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1、等比数列的前n项和例题解析例1设等比数列的首项为 a(a >0),公比为q(q >0),前n项和为80,其中最大的一项为 54,又它的前2n项和为6560,求a和q.'a(1-qn)j 1 -qa(1 _q2n)解 由 Sn=80, S2n=6560,故 qwl80= qn = 816560. a>0, q>1,等比数列为递增数列，故前 n项中最大项为an.an=aqn-1 =54将代入化简得 a=q-1， 石化简得3a = 2q由，联立方程组解得a=2, q=3【例2】求证：对于等比数列，有S： + S2n =$.幽+ $3.).证J 吊=2 + aq+aq2
2、+ + an-1S2n=Sn+(a1qn + a1qn+1+ + a/n-1)=Sn+qn(a1 + a1q+- + a1qn-1 )=Sn+qnSn=Sn(1 +qn)类似地，可得 S3n=Sn(1 +qn+q2n)S2+S2n =S2 + Sn(1 + qn)2= Sn(2+2qn + q2n)Sn(S2n + S3n) =SnSn(1 + qn)+Sn(1 + qn+q2n )2n 2n=Sn(2+ 2q +q ).S2+S2n =Sn(S2n + S3n)说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易.上边的解法，灵活地 处理了 S2n、S3n与Sn的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结
3、合律、提 取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好， 则解法巧.【例3】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数，其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.分析 设等比数列为an,公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为 q2,首项分别为a1, a1q.解 设项数为2n(n C N*),因为a1=1,由已知可得qwl.ai(1 -q2n)1 - q2 aq(1 -q2n)=851 -q2=170/曰 1 -4n得=854n =256 n=4把q = 2代入1 -4即公比为2,项数为8.说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理
4、时，对公比q要分情况 讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的.【例4】 选择题：在等比数列an中，已知对任意正整数 n,有Sn=2n1,则a2 + a2 + an等于A. (2n -1)2B.C. 2n -1D.3(2n-1)2 3d),%=5=1，an=SnSn-1 =2n 1an=2n-12a2 bn=(a n) 2=(2 n-1) 2=22n-2 =4n-1 .22b1 + b2 + -+ bn = a1 + a2 + . +=1 + 4 + 42 + 4n，4n -11n=(4 7)4 -13【例5】设0Vg 1, m为正整数
5、，求证：(2m + 1)Vm(1 V)v1V2m+1分析 直接作，不好下手.变形：1 - V2m 1(2m + 1)V m<1 v右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有:(2m + 1)Vmk 1+V+ V2+ V2m发现左边有（2m+1）个Vm,右边有（2m+1）项，变形：Vm+ V"+ Vm< 1+ v+ V2+ + V2m法，即左边选两项与显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二” 右边的两项相比较.鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和 均相等”的特点，想到以如下方式比较：Vm+ Vm< 1+V2mn, Vm+ Vm< V
6、+ V2m-1,，Vm+ Vmk Vm-1 + Vm+1, Vm=Vm 即 2Vm< 1 + V2m, 2Vmv V+ V2m-1 ,.根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”,这些式子显然成（具体证法从略）.说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”：C1 . V2m 1要证A - B<C（B>0）,改证A< -;见到 V ,去逆向运用Sn =na1 -a q ,化成 1 +V+V2 + V2m;要证 A+B<C+D,先证 A< 1 -qC, B<D,等等.善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的思维能力
7、，平时应注意训练.例6解法一若 q=l,-Sn数列an是等比数列，其中 Sn=48, 利用等比数列的前 n项和公式则 Sn=na1，即 na1二48, 2na=96w60, a1（1-qn）1 -qS2n=60,求 S3n.所以q*2nai(1 - q )1 -qa1(1-qn)(1 + qn)1 -q= Sn(1qn)qnS3n =14a1(1-q3n)1 -qnn 2n、a1(1 -q )(1 q q )1 -q=Sn(1 +qn+ q2n)11： S3n = 48(1- + ) = 633n4 16解法二利用等比数列的性质：Sn, S2n Sn,S3n S2n仍成等比数列(60 48)
8、2=48 (S3n60) S 3n=63.解法三取特殊值法取 n=1,则 S=a=48, S2n=S2=a+a2=60a 2=12. a n为等比数列a21_q = = - a3 = 3a14S3n=S3=a1 + a2 + a3=63【例7】已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2(n CN*) , a1=1(1)设bn=an+1 2an(n N*),求证：数列bn是等比数列；a设Cn =J(nG N*),求证：数列Cn是等差数列.解 (1) . S n+1=4an+2Sn+2=4an+1 + 2两式相减，得Sn+2 Sn+1 =4an+1=4an(n。N*)即：an+2
9、=4an+14an变形，得 an+2 2an+1=2(a n+1 2an)b n=an+1-2an(n C N*) b n+1=2bn由此可知，数列bn是公比为2的等比数列.由 S2=a1 + a2=4a1 + 2, a1=11*得 a2=5, b 1 =a22a 1 =3b n=3 - 2n-1an(2) - Cn=2_(nCN*)._ 二 an 1 _ an = an 1 - 2a.Cn+1Cn - 2n 12n -2 n 1_ bn=2n+1将bn=3 - 2n-1代入，得3, 、Cn+1 Cn = 4(n G N*)-3由此可知，数列g是公差d=：的等差数列，它的首项G1 一 12，故Cn =2 + (n-1) 说明31即：Cn = -n-n 44利用题设的已知条件,34通过合理的转换,将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决