一共需要多少钱？师：老师遇到了一个什么数学问题？跟你的同伴说一说？然后把 自己的想法记录在本子上。学生同桌互说，然后独立解答。最后全班交流想法。生1：我是这样想的 18X2=36元36+18=54元生 2：我想 18X2+18=54 元从游乐场出来，同学们要去海洋馆看看那里的大鲨鱼、海豚

11、、 海狮的表演，可在海洋馆的门口买票时我们又遇到了麻烦！（课件出 示书中练一练题四）。师：请把你看到的跟同伴说一说，看谁说的最完整，最有条理!学生同伴互相说，然后指同学说图意，培养学生有条理地思维、 完整的语言表达能力。学生先独立完成，然后在全班交流时说自己的想法和做法。上述课堂练习的组织形式是否突显课堂练习的应有价值？练习 题的呈现方式是否可以更直接更简单些？这样既可以节省时间，也可 以避免学生的注意力受非数学信息的干扰，增加有效练习的时间，提 高练习的效率。课堂练习是否必须以学生独立审题、独立思考、独立 作业为木，而不应该强调合作交流（除非学生主动要求合作），不应 该打断学生分析问题及解决

12、问题的思维活动（除非学生自己要求得到 帮助）？课堂练习是否更要关注教师如何了解及反馈教学效果，帮助 学生达成学习目标？如果练习的方式，如上述（1）,过于开放及无 序，教师对练习的效果是无法进行监控及评价的，这样的课堂练习容 易流于形式，好看但不中用。苏霍姆林斯基建议：“数学教学要建立在学生独立作业的基础 上”，“一堂数学课如果没有看到有一段时间只听到学生铅笔在纸头 上的沙沙声，我就会对这节课的质量感到不安。”组织课堂练习的有效策略，是留出10分钟，让课堂安静下来， 让学生聚精会神地完成课堂独立作业。教师的角色：布题者：布置 练习题，指出书上第几页哪几题；需要补充的，就抄在黑板上（或投 影到屏幕

13、上）；帮助者：巡堂，给个别学生提供必要的帮助（也允 许学生向同伴求助）；促进者：发现学生的错误，揭示学生的差异, 必要时组织学生讨论，促进学生反思，澄清思路，否定错误，肯定正 确，达成共识（只提供正确的答案，无助于学生改正错误；改正错误 是要学生经历自我否定的思维过程）。二、对数学化的理解及实践都有严重的缺撼，具体表现如下：1.从现实世界到符号世界的数学化过程常常被忽略或异化。案例4：四上“温度”（生活中负数）的教学片断。师：今天我们就一起来研究生活中具有相反意义的量。（板书 课题：生活中的负数）老师给大家带来了一段录像，请看。（课件播放天气预报视频：结合每个地方的图片，播音员播报）深圳：10

14、20上海：08北京：一55哈尔滨：一15一8c师：这是什么节目？生：天气预报。师：看了这段录像，你有什么话想说吗？生1：我看到天气预报有零上的也有零下的温度。生2：我发现减号的符号就是负。生3：我发现从深圳到哈尔滨天气都在不断变化，从天气晴朗到 下雪。师：同学们听得很认真，观察也很仔细。下面潘老师想请我们班 的同学也来做一次播音员，谁愿意来？生1：深圳10到20度，上海0到8度，北京零下5度到5度， 哈尔滨零下15度到零下8度。师：你很有播音员的潜质啊。生2：各位市民请注意，下面播报天气预报，深圳10到20度， 上海0到8度，北京零下5度到5度，哈尔滨零下15度到零下8度, 天气越来越冷了，大

