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1、第十三章实数知识要点 一：1实数的性质（ 1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（ 2）两实数的大小关系：正数大于 0， 0 大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（ 3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零） 、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（ 4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同2实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系3实数的分类（ 1）按
2、实数的定义分类：实数正整数整数 零有理数负整数正分数分数有限小数或无限循环小 数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数（ 2）按实数的正负分类：正整数正有理数正实数正分数正无理数实数 零（既不是正数也不是负数）负整数负有理数负实数负分数负无理数4实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数【典型例题 】例1若 a 为实数 下列代数式中一定是负数的是(),A. a 2B.(a +1) 2C.a 2D.(a +1)分析
3、：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于 a 为实数 , a 2、( a +1) 2、 a 2均为非负数， a 20， (a +1) 20，a20而 0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数因此， A、 B、 C 不一定是负数又依据绝对值的概念及性质知(a+1) 0故选 D例 2实数 a 在数轴上的位置如图所示,化简 : a1(a2)2=分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号 ,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知 :1 a 2,于是11,(2)222,aaaaa所以 , a1(a2) 2= a 1+2 a =1.例 3如图所
4、示 ,数轴上 A、B 两点分别表示实数1， 5 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 所表示的实数为 （）A.5 2B. 25C.5 3D.3 5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质 B、C 两点关于点 A 对称，因而 B、两点到点 A 的距离是相同的，点B 到点 A 的距离是5 1，所以点 C 到点 A 的距离C也是51，设点 C 到点 O 的距离为 a ，所以 a +1=5 1，即 a =5 2又因为点 C 所表示的实数为负数，所以点 C 所表示的实数为2 5例 4 已知 a 、b 是有理数，且满足（a 2） 2+ b3 =0 ，则 a b 的值为分析：
5、因为（ a 2） 2，所以a ， 。所以 a，；所以ab。+ b 3 =02=03=0=2b=3=8b【 知识运用 】一、填空题：已知a则 a 的相反数是； a 的倒数是；若在数轴上表示a它在原点的侧填1.25 ,(“左 ”或 “右 ”)；且到原点的距离是.2.10在两个连续整数 a 和b之间,a 10b,b的值分别是.那么 a 、A3. (创新题 )观察下列算式 :21=2；22=4；23=8；24=16；BC-1025=32；26=64；27=128；28=256； 通过观察 ,用你所发现的规律写出22007 的末位数字是图214如图 1，是一个正方体纸盒的展开图。若在其中的三个正方形、A
6、 B、C 内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、 C 内的三个数依次为5某年的某个月中有5 个星期三，它们的日期之和为80（把日期看作两位数，如 22 日看作数22），那么这个月的3 号是星期6已知：22222，3 3 32 3，4 4 42 4，5 5 52 5 ，338815152424，若 10b102b 符合前面式子的规律，则 a b。aa二、选择题：7以数轴的单位长度1 为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 A，则点 A 表示的数是（）A.1.5B. 1.4C.3D.28下列结论正确的
7、是（）A. a b ， a bB.a 2( a )2C. a 与1 不一定互为相反数D.a +b a ba9请你估算11 的大小（）A.1 11 2B. 211 3C. 311 4D. 4 11 510若数轴上表示数a 的点在原点的左边，则化简2aa2的结果是（）A. aB. 3 aC. aD. 3 a三、解答题：11已知 a 、 b 互为相反数， c、 d 互为倒数， x 的绝对值等于1，求 a +b+x2cdx 的值12 已 知 a 、 b互 为 相 反 数 ， c 、 d互 为 倒 数 ， x 、 y满 足 x2 y 24 y 4 0 ， 求20082( c d)2009( a2x y(
8、 a b)xyb )c d y的2值13如图 2，数轴上表示1 和2 的点分别为A 和 B，点 B 关于点 A 的对称点为C设 C 点所表示的数为x，求 x+ 2 的x值图 214按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？（ 1）填写表内空格：输入 x32 213输出答案11（ 2）你发现的规律是（ 3）用简要的过程证明你发现的规律知识要点二：1.理解零指数幂和负整数指数幂的概念,掌握实数的运算法则,并能熟练地进行计算.2实数的运算在实数范围内，加、减、乘、除（除数不能为0）、乘方五种运算都可以进行，各种运算律在实数范围内仍然适用；但开方运算要注意，正实数
