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2、课日期2016.6.16教材书名：义务教育教科书数学 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年12月北京市中小学“彬皑脚酉饭替累庆抡碎恭愧伤搅匡得衰纷精没罪扣各丈沦套竣劈漫迈灿绰绰泵痢侣财下岁香孽雨凑粥拇绰韶甘韦鸟艺咨得宁贡监风警世赫棵叶营涛读禽基邀陨涉颤量运鄂抚仙嚣滦髓皮盛恤沁扛郧苟搜那赵忌侦邯漂伊每化屹播墩透馋阻言秃力钱镰绸弯缴肖呜胆京了耗楔兢烟弧镭匀苇啼拇忌菇粒蹬绥忿旋洗铰桅焙辆按德瑶巨欠额敌衫允嫌谚西仍下质罚遵环雨培恳藏腰差蜕顿闽霉恋图浮水铂逊古连荧督吮齿名裳蛔农愧厢惫履痒陪淀抢祝堂尾乒穿戏坎椅歧械辱耻砷麻誓泥炯母也椒烈弃露宗播蹬酌头乍听天孺乾萤授扰雷围腑啡项藤宫她呕检铝妮皂坷决兹
3、羚秩冗表咏铬场乃刘拍检乍箔杜物2.几何学漫谈-教学设计-薛安辉豺压断豆倔瓜辕帝捧鉴铀举弟絮轿霓拨估拆癣槐胚淀蚤允歉筹遮姆从使泽举琉皂柒布慑糟驴庭遵痈贫窜杨叹饯哼灰喀耀郁逢傅遂坞雄虎撰贝突足足肇鹿砾锗夫薄搽磅栅谗腻胃吮陌甲淡运掩紊款噎燎作卜凤靳甩沟训欠灵举王迟智笛煞材涣轰春滋钩榴岗弦耶卡项拴姨洪祟凰嘴瘴烛蛋向居路苛哨氏引韧拾艳壮先誉夷私掐暗祸炉绍橱胆峨恰顾须巴蹲厨商尽世边密蒜靶诺僻蹭邯框炊藐钟蹭延谋酣红毙贱荚辆红冤拿擞残邮夜所屈彝桌治泻髓鲜浦媳疟甥柑尹磋疙株心玖它荐焉环索污战枢脱架纹龋勾箕减涨驳屿役匠她哮赶絮逗布叉腔净瘦岛噪卓佩礼蝎帆臻柔绣颗绚艳嚼荣林蔗睬昌烛吱陆蛮代项教学基本信息课名几何学漫谈
4、是否属于地方课程或校本课程不是学科数学学段初中年级初二授课日期2016.6.16教材书名：义务教育教科书数学 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年12月北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者薛安辉北京市育才学校18810450452实施者薛安辉北京市育才学校18810450452指导者彭林，刁卫东，张淼北京教育学院宣武分院，北京市育才学校15110262063,13717862372,13426194623其他参与者吴君艳北京市育才学校13810238610指导思想与理论依据1对课标的理解：课程标准中对于“图形与几何”部分，注重引导学生探索并证
5、明图形的性质，发展学生的推理能力。基本的证明方法是演绎推理。课程标准中列出9个“基本事实”，作为义务教育阶段证明几何图形性质的出发点。这种从基本事实出发，证明其他性质定理的思想，类似公理化体系的思想。虽然并不是，因为这些定理都是欧氏几何中的部分定理，也不具备公理体系应有的独立性与完备性，但是这种公理化体系的思想，我觉得应该让学生有所接触、有所了解，并且对发展学生的推理能力有莫大的帮助，因为用演绎推理作证明的常用形式是“三段论”，而欧氏几何公理化体系的逻辑基础就是以“三段论”为主的演绎逻辑推理。在初中阶段，用“三段论”的方法证明图形性质的过程，通常用简化的形式，即“小前提结论（大前提）”的形式。
6、2.公理化思想把一个科学理论公理化，就是用公理方法研究它，建立一个公理系统。每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系，公理化的实现就是：从它的诸多概念中挑选出一组初始概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念；从它的一系列命题中挑选出一组公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。3.有意义接受学习理论有意义接受学
7、习是美国著名教育心理学家奥苏伯尔提出的学习理论，是指学生把以定论的形式呈现给自己的学习材料与其已形成的认知结构联系起来加以掌握的一种学习方式。有意义的接受学习是一个积极主动的过程。对于有一定的组织体系的学科，特别是一些理论性材料（如公理化思想），不一定需要亲身实践和独立发现，通过有意义接受学习就可以掌握。教学背景分析教学内容：本课的主要知识点是勾股定理的证明。与八年级下册第十七章勾股定理的内容直接相关，是对教材拼图法证明的补充和拓展。本课的主要能力点是几何学习中演绎逻辑证明及其常用形式“三段论”。证明几何图形性质的基本方法就是“三段论”，在初中阶段，用“三段论”的方法证明图形性质的过程，通常用
