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1、习题1313-1 .如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P（沿x轴）。x（1）P = Po ；（2）P 二 P。一。R解：可利用公式q、-sP d§ = -sPcosdS算出极化电荷。首先考虑一个球的环形面元，有：dS 2: Rs in二（Rdr），（1） P = P0 时，由= P cos v 知；1' = P0 cost2 、兀2n R F0Pocos v 2二 R sin rd-2xxcos 日2(2) P 二 Po时，二2Po COS v - PoCOS v - P)cos v，RRRq1 =-31s
2、in 2 兀I2v -0 ；'：222门2q2' - - P-cos v 2： R sin vd v - 2二 R R q cos v d costcos3 V24 二 R Po 。327；°ES8.9X10"78.85 102 1.4 106 100 10*13-2.平行板电容器，板面积为 1OOcm，带电量一8.9 1O C ,在两板间充满电介质后， 其场强为1.4 106V/m，试求：（1）介质的相对介电常数 ；r ； （2）介质表面上的极化电荷密 度。“,CF解：(1 )由E =，有:7(2) ；' = P = ；。( ；-1)E =7.66
3、 10G m213-3 面积为S的平行板电容器，两板间距为-Jd，求：（1）插入厚度为一，相对介电常数3为；r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（插入厚度为的导电板，其电容量又变3为原来的多少倍?解：（1）电介质外的场强为：E0 = ,而电介质内的场强为:所以，两板间电势差为:CJErU 二那么，C =-U U (2Er+1)d3，而 C。_ -°s0 'r3；rC02；r 1（2）插入厚度为 d的导电板，可看成是两个电容的串联,3有: G =C2 二 9S3 "0Sd/3GC2d3d3C _ g C2 _ 2 d " 2C0_C013-4.在两个带等量
4、异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为 匚。与二（绝对值），试求：（1 ）电介质内的场强 E ；（ 2）相对介电常解：（1）由:Q SE dS =： b （q q'），有:（；给出的是绝对值）（2）又由E ，有：；r-00 询0= =；0E ；00 - ；- ''-'o -；-13-5 在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷 面密度为o，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？（已知电介质的相对介电常数为 务）解：由 q' = _sP dS，考虑到 P»0（；r -1）
5、E ,q' ,；0（ ；r -1）与I sE d S二匚联立，有:q' 二 q + q'；0（；-1）；0得:（；r -1）qQ4二；0r213-6 如图所示，半径为 R。的导体球带有电荷Q,球外有一层均匀介质同心球壳，其内、 外半径分别为 R和R2，相对电容率为；r，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。解：利用介质中的高斯定理D dx qi。SS内（1 ）导体内外的电位移为：r Rj, D； r R0 , D =0。4兀r（2）由于E = -，所以介质内外的电场强度为：D Qr Ro 时，日=0 ； R1 r R° 时，E22 ;4江£&
6、#176;rDQR2 r R1 时，E32 ； r R2 时，E4；r ；04二；or13-7. 圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为Eo =200kV/m，试求该电容器可能承受的最高电压。解：由介质中的高斯定理，有：E =-2"（ArR . ”R 九hR U r = E d rdrIn ,、r、r 2“启 r2“启r入R击穿场强为 E0 ,r E0,则 Ur=rE0ln ,20%r人dUrRRR今ry=0，有:E°ln一 _ E° = 0 , In =1 =r0 = 一d rr&#
7、176;r°eRRE0 u2 max= r°E° In= 147KV。r°e13-8. 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为 和一，极板面积为S，求电容量。解：而：u有：Cd1和d2的电介质，它们的相对介电常数为CJaD"i = D 2 = ' ,. E1 =, E2 ®0r10务2吋ad2=E1d< E2d2-,$0务1E°£r2Srr2S=。；r2d 1 ；r1d2名0S71 丫 213-9 .利用电场能量密度量为Q 。解：首先求出场强分布:二 02 W-E2dV.23Q220二；0Rr1r2We
8、二丄；E2计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电2202EiE2Qr4 二；0 R3Q4二；0r2r : RR0（4二；0RQ r 、22 ,3) 4 兀 r d r +2c°°0 r(13-10 .半径为 2.0cm4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.0 10亠C时，求：（1）系统储存了多少电能 ？（ 2）用 导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？解：（1 ）先求场强分布：的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为8 -”Ei = O时4飞E0R1: r : R2R2 r : R3rR3考虑到电场能量密度W =.舟E2球壳外部空间的电能:dV
9、01 2、weE，有：球与球壳之间的电能：22R2q 22q 11/()4兀 r dr =(-) =1.0110 J2 R1 4二；°r28 0 R1 R2W2鳥E2dV00 q 22q2()4兀r dr =8.1 汇 10 J ,2 R3、4二；0r8二；0R3系统储存的电能：W =W W2 =1.82 10JJ ；(2)如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为而外表面所带电荷不变，那么：W'=W2 =8.1x10'J。13-11 球形电容器内外半径分别为R1和R2，充有电量Q。(1)求电容器内电场的总能量;1 Q2(2 )证明此结果与按 We算得的电容器
10、所储电能值相等。2 C解：(1 )由高斯定理可知，球内空间的场强为:EQ, (Ri： r :：:R2)4 ； or1利用电场能量密度 WeE2，有电容器内电场的能量：2020 巳/ Q 22 . Q . 11、W 0E dV 0 (2) 4二 r dr()22肩I"*一 J l丿Q(2 )由 U R1R2R2=RiLd2(- 8二；0 R1 R2Q ( 11、 QR -R)( )二4二 0 R1 R2 4 0R1R2Q2(R2-RQ ；;8 二 0R1R2Ri R2则球形电容器的电容为：C =-U卅/1 Q2 Q2(R2-RJ、，、那么，W；- 一。(与前面结果一样)2 Cs0R1R
11、2R1R2R2R113-12 匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功: 介质取出；(2)维持两板上电压解：(1 )维持两板上面电荷密度121 o2Sd6不变，有介质时：,(D =0 rE ,；- 0 = D )1 2取出介质后：W 0E Sd21 S2Sd2 ，外力所做的功等于静电场能量的增加:W 二W2 _W二(1-丄);2® 片平行板电容器的板面积为S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为；r的均(1 )维持两板上面电荷密度 c0不变而把 U不变而把介质取出。(2 )维持两板上电压 U不变，有介质时： w-cu1 0 rS U 222 d取出介质后：W2 =cu 2二2,22 d W 二W _W =2乎U2(1_ ；r)。