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1、分式的大小比较一、代数式的比较大小【例1】语句"若A<y,则疋 <）“ ”显然是不正确的。试分别按照下列要求，将它改为正确的语句：（1）增加条件，使结论不变；（2）条件不变，改变结论。【考点】整式的大小比较【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】答案不唯一【答案】（1 ）可增加条件：都是正数,或*0 ,或lAldyl等（2 ）可改变结论：a-3 < y3 ,也可改变|<|等。【例2】设a,h,c的平均数为M, “，的平均数为N、N、c的平均数为P,若u>b>c,则M与P的大 小关系是（）A. M = PB. M>P C. M<P D.
2、不确定【考点】整式的大小比较【难度】4星【题型】选择【关键词】2000,全国初中数学竞塞,做差法【解析】=，出, M-P = 2L .322412因为, FJtUZ-z/?2<->-/ + （ 2（-=o .即M-P>0 ,所以M>P .12 12【答案】B【例3】若实数“<1,贝IJ实数M=6/,A = ,P = 的大小关系为（）33A. P>N>M B. M>N>PC. N>P>M D. M>P>N【考点】整式的大小比较【难度】4星【题型】选择【关键词】作差法【解析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：具一，
3、由于选项是确走的，我们可以用持值法,取 “>1内的任意值即可；其二，呻作差法和不等式的传递性可得M, N, P的关系4S方法一：取a = 2 t贝IJM=2 = -,P = -,由此知M>P>N ,应选DJJ方法二:由">1知"一1>0T-J . .c2a + 1" 1cA 舀n又 M P = “ 一= > 0， M > P ；33如-叱=叫0 ,:P>N .333:.M>P>N .应选D【例4】比较下列各题中的两个式子的大小： “ + b t j a - b;(2)1 (/ 一戻 + 2)与丄(a2-2
4、b2+l).23【考点】整式的大小比较【难度】3星【题型】解答【关键词作差法【解析】比较两个代数式的大小一般用求差法，即：若A-B>0 .则；若A-B<0 ,则A<B ；若 A-B = O .则A =在比较的过程中,常常需借助非负数的性质来判断差的符号，当差的符号无拯定时f应分情况逬行讨论.(a + b) (a - b) = a + b a + b = 2b当b>0时 f 2b>0 t :.a+b>a-b ；当 bvO 时，2b <0 t :.a + h<a-h ；当b = 0时，2b = 0 ,“+；(2)1 (a2 一 / + 2) 1 (a
5、2-2/?2+l) = l (a2 +h2 + 4)236/no r h2 >0:.a2 +b2 +4>0 即 1(/ +b2 +4)>0当所旳交的两个代数式同号"时，也可用求商法，看其商与1的大小关系是什么，进而判断代 断式的大小.【答案】(1 )当b>0时,a + b>a-b ；当b<0时 / a + b<a-b ；当 b = 0 时.“+ = “b ；(2 )-b2 + 2) > -(a2 -2b2 +1)3【例5】 已知y山是三个互不相同的非零实数，设t/ = x2+/ + z2, b = xy + yz + zx, c =丄+
6、丄+丄， f y2 z=丄+丄+丄则a与b的大小关系是: c与d的大小关系xy yz zx是【考点】分式的大小比较【难度】4星【题型】填空【关键词】作差法，第15届希望杯，第1试 【解析】 Ky,z是三个互不相同的非零实数/>0 :.a>b:.u-b = x2 +y2 +z2 -+ yz + zx) =(A-y)2 +(yz)2 + (z - a)2>0 ,+1 112 lx 7【例6】 已知-b, C为正数，且“Hd 若 =丄+丄+丄，y = =+-L + -L,贝h与y的大小关系 ci b cJub jbc yjca是()Ax>yBx<yCx-yD随a, h
7、, c的取值而变化【考点】根式的大小比较【鳩】4星【题型】选择 【关键词】第10届希望杯，第2试，作差法【解析】由题意有22尸2 +孑+ 2-乍=-二-壬 “ b c yab -Jbc acA21、A 21、A 2L=(-f= + 7)+(7 r= +(_t=_+_)u4ab bb y/bccc yjaca+Q： Q丰b /二(；=一 j=)2 > o / (j= 一 t=)2 n o, (= 一 =y n o /a Jbyjb /cyjc y/d/.A-y >0 , x>y 选 A 【答案】A【例7】l!知 TH实数 “、b、c、d/a <b <c <d
8、ac = 1, S =abcd f a' = + a 9 b' = + b 9 c* = + c » abcd' = + d >求i八b c '的大小关系.d【考点】分式的大小比较【难度】5星【题型】解答【关键词】河北省，初中数学竞窘【解析】由a'-h' = (b-a)(cd-)>0 ,所以a'>b' ,由/一9 = (d C(l-")>o 所以W ,由(心一1) = 0 ,所以/ = / ,所以c9<d' = bl<a' 【答案】cWvR【例8】已知“&qu
9、ot;，加都是正数，且小,试证明分式口 的值总小于纟的值。b + mb【考点】分式的大小比较【难度】4星【题型】解答【关键词】作差法【解析】略【答案】方法1 :求出两个分式的差：严 = " +代-"-加=黑二Q根据条件，这个差总小于0 ,h + m b b(b + m) b(b + m).屮 的值总小于?的值。b + mb方法2 :处Z + " J +皿，J1 +出八“川”都是正数，且，所以口b + mb + mb + m b bb + m b故兽的值总小于?的值。b + mb【例9】证明：对于任意两个不等的正数a.b,不等式a + b>2b总成立。【考点】
10、分式的大小比较【难度】4星【题型】解答【关键词】作差法【解析】略【答案】“是不等的正数，/. a + b 2y/cib+(©) 2/cib =y/ayfb > 0.“ + b>2屁总成立。【例10】设a,b,c均为正数， < < ,则a.b.c三个数的大小关系是()a+b b+c c+aA. c<a<hB h<c<aC a <b<cD c<b<a【考点】分式的大小比较【难度】4星【题型】选择【关键词】第11届，希望杯,倒数法【解析】* < < , (l,b,c均为确，可知巳<伫<出，故可知
11、出+ 1a + b h + c c + ah a cb点评：本题是对已知条件作倒数”变形【答案】A2【例11】已知“，b,c是 WC中三边长，试比较丄和_=的大小。【考点】分式的大小比较【难度】4星【题型】解答【关键词】作差法【解析】略【答案】方a > 0 9 b > 0 9 c > 0 9 a + b > ccc2八 口n cc2一r > 0 f 卩>ou + b (" + “)-a + h (么 + “)-方法二因为“，b,c是三角形三边长，所以0<c<a + b .所以0< <1【例12】加以两位采购员同去一家饮料公司购买两次饲料。两次的价格有变化，两位采购员的购买方式也 不同，英中甲每次购买1000千克，乙每次都用800元。问：（1）甲、乙所购买饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购买方式更合算？【考点】分式的大小比较【难度】4星【题型】解答【关键词】作差法【解析】（1 ）设两次购买饲料的平均单价分别为"元/千克和元/千克,（为正数，且“劭）2000 2由于“丿均为整数且心b f甲所购平均单价为叱曲=（元/千克）將斗也是正数 2(“+ b)o故乙的购买方式更合算。 2 a + h【答案】(1)甲所购平均单价为爭(元/千克)乙所购平均单价为(元/千克)a + b(2)乙的购买方式更合算