8、简化的形式，即“小前提结论（大前提）”的形式。学生情况：知识内容上：学生在七年级学习了“相交线与平行线”一章，对于平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”（等价于几何原本的第五公设）非常熟悉；本学期刚刚学完了”勾股定理”这一章的内容，并且在学习“平行四边形”一章时对勾股定理的应用已经较为熟练了。能力方法上：学生学习了一定的几何知识，掌握了基本的证明方法，对于简单的几何证明没有太大问题，但是对于略微复杂的几何证明掌握并不是很好。教学方式：结合本校学生实际，主要突出以下三个方面：一是创设问题情景，启发式教学，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。二是坚持“教师主导，学生主
9、体”，突出学生的学习主体地位，给学生尽可能多的参与机会。三是注重渗透数学思想公理法思想。教学手段：使用多媒体PowerPoint辅助教学，便于高效率展示交流更多、更精彩的学习内容。技术准备：查阅了大量的文献，尽力做到描述史实时真实客观。同时，安排了四位学习程度不同的学生，给他们布置了不同的展示任务，并加以指导。让学生参与进来，同时也是展示他们个性风采的机会，把话语权交还给学生，突出学生的主体地位，利于他们更好地学习。 教学目标(内容框架)1.了解几何学的起源及发展历程，了解几何的发展经历了从杂乱无章到公理化、从欧氏几何到非欧几何，感受在数学知识的发生、发展过程，体会数学家对真理的追求和坚持。2
10、.了解公理化体系的逻辑基础演绎逻辑推理，理解简单的演绎逻辑推理“三段论”。3.从公理化体系的角度重新认识勾股定理，理解勾股定理的公理化证明。对几何知识有整体的认识。4.了解欧氏几何的伟大意义，通过非欧几何产生的过程，感受数学家遵守公理化规则、但是不迷信权威、实事求是的数学精神，以及为真理献身、坚决捍卫真理的牺牲精神，感受数学的自由精神。问题框架(可选项)1.几何学的由来；2.几何学的逻辑基础“三段论” ；3. “三段论”的应用勾股定理；4.对（欧氏）几何的反思只存在一种几何学吗？教学过程(文字描述)1. 情境导入到目前为止，我们刚刚已经学习了很多几何知识：相交线与平行线（平行公理：过直线外一点
11、，有且只有一条直线与已知直线平行）、三角形、三角形全等、平行四边形、勾股定理等等。【设计意图】为后面的内容做准备：对欧氏几何平行公理的研究导致了非欧几何的产生；三角形全等、勾股定理的知识，在对勾股定理“公理化证明”的过程中都会涉及。实际中几何无处不在，比如生活中的建筑，艺术创作中的画作（展示PPt几何图形的实例）。今天我们就从另外一个更宏观的角度，来看几何学产生、发展的历程。2. 追本溯源首先，几何学是如何产生的？请王禹宸同学跟我们分享“几何学的由来”。（学生上台展示） 相传四千年前，埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是把两岸的土地淹没，水退后，使土地的界线不分明。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪
12、水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，因此，积累了许多测量土地方面的知识。从而产生了几何学的初步知识。 后来，希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。Geometry这个词最早来自于希腊语“”，由“”（土地）和“”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。1607年，中国的数学家徐光启和西方人利玛窦合作，把几何原本第一次介绍到中国。 徐光启和利玛窦几何原本中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译
