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1、专题反比例函数中的几何图形存在性问题1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数（叱0）与反比例函数尸鸟（启0）的图象交于第二、四象限乩5两点，过点月作曲_Lx轴于止=4, sinN/但冷，且点5的坐标为（m -2）.5（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）5是y轴上一点，且月比是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的七点坐标.3【解答】（1） 一次函数y=4田6与反比例函数丫=典图象交于月与5且出ZLx轴, x：.ZADO= 90° ,在 RtZLW中，出?=4, sinZAOD=.即47=5,5 A0 5根据勾股定理得：加=叱11=3, ：.A （ -3, 4）,代入反比例解析
2、式得：力=-12,即y=-22,把5坐标代入得：a=6,即6 （6, -2）,代入一次函数解析式得：一孔坨=4,解得: 6k+b=-22-93，即 y- - - a+2：3(2)当。氏=0Ez=Ag5,即艮(0, - 5),瓦(0, 5)：.当Q4=月瓦=5时，得至IJ组=2祖=8,即属（0, 8）；当忠=的时，由3（-3, 4）, 0 （0, 0）,得到直线月。解析式为尸-义,中点坐标为（-1.5, 2）,垂直平分线方程为y2得 （aH-1）,令x=0,得到尸争，即因（0,零）,综上，当点上（0, 8）或（0, 5）或（0, -5）或（0,冬）时，月比是等腰三角形.2、在平而直角坐标系才分中
3、，一次函数，=田8的图象经过点月（-2, 0）,与反比例函数丫=区（心>0）的图象交于5 （a, 4）.（1）求一次函数和反比例函数的表达式:（2）设必是直线四上一点，过M作必x轴，交反比例函数y=k（x>0）的图象于点A；若儿0, M x求点M的坐标.【解答】解：（1）:一次函数的图象经过点月（-2, 0）,，0=-2+6,得6=2, 一次函数的解析式为产=肝2,:一次函数的解析式为产=/2与反比例函数，=区（Q0）的图象交于6 （a, 4）,，4 = a+2, 得a=2, x，4=& 得k=8,即反比例函数解析式为：尸区（Q0）；2x（2） 二点月（-2, 0）, ：.
4、OA=2,设点必（m-2,加，点内（呈，血, m当心月。且.力三月0时，四边形月以V是平行四边形，-（m-2） =2，m解得，/»=2拆或。=26+2,，点M的坐标为（2V2 - 2, 2V2）或（26，2«+2）.3、一次函数尸当"的图象与y轴交于点6（0, 2）,与反比例函数尸区（x<0）的图象交于点，（出加.以3x加为对角线作矩形的?，使顶点儿C落在x轴上（点月在点。的右边），BD与AC交于点、区（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点4的坐标.的图象与y轴交于点6（0, 2）,，6=2,，一次函数的解析式为丫=言黑:2丁5（0，2）,，如=2
5、,作 DELO5于 E :四边形月反刀是矩形，：.BE=ED. V OE/DF,：.OB=OF=2, ：.n= - 2,-2）在尸鼠+2上，/.tn- - 3,- 3,点。在片=上上，4=6,，反比例函数的解析式为=旦. XX（2）由（1）可知：OE=M=亳,在Rt反应中，班=422十逆）2rRR在矩形月以力中，AE=BE=y ：. OA=AE- EO=-=, ：.A (b 0).22 24、如图，一次函数产=二什6的图象与反比例函数%=上（尤0）的图象交于点尸（出4）,与x轴交于点月x（-3, 0）,与y釉交于点G如_1才轴于点6,且（1）求反比例函数与一次函数的解析式;（2）反比例函数图象
6、上是否存在点，使四边形5。叨为菱形？如果存在，求出点的坐标：如果不存在，说明理由.【解答】解：（1） 9：AC=BC. CO LAB.月（-3, 0）,，。为四的中点，即。1=05=3,，尸（3, 4）, 5（3, 0）,将尸（3, 4）代入反比例解析式得：A=12,即反比例解析式为将月（-3, 0）与尸（3, 4）代入y=工叶6得：（-3a+b=0,解得："方，.一次函数解析式为，.叶2： "=4b=23（2）如图所示,VC （0, 2）,如_Lx轴，点，的纵坐标为2,把y=2代入y=中，得x=6,得，（6, 2）,则点，（6, 2）.5、如图，正比例函数y=2x的图象与