15、家要多穿衣服。师：你真是一个贴心的播音员。上述教学片断，直接从天气预报的视频引入零下温度及其书写符 号，忽略了表示零下温度的数学化一一数学符号再创造的过程。教材 编写的意图，恰恰是强调让学生经历这个过程。教材呈现的情境是听到播音员的天气预报：“今天北京最高气温 5,最低气温零下2。”从这个生活情境中产生的数学问题是： 你怎么表示5c和零下2C?这个问题为学生提供了数学符号再创造 的机会，鼓励学生用对他们自己有意义的表征方式来记录零上温度和 零下温度。教材展示的三种记录方式，都来自学生的创作：有画温度 计记录温度，有用朝向相反的箭头分别表示零上和零下温度，也有用 “ + ”和“-”的符号来区别零

16、上和零下温度的。学生还可以异想天开, 别出心裁，创造出种种个性化的表征（记录）方式，但是在各种个性 化的表征之间需要沟通和交流，所以在众多的个性化的表征中有必要 选择一种作为温度的通用表征。学生每天从天气预报视频上看到的零 下温度的书写符号：2,就是温度的通用的表征符号。学生有没有经历过表示温度的数学化过程，他们对数学的理解和 体验是很不相同的。经历了数学化的过程，才谈得上数学思维能力， 以及情感、态度及价值观方面的发展。案例5：四下“方程”的教学片断。教师通过课件演示天平的各种状态所表示的各种数量关系，让学 生逐一写出如下相应的式子： 50>20 或20C50； 50+10=20X3；

17、10 / 22 x<50 或 50>x； x+10-50； 10010+x 或 10+x100；2y+10=l=100； 4nl=100； 3a=4bo然后，要求学生选择分类标准对以上的式子进行分类。学生通过小组合作，得到以下两种分类的方法。1. 按是不是等式分，可以分为等式和不等式两类。2. 按含不含字母分，可以分为含有字母的式子（应该说成关 系式）和不含字母有式子的两类。（这里的字母都表示未知数）据此。教师要求学生填写下列的集合图:含有未知数的关系式继而找出上而两个集合的公共部分（交集），得到什么是方程, 并给方程下定义。上述教学过程是不符合“强调从实际问题抽象成数学模型”的数

18、 学课程改革的基本精神的，当然也不符合教材的编写意图。方程是刻画等量关系的数学模型。在现实中，等量关系有多元的 表征形式，有物理表征、口头语言表征、图形表征、符号表征，等等。 用天平表征等量关系是学生最熟悉、也最直观的物理表征形式；等式 （方程）是表示等量关系的抽象形式。在等量关系的各种表征形式之 间（从直观到抽象）进行转换的过程，就是建立含有未知数的等式（方 程）这个数学模型的过程。教材的设计意图，就是要让学生能够经历 “方程”这个概念逐步抽象化、形式化的过程。这个案例存在的问题是削弱或淡化了方程及现实世界的丰富多 样的联系，强调的是对抽象的数学关系式的分类操作，在这个过程中, 不是把客观存

19、在的等量关系作为思维对象，而是把脱离了现实背景的 数学关系式作为思维对象，因此，学生可能体会不到方程是如何从实 际问题抽象成的数学模型，也体会不到学习方程的必要性。心理学认为，概念是一种分类行为，所以创设分类情境也是概念 教学的一种选择。比如，学习平行四边形、梯形等概念时，通过对各 种各样的四边形分类的过程，来体验平行四边形及梯形的本质特征。 当需要厘清概念之间关系的时候，分类派上用场；但要理解概念是怎 样从现实世界中抽象出来的时候，所需要的数学方法是抽象，不是分 类。案例6：六上“圆的面积”的教学片断。师：同学们，十一玩得很愉快吧！去过公园吗？来，让我们一起 去公园走走。（播放公园喷水头正在