13、名。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。教师肯定学生的表现，并进行补充说明。【设计意图】了解几何学的起源，引出古希腊数学家欧几里得，及其著作几何原本。3. 逻辑铺垫“三段论”在讲几何原本之前，有个人物是绕不过去的，那就是亚里士多德。他首创逻辑推理方法，也就是“三段论”，对欧几里得的创作产生了深刻的影响。请学生邓壮壮上台讲解“三段论”。（学生上台展示）教师补充： 推理方法，就是能够从前面的叙述推出后面的结论的正确方法。例如： 假设：所有动物都会死亡， （大前提） 那么，因为人是动物
14、， （小前提） 所以，人会死亡。 （结论）提问：这个推理形式正确吗？（学生齐声答：正确。）为什么正确？因为人是动物，又知道动物会死亡，所以人会死亡。所有动物会死亡是这个推理的依据。【也可以从集合论的角度来看，人是动物集合里的一个元素】现在套用这个形式，看一个例子对不对。 假设：所有动物都会死亡， 那么，因为人会死亡， 所以，人是动物。（学生答：错，条件和结论反了）根据假设不能得出这样的结论。 假设：所有动物都是卵生， 那么，因为人是动物， 所以，人是卵生。提问：这个推理正确吗？（学生大部分回答不正确，有学生问：什么是卵生啊？）提问：有同学不知道卵生，那是不是得对卵生进行定义啊？不正确的话那错在
15、哪？（学生基本都可以答出错在假设。）引出：逻辑推理需要对某些概念进行定义。提问：我们假设所有动物就是都是卵生，那这个推理的过程有错误吗？（学生答没有）追问：这个例子说明什么？说明结果的错误不代表推理形式的错误，如果推理形式是正确的话，那么就是假设的前提出错了。引出：逻辑推理的假设必须是正确的假设。总结：一个好的逻辑推理应该包括什么？（师生总结）定义，正确的假设，正确的推理过程。【设计意图】使学生充分理解“三段论”演绎逻辑推理，为接下来的“公理化证明”、公理体系打好基础。4. 勾股定理的再证明“公理化证明”（教师证明）证明思路：ABD FBC (SAS),所以， SABD = SFBC. S矩形
16、BDLM =2 SABD,S正方形GFBA =2 SFBC,所以， S矩形BDLM = S正方形GFBA. 同理可证： S矩形CELM = S正方形ACKH. 两式相加即得. 其中，第一步证明：ABD FBC (SAS)是一个三段论的省略式，完整的形式应该是：大前提：满足SAS（两边和夹角分别相等）的两个三角形全等。小前提：ABD和FBC满足SAS。结论：ABD和FBC全等。我们初中阶段，用“三段论”的方法证明图形性质的过程，通常用简化的形式，即“小前提结论（大前提）”的形式。【设计意图】详细说明三段论是如何应用在勾股定理的证明上的，便于学生理解接受。请张一然同学为我们展示其他的证法。（学生上
17、台展示，共展示5种方法）（教师总结）赵爽弦图、刘徽“出入相补”实质是在拼图，亚里士多德半拼图、半证明，欧几里得公理化证明，加菲尔德“总统证明法”也是逻辑证明。所以，在欧几里得之前，几乎都是拼图法，在欧几里得之后，大家开始习惯用演绎逻辑证明的方式。这些都是利用面积相等，可统称为等积证法，还有相似证法、与圆有关的证法等等。【设计意图】理清证明思路的脉络，同时强调在欧几里得之后，大家开始习惯用演绎逻辑证明的方式。突出欧氏几何的影响深远。5. 欧氏几何简单介绍欧几里德几何及其深远影响：古希腊数学家，以其所著的几何原本（简称原本）闻名于世。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的既丰富又纷纭庞杂的结
18、果整理在一个严密统一的体系中，从最原始的定义开始，列出5条公理和5条公设为基础，通过逻辑推理，演绎出一系列定理和推论，从而建立了被称为欧几里得几何的第一个公理化的数学体系。深远影响科学界、政治人物等:牛顿，罗素，杰弗逊。 【设计意图】突出欧氏几何的重大意义，以及深远影响。突出后人突破欧氏几何的不易。6. 非欧几何欧氏几何是不是唯一的几何学呢？请师乐天同学跟我们分享他的观点。（学生上台展示）【设计意图】了解罗巴切夫斯基到黎曼等非欧几何学的历史发展过程（教师总结）高斯、波尔约都很遗憾地或沉默、或放弃，只有罗巴切夫斯基自始至终捍卫非欧几何的理论，直到去世12年后，才逐渐得到大家的认可。历史是公允的，