7、反比例函数片=区的图象交于月、6两点，过点月作月。垂直x轴于点x3连结5C若月6。的面积为2.（1）求左的值：（2） x轴上是否存在一点，使板为直角三角）形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请理由.【解答】解：（1）反比例函数与正比例函数的图象相交于月、6两点，.,.月、6两点关于原点对称,：.OA=OB>，6%的而枳= A4X的面积=2 + 2 = 1,又是反比例函数丫=上图象上的点，且月CLx轴于点G 月夕的面积=4， x2k =1, ：k>3，A=2.故这个反比例函数的解析式为y=2：2X（2） x轴上存在一点。，使月初为直角三角形.将y=2x与y=2联立成方程组得： xV
8、=2xf xi=1 x2=-i42，解得：，/，月（b 2）, 5 （ - b - 2）,了=vbi=2 1%=-2I当时，如图b设直线"的关系式为尸-畀8,将3（1, 2）代入上式得：仁!一直线段的关系式为产 乙乙乙52，令 y=0 得：x=5, ：.D （5, 0）：当班_L/15时，如图2,设直线班的关系式为尸-畀6,将6（-1, -2）代入上式得：6=-£， 乙乙，宜线6的关系式为y=-得*-,令尸=0得：x=n - 5, /./?（- 5» 0）： 乙乙当助J_物时，如图3,为线段四的中点，AOD=AB=OA, 9：A （h 2）, ：.OC=1, AC
9、=2, 2由勾股定理得：oa=T0c2十ac 2 =Vs» * a?=，。W5. 0）.根据对称性，当为直角顶点，且。在*轴负半轴时，。（-石，0）.存在一点，使月即为直角三角形，点。的坐标为（5, 0）或（-5, 0）或（旗，0）或（-泥，0）6、如图，已知反比例函数y=Z的图象与正比例函数y=x的图象交于点4 （m, -2）. x（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点6的坐标：（2）试根据图象写出不等式2，几的解集： x（3）在反比例函数图象上是否存在点。，使为等边三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.：.A （ - 1, - 2）代入 y=Ax, -2
10、=AX （ - 1）,解得，k=2, ：.y=2x,又由2x=2,得才=1或才=-1 （舍去），2）, x（2） ,:k=2,为222M XX根据图象可得：当xW-1和0<*<1时，反比例函数y=2的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方, x即222乂x（3）当点。在第一象限时，宏。不可能为等边三角形，如图，当。在第三象限时，要使为等边三角形，则）=%,设。（t, 2）（t<o）,J9：A （ - b - 2） A 0A=f5，a士=5,贝ij -5/+4 = 0,t2/. r=i, t= -1,此时。与月重合，舍去，f=4, £=-2,-2, -1）,而此时月46
11、，ACAO. ，不存在符合条件的点C7、反比例函数y=上在第一象限的图象如图所示，过点月（1, 0）作x轴的垂线，交反比例函数尸身的图 xx象于点M 401/的面积为3.（1）求反比例函数的解析式；（2）设点6的坐标为（30）,其中t>l.若以45为一边的正方形皿有一个顶点在反比例函数7=区x【解答】解：（1）月的的面积为3,4|=3,而Q0,，4=6, 反比例函数解析式为y=2 2x（2）当以月5为一边的正方形月547的顶点。在反比例函数旷=反的图象上，点与“点重合，即AB=AM. x把 x=l 代入 y=互得 y=6,点坐标为（1, 6）, .9.AB=Alf=69 A t= 1+6
12、 = 7： x当以四为一边的正方形际刀的顶点。在反比例函数/=且的图象上，则月1, x二。点坐标为（t, t- 1）, （t - 1） =6,整理为 f- -6=0,解得 tx=3, t2= -2 （舍去），£=3,以"为一边的正方形有一个顶点在反比例函数旷=区的图象上时，t的值为7或3. x8、如图，反比例函数的图象经过点A（-2相，1）,射线相与反比例函数的图象的另一个交点为6（-b a）,射线月。与x轴交于点七与y轴交于点a N加e=75° ,血江y轴，垂足为。.（1）求反比例函数的解析式；（2）求。的长；（3）在x轴上是否存在点尸，使得川吃与月Q?相似，若
13、存在，请求出满足条件点尸的坐标，若不存在，请说明理由解： 反比例函数尸与的图象经过点A（-2、”，1）,.4=-26.反比例函数的解析式为：行&2;（2）过点6作£忆助于必，把5（-1, a）代入了二得a=2点， X：.B （ - 1, 2V3），儿”=笈仁2愿-1,胡¥=45° ,JoTN胡6-75° ,:/DAC=75° -45° =30° ,=4>tanNZ7=2Xj x£=2：（3）存在，如图，： OC=CD- 0D=3 ：.OE=OC=退,当胪Lx釉时，加艺如，则：OP.=AD=22. ：.