20、给草地浇水的场面）师：到了公园，你看到了什么？生：我看到喷水头正在浇灌草地。师：你能提出一两个数学问题吗？生1:喷水头浇灌了多大面积的草地？生2：喷水头旋转一周的周长是多少？生3：水洒了有多远？师：这些问题都很好！求水洒了有多远？实际是求（半径），我 们学过。求周长我们也学过。那这节课我们就来研究浇灌了多大面积 的草地，好吗？师：刚才有的同学看到喷水头旋转一周形成了一个圆形，求浇灌 部分的面积，实际上就是求（圆的面积）。请大家想一想：什么叫做 圆的面积呢？生：比如说图中浇灌的草地占的位置的大小就是圆的面积。师：你的意思是说把圆所占平面的大小叫做圆的面积。说得真好！师：继续看，你还能发现什么？生

21、：圆的面积越来越大。师：这是为什么呢？生：水喷得远了，也就是半径长了，当然面积也就大了。师：看来圆的面积及它的半径是有关的。这个案例所展示的现实的情境是，旋转的喷水头给草地浇水；从 这个情境引出求圆的面积的课题。这个课题引入的过程，似乎是把学 生从现实世界引到数学世界，可是学生在被动应答，并没有真正经历 从实际问题转化为数学问题的思维过程。教材创设的主题情境是：喷水头的喷水射程5m,喷水头转动一周 可以浇灌多大而积的农田？学生首先要独立思考，用数学的眼光去发现这个实际问题所包含 的数学问题：半径是5米的圆的面积是多少？从上述案例，我们没有看到要学生解决的实际问题，因此，也就 不可能看到解决实际

22、问题的数学化过程：把实际问题抽象成数学问 题。探究如何解决这个数学问题，得到它的解。检验数学问题的 解。对解题过程进行反思，理解或体验比基本知识和技能更上位的 数学的基本思想方法（原理），认识数学的整体性。2.对解决问题探究历程的深刻反思，也是当前数学教学急待加 强的一个薄弱环节。例如，下面是五上“平行四边形的面积”一课要解决的实际问题:公园准备在一块平行四边形的空地上铺上 /草坪（如图），这块空地的面积是多少？/ :。通过解决这个问题的数学化过程，学生4m学会：工具度量。即用方格纸测量得出空地面积为12平方米。公式度量。先推导平行四边形面积公式s二ah,再利用公式 计算平行四边形的面积。而后

23、，教学过程一般就转入课堂练习，巩固新知阶段。其实，课堂练习之前，应该引导学生对前面解决问题的探究过程 进行反思：解决平行四边形面积的探究过程，哪些解决问题的策略或 方法可以推广用于解决其他图形的面积？通过反思能够意识到比平行四边形面积公式更重要更上位更核 心的数学知识（基本的数学思想方法，或数学原理）。如，用方格纸 测量图形面积是体现面积概念木质属性的数学方法，应用范围广。推 导面积公式的基本思想方法是割补，可以把一个图形转化成及它面积 相等而形状不同的图形，就可以实现未知向已知转化。这个转化的数 学原理就是图形面积的守恒原理。正是这些数学本原性的核心知识或 原理把数学联系成一个充满活力的能动

24、的整体。由于传统教学的惯性，对解决问题的教学，普遍关注的还是考试 要考的知识点，更重视基本知识及基本技能的训练，甚至操练。这种 训练充其量达到的是对数学的机械性理解：只有反思性学习，通过反 省自悟，可以实现对数学的关系性理解，这种关系性理解的外在表现 就是解决问题的主动性、创造性及灵活性。三、教算术，不是教数学，主要表现如下：1.计算教学的重点仍然是竖式笔算，追求又快又准。案例7：三上“去游乐场”的教学片断。探究：16X6的算法。师：请同学们独立完成做在本子上。做完后在小组内说说自己是 怎么算的。全班交流：生 1：我是这样算的：10X6=606X6=3660+36=96生2：我是这样算的：心算