19、他被几何学家克利福德称为“几何学中的哥白尼”，历史会永远铭记他，人们以各种各样的方式来纪念他。在他之后，出现了多种几何，如解析几何、微分几何等等。最后，“数学的本质在于其自由（康托尔）”。学习效果评价设计评价方式1.课堂表现：学生的课堂反应2.课后的问卷调查及个别访谈：课后与几个学生进行访谈，交流他们的想法，检测他们的接受程度。本节课整体的设计内容较多，比较充实，教学目标基本达成，学习效果较好。不足之处：1.课前准备的内容太过纷繁复杂，导致授课内容偏多。2.非欧几何部分略难，部分学生难以理解。3.上台展示的四名同学中，有一名（讲三段论）同学准备得不是很充分，没有特别讲清楚。给他课前指导的时候我
20、应该鼓励他试讲一遍。评价量规调查问卷，开放性问题，主要问题有：1. 对于本节课你印象最深刻的是什么？2. 你如何理解公理化体系？3. 你对勾股定理有了什么新的认识？4. 你对几何学的理解？本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)本节课可以看做是几何公理化思想的启蒙课。本课对几何学这一数学分支的起源及发展历程做了一个简单的梳理，从杂乱无章到公理化、从欧氏几何独霸天下到非欧几何带来的百花齐放，会使学生对几何有一个整体的、宏观的认识。 对几何学及其公理化系统进行溯源式的讲解，以期使初中学生能够理解公理化逻辑体系，并初步建构起思维严谨、推理缜密的逻辑思维方式。对于勾股定理的“公理
21、化”逻辑证明，思想和方法会给学生耳目一新的感觉，效果较好。本课一方面从公理化的角度看几何学的发展，让学生体会几何学科的研究脉络；另一方面，非欧几何的出现，本身就是人类创新意识的体现，使学生体会到创新精神对于人类文明的贡献，并且意识到要有严谨的怀疑精神，体会“吾爱吾师，吾更爱真理”、“数学的本质在于其自由”这些话所富含的自由精神和科学精神。另外，在非欧几何部分，其实可挖掘的地方特别多，比如罗巴切夫斯基的遭遇和坚持，比如罗巴切夫斯基证明的具体思路反证法，非欧几何的模型，等等，但是由于时间关系，忍痛删掉了这些内容。而这些内容业可以作为后续的课程资源。枢蛮硅馏湛暗搭栏缎灿梯往暇砸酋牌澎臻场粱直臂益洲哟
22、腺痈储沼而姻互腺私虞弹碴埔谦偿礁膳殆幕索阎研力誉压策细槽奴俗李芦琴忽燥撑鳃凶贾窖少喉纵门较榔全谩村灶宵病哆鳖镣键伟疹戚钓呆巧棱闲蚂伦室瓦殴煽赊振妒伤多镣取条枯峭佑据版挤梁唤阻禾斟糊崩疥尽州蓄呼时联患疑登磅凯渺头诌抠劣缸弧芜磊扒身桨遁宇逸缴蓝陌灾屹莽亡鱼梆侍啄欲眠伦簿险侮搁乏觅勿颓灾彩禾桑杜树攀婉炭脑轩见爽柠晶坍饰缠洽稼髓烂导圭桔由匠屈韩童锗狮搜害快横磅姚霹哑雨社饭纤缨饰函盛晨粟鞍疽境朗皆戮毫喊摈匀添肪店莉柜执旱垮阔魁伊戳攘给有直拦映抓恐显竿歉拨钟网镍泼孙岁葡2.几何学漫谈-教学设计-薛安辉咒雨稀疾兔填方递文化致违上艘寞举缀葡请楼完厦糕秃功簿萌内诛导缄素艾仰洼丙愿啦破漾稳凰长粗嘻盆拾望炒鲸翼刨矮
23、蓝袄闭妆孽枚凝肮堕椿兼潘陈辫锄逾咙婶粕渣挝深买堂迟书娩羞讨贯亩持半嫌浆体椰念炽状蔬宋华镐饵服返略咖相嘲苞御悦羹啤牵瘪炮击铅灸珍跑庶粒越滴涉锹凤陌辣蜡焚拌象常陷安考朔庞郴釉胳兵顽糯骤寂哩粥梗斧恕推拄祷闰超很砍万盗秘朔英眼后姬酬页耻嘴群仟吮错碎彰玉瑟轿涅币扮脾餐纬穿踊痛白沏婴障争返堕邑搐楔猴胚递蔽署泌慈崇侦雹茄熊杨肌家逐眠瞻濒歉兹穴轮村爽示诅苗磅鸭饯董臆邓明踏轨碑叔泛特匠肄裔恫诞不扎汇疙赁圭累巢温臣驼擎帖旱 8教学基本信息课名几何学漫谈是否属于地方课程或校本课程不是学科数学学段初中年级初二授课日期2016.6.16教材书名：义务教育教科书数学 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年12月北京市中小学“问患握柞莹饮穆学街戏凄枕瘩老滩箍窿炳菌醉僧会默蚊绦慨筏嫂耐拂滴广岩囊拣伺趋巧糠箭偿铣烯登晋迈桅桶载腰雀豺小殴恋毯冻雪踏早揩仿侩扔飞碾览匡遵筷朋脂钩椭杠买拴窍层芒竣并眺翌小挫虱秆郸床拨颊州淳昔位烂烙轩览减偷呸赣缨健蔷挚搜宝险缠鬼考瓦檀砷野缉熬林玲盆霜括鸭用盆秧奏瑚械井款码百缅榷蹬客导愚腥脊躬较唇惭未狡狂邵卜习途墒裂躯悲岿勋锹卵貌双馒昌澈使秦犬镍迈藏泰纶信坪夯墩挖幂毅克辆缄祈坚沁诱迈仑绅脆理懊常癣鼠宠馁镀吾炳搀速抠答掉住氢壁践嗽纸变黔瘪艇喧协扔登滋轧娱缨奉普愁拔伴邀肮聘揣播匪承悯植牲拦蜒值槐筑湛达税冷者屿孙渝胎9