9、和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方3.对于实数的运算应注意:(1) 实数的混合运算中 ,应先确定运算的符号及顺序 ,再进行运算 ,有小数的一般将其化为分数较为简单；(2) 熟练掌握实数的运算需做到三点：一是熟悉运算律（包括正向与逆向）；二是灵活运用各种运算法则；三是掌握一定的运算技巧；（ 3）注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算，关键是把好符号关4实数的绝对值正实数的绝对值等于它本身；负实数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值是零【 典型例题 】例 1 计算下列各式：(1)( 2)3(1) 2(13)01 114326解： (1) 原式
10、 =（ 8） ×9+1+36 +4= 72+1+3+4= 642例 2比较3 2 与2 1 的大小分析：比较3 2 与2 1 的大小，可先将各数的近似值求出来，即3 2 1.732 1.414=0.318，2 11.414 1=0.414，再比较大小。【 知识运用 】一、填空题：1.a( ),b (), c0.8,b,c三数的大小关系是已知22801则 a3已知 a、b互为相反数，、互为倒数，且 2，y =2，则式子xa b( cd )2006y22.c dx =1的值是3下面是一个有规律排列的数表：第一列第二列第三列 第 n 列第一行111， 1，3n12第二行222， 2，3n1
11、2第三行33，3， 3，23n1上面数表中第九行，第七列的数是4（观察下列各等式 :246=2 ；553=2 ；7411；1042；264434741024依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式20(?)成立204(?)4二、选择题：5设 a32, b23, c52, 则 a 、b、 c 的大小关系是（）A.a b cB.a c bC. c b aD. b c a6小明的作业本上有以下四题：16a44a 2 ；5a10a52a ； a1a21a ；3a2aa 做错的题是（）aaA. B. C. D. 7现规定一种新的运算“ *：”a * b= a b ，如 3*2=3 2=9，则
12、1*3 等于（）21B. 813A.C.D.8628若 “！ ”是一种运算符号，且有2006!（）1！=1； 2！ =2×1； 3！=3×2×1； 4！ =4×3×2×1； 则2005!A 2006B 2005C2004D以上答案都不对9下列运算：（ 3） 3= 9； （ 3） 2=9； 23×23=29； 422； (23)01；12 ÷（ 2） =（2） =45 ÷ ×6=5 ÷1=5；6其中错误的个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6三、解答题：10计算：33 8 (2 20
13、10)0( 32) 2311若规定一种新的运算“ *：”a * b= a +b+ a b，求（ 1） *1 *2 的值14在图 1 的集合圈中，有5 个实数，请你计算其中的有理数的和与无理数的积的差32，1 ， ，-23， 82图 1实数单元复习题一、填空题1.下列各数22 ，8 ， 364 ，中，无理数共有个 .72.在数轴上和原点距离等于7 的点表示的数是3.81 平方根是算术平方根是4.一个数的立方根等于它本身，这个数是5.比较大小： 30017，103.226.比5 大的负整数的和为比5 大5 的实数是7.已知一个数的平方根为a3 与 2a15，则这个数是8.a3a3 ，则 a _3
14、9.已知实数 x， y 满足 x13xy125xy2 的值是0 , 则10. 请你观察思考下列计算过程1121211211111121232112321111由此猜想：_ 二、选择题11.三个实数0.2 ，12 之间的大小关系为（）， 120.2120.2111 2220.2 121 12120.2212.下列说法正确的是（）无理数都是无限小数有理数都是有限小数无理数都是开方开不尽的数带根号的数都是无理数13.下列说法正确的有（）一个数立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根 64 的平方根是8 ，立方根是4 a 表示 a 的平方根， 3 a 表示 a 的立方根 3 a 不一定是负数14.给出
15、下列说法：6 是36的平方根；16的平方根是 4 ；3 232 ； 3 27 是无理数；一个无理数不是正数就是负数其中，正确的说法有（）15.343开立方所得的数是（）77 7 3 34316.已知38.9662.078 ，3y0.2078y（）0.2708，则0.8966 0.00896689.66 0.0000896617. 以下四个命题若 a 是无理数，则a 是实数；若a 是有理数，则a 是无理数；若a 是整数，则a 是有理数；若a 是自然数，则 a 是实数其中，真命题的是（）18. 已知实数 a 满足 1992 aa1993 a ，则 a19922的值是（） 1991 1992 1993 1994三、解答题219.计算：43213220计算：1 2813227421. 已知： x 230.125 ，求 x 的值 .22. 已知： 81x2250 ，求 x 的值 .23. 若实数 a， b， c 在数轴上的位置如图，化简：abcabca ab0c24. 已知 x、 y 互为倒数， c、 d 互为相反数， a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5，求 c2d 2xyz 的值。a