25、6X6=36在等号的后面写6把3记在 心里，再算十位上的1X6=6加上个位进来的3等于9,在6的前面 写9,得数就是96o生3：我是用竖式计算的：（到黑板上写）16X 3696学生边写边说想法：先算6乘6等于36,在个位写6,（向十位） 进3,进来的3写在6的前面，要小点写。再算1乘6等于6,加上 3等于9,在1的下面写9。师：谁来说一说这个3表示什么？为什么要这样写？生：表示3个十，是个位乘后向十位进的，写在这里是为了防止 计算十位时漏掉了。生：师：还有那些同学是用竖式计算的？（有一半的学生举手）谁再 来说一说你在用竖式计算的想法？看谁的语言表述的更准确！生1：先算个位上的6乘6等于36,写

26、6向十位进3, 3写在个 位和十位的中间，再算十位上的1乘6等于6,加上个位乘后进来的 3等于9,在十位写9。生2：师：你们是怎么想到要用竖式计算的？生1：因为竖式很简便。生2： 口算容易算错，用竖式计算不会错。生3：用口算的话，个位进来的数没有地方写，记在心里容易忘 记，用竖式计算的话个位进来的数写着就不会忘记师：为什么要从个位算起？生L如果从十位算的话，那个位进来的3没有地方写。生2：如果要写个位进来的3就要把十位擦掉再写。很麻烦，所 以要从个位算起。生3：因为乘法都是从最低位算起。师：竖式计算是我们数学中经常用的一种方法，它能够提高我们 的计算正确率，但用竖式计算也要注意方法和技巧，谁来

27、说一说用竖 式计算要注意些什么呢？生1：数位对齐，数字写的时候要隔开不然数位对不齐。生2：从最低位算起。生3：不能忘记个位进来的数。生4：进的数要写着，不然容易忘记。生5：乘号要隔开一点，横线要写长一点。师：看来同学们已经掌握了竖式计算的一些方法和技巧，让我们 再来试一试吧？这个教学案例的教学重点很明显，是掌握竖式笔算。算法多样化 的目的不清楚，有为算法多样化而多样化。因为没有引导学生对各种 算法进行反思，发现形式不同的算法之间的本质联系，揭示算理。事 实上，分析三个学生算理是一致的，即乘法分配律。学生交流时，都认为竖式笔算很简便，不会错；口算容易错。教 师没有提出质疑，等于同意学生的观点，这

28、也是教师对竖式笔算的价 值引导。竖式笔算是程序计算，是一种计算技术，靠记忆可以掌握，靠练 习可以熟练。但国际数学教育研究表明，竖式计算是成人发明的算法, 及儿童的经验相距甚远，是儿童不好掌握，出错率很高的算法，特别 是掌握这种算法的儿童，不一定知道为什么要这样算。当今，如果还 把竖式笔算当作计算教学的重点，无非是把学生培养成一部廉价的计 算器而己。台湾1993年开始的小学数学课程改革，就不要求掌握竖 式笔算。如果认为要教竖式笔算的，要看有没有教学时间，学生能不 能理解。并且认为，如果一定要教竖式笔算，也要在学生掌握口算方 法的基础上，再教才有意义。新世纪的数学课程改革，把计算教学的重点转移到培

29、养数感。 为了培养数感，提出的措施是：重视口算，加强估算，淡化竖式笔算, 提倡算法多样化，鼓励使用计算器。这些措施是正确的，但都没有到 位。什么原因，值得深思。目前，教材仍然把竖式笔算作为必学内容，考试要考，教师当 然不能不教。不过，应当让学生充分探索口算算法之后，再教为好。基于这一点，教师设计什么题目来探索口算的算法，是要讲究 的。如教材是探索16X4的算法，上面的案例是探索16X6。两者有 质的区别，16X4还多了下面两种有效的口算方法：16X2=32 （加倍用加法算），32义2二64。 16=8X2, 2X4=8, 8义8=64。上面两种算法的算理，就是乘法结合律，都避免了容易出错的 进

