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1、因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫 作分解因式。意义： 它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决 许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式 分解内容所必需的， 而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力， 都有着十分独特的作用。 学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、 注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。因式分解没有普遍的方法 ，初中数学教材中主要介绍了
2、提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称 多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3xA2+x=-x(3x-1)基本方法提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做 提公因式法 。具体方法： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的 相同的字母，而
3、且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出 “-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。例如： -am+bm+cm=-m(a-b-c) ；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把 2aA2+1/2 变成 2(aA2+1/4) 不叫提公因式公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式 ： a2-b 2=(a+b)(a-b)；完全平方公式
4、：a2 ±2ab + b2= (a ±b) 2;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式 )的平方和的形式，另一项是这两个数(或式 )的积的 2 倍。立方和公式 ： a3+b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2)；立方差公式 ： a3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)； 完全立方公式 ：a3±3a2b 3ab 2±b3=(a ±b) 3 公式： a 3+b 3+c 3+3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c 2-ab-bc-ca) 例如： a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b)
5、2。( 3 )分解因式技巧1. 分解因式与整式乘法是互为逆变形。2. 分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式； 分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。3. 提公因式法基本步骤：( 1 )找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因
6、式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。竞赛用到的方法分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把 ax 和 ay 分一组， bx 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1. 5ax+5bx+3ay+3b
7、y解法： =5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把 5ax 和 5bx 看成整体，把 3ay 和 3b y 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2. x3-x 2+x-1解法： =(x 3-x2)+(x-1)2=x 2(x-1)+(x-1)2=(x-1)(x 2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2 ，然后相合轻松解决。223. x -x-y -y解法： =(x 2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法 a2-b2=(a+b)(a-b) ，然后相合解决
8、。十字相乘法这种方法有两种情况。 x² +(p+q )x+pq 型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解： x² +(p+q ) x+pq=(x+p)(x+q) kx² +mx+n 型的式子的因式分解如果有 k=ac ，n=bd ，且有 ad+bc=m 时，那么 kx² +mx +n=(ax +b)(cx +d) 图示如下：Xc d例如：因为1 -3X7 2-3 X7=-21 ，1X2=2 ，且 2-21=-19 ，所以 7x²-19x-6=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公 因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b) 配方法