30、位计算。数感要求从数字关系寻找有效的计算策略。数感的特征是计算 的创造性和灵活性。这种探索，这就有了智慧。智慧的表现不是千篇 一律，而是及独特性；智慧是不能用语言传授的，但跟着有智慧的人 就能学到智慧。种瓜得瓜，种豆得豆，鼓励算法多样化，就是要让学 生发挥潜能，展现智慧，开启智慧，获得智慧。3.关于数学教学如何促进数及计算概念的发展，缺乏深入研究, 也缺乏理论指导。我们可以借助优秀的教学案例，来加强这一方面的研究及实践。案例8:徐斌二上“认识乘法”的教学片断。师：（出示主题图）看，小动物 正在活动呢！在这块草原上， 有几种动物？它们是怎样排列的？生：有两种动物，鸡和兔。师：兔子有几只？鸡呢？你

31、是怎么数的？生1：我数兔时是2个2个数的，因为它们是2只2只地站在一 起的。生2：我数鸡时是3个3个数的，它们都是3只3只地围在一起 的。（师板书：2 + 2 + 2 = 63 + 3 + 3 + 3 = 12）（引导学生数一数各是几个几）师：两个加法算式有什么共同的地方？生：第一个算式加数都是2,第二个算式加数都是3。师：请大家拿出圆片摆一摆。每堆摆2个，摆4堆。摆了几个2?求一共摆了几个圆片，用加法怎样列式？生:是4个2,列式是2+2+2+2=8。师：再请每堆摆4个圆片，摆2堆。看一看是摆了几个几？怎 样列式求摆了多少个圆片？生：是2个4,列式是4+4=8。师：请大家任意摆出几个几，说给同

32、桌听。师：（出示花片图）提问：一共摆了多少个花片？你是怎样看图的？怎样列式？是几个几？（根据学生的回答显示并列式）生1：我是横着看的，每排有5个花片，5+5+5=15,是 3 个5。生2：我是竖着看的，每排有3个花片，3+3+3+3+3=15, 5个3。师：这两道加法算式和得数相同吗？为什么？生：得数相同，因为还是这么多花片，没有拿来也没有拿走。这个教学案例做到了简单、有效、智慧。特别是体验“几个几”是个亮点。它既可以沟通加法及乘法的的 联系，理解整数乘法的意义；又可以由此发展乘法的概念，为后续理 解小数及分数乘法奠定基础。发展乘法概念，就是结合实例理解“几个几”中前后两个几的不 同含义：后一

33、个“几”表示的是“单位量”，前一个“几”表示的是 “单位数”。例如，坐太空船每张票16元，4人要坐需要多少钱？ 其中16是单位量，4是单位数。已知单位量和单位数求总量的运算, 是乘法运算。即单位量X单位数二总量以问题“一杯水有0. 1升，5杯水合起来有多少升？ ”为例，学 生可以使用将0.1连加5次的方式解题，并将解题过程和结果记成 “0. 1X5=0. 5"。但是当乘法的乘数扩充到分数或小数时，将一个数 连加非整数次变成没有意义，学生无法类比乘数是整数的乘法问题， 通过连加方式解题。以问题“一瓶水有2升，0.3瓶水有多少升？ ”为例，2加0.3 次是没有意义的。但如果知道其中2是单

34、位量，0.3是单位数，就能 理解“2X0. 3=0.6”的意义。、乘法和除法问题都可以视为单位量转换的问题。以问题“1片苹果是个，48片是多少个苹果？ ”为例，问题中 4苹果的总量本来是以“1片”来单位来描述，共有48片，现在要求 以“1个”苹果为单位重新描述总量，问共有几个苹果，也就是说，要求学生回答“48个L是多少个1" o解题者要将原来以“片”为单 4位的量，转换为以“个”为单位的量，也是一种单位量转换的活动。乘法的逆运算是除法。己知总量和单位数，求单位量，就是“等分除”；己知总量和单位量，求单位数，就是“包含除”。等分除和包含除，是乘法的两种逆运算。让学生知道“包含除”、“等分除”这些术语，更容易描述和理解乘法及除法之间存在的的逆运算关系。（2008 年 10 月 18 日）21 / 22