14、P,（-2畲，0）,当"_1_月£时，4APE4DCA, :期=1, N月月月=90° - 30° =60°，P2P 广APi + tan/AP2P 1=1 士正当 则22 =（_*''，。）， 综上所述，满足条件点尸的坐标为（-2寸, 0） , （g*, 0）.9、如图，在平面直角坐标系中，一次函数乂=4肝6 （AKO）的图象与反比例函数七寸血中0）的图象相 交于第一、三象限内的月（3, 5） , B （a, -3）两点，与x轴交于点。.（1）求该反比例函数和一次函数的解析式：（2）直接写出当切>於时，x的取值范围；（3
15、）在y轴上找一点尸使融-尸。最大，求所-尸。的最大值及点尸的坐标.解： 把月（3, 5）代入7白加卢0）,可得。=3X5 = 15,.反比例函数的解析式为力上： d X/ X15把点 5 （a, -3）代入了=土，可得&= - 5,，6（-5, -3）. 4 X把月（3, 5） , 5（ - 5, -3）代入必=/b,可得，解得 ，-5k+b=-3b=2一次函数的解析式为%=肝2；（2）当必於时，-5VxV0或*>3.<3） 一次函数的解析式为外=田2,令*=0,则尸2, .一次函数与y轴的交点为尸（0, 2）,此时，PB-PC=BC最大,尸即为所求，令 y=0,则 x=
16、- 2, .0（- 2, 0） , A BC=V（-5+2） 2 + 32 = 3>/2-10、如图，一次函数j，=U3 （A#0）与反比例函数，=至（aWO）的图象在第一象限交于月，6两点，A点、 X的坐标为（用，6） , 5点的，坐标为（2, 3）,连接），过6作6ULy轴，垂足为。.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在射线%上是否存在一点。，使得月勿是直角三角形，求出所有可能的。点坐标.解：（1） ;点5（2, 3）在反比例函数y=3的图象上，a=3X2=6, x，反比例函数的表达式为尸表. 点月的纵坐标为6点月在反比例函数尸号图象上,：.A (1, 6),2k+b=3
17、k+b=6>=-3,，次函数的表达式为尸-3/9；13（2）如图，当/如月=90°时，设6。与月。交于其 则3） , ：,AE=OE=D,E=,:E (, 3)的坐标为( :",3)；22当/码=90°时，可得直线必的解析式为：尸-%手当y=3时，丫=19,，区的坐标为（19, 3）,综上所述，当月勿是直角三角形，点坐标为（士豆，3）或（19, 3）11.如图，直线 尸&什2与x轴、y轴分别相交于46两点，与双曲线尸石（-y>0）相交于点只PCLx x轴于点。，且R7=4,点月的坐标为（-4, 0）.（1）求双曲线的解析式:（2）若点。为双曲线
18、上点尸右侧的一点，过点。作矶x轴于点4,当以点。，3 4为顶点的三角形与月缈相似时，求点Q的坐标,疗解：（1）把月（-4, 0）代入y=a田2,得，-4a+2 = 0,解得8=工，2故直线相的解析式为尸#2,把片=4代入乂=畀2,得，92=4,解得x=4,.点尸（4, 4）. 乙乙乙把尸（4, 4）代入y=区，得A=16,故双曲线的解析式为y=； xx（2）把x=0代入尸=上/2,得y=2,，点6的坐标为（0, 2）,:.OB=2, 9：A （ -4, 0）, «2.04=4,设。（血）,则QH=,由题意可知N月（25=/幽=90° ,mm16当物幽时，型 qi,即工支，
19、0A 0B 42解得：g=2+2南，公=2-26 （不合题意，舍去），16，点。的坐标为（2+2必，招月-4）,当9时，.嘿,即段-=>1,解得以=8,无=-4 （不合题意，舍去），点。的坐标为（8, 2）.综上可知，点。的坐标为（2+273，473-4）或（8, 2）.12、如图（1）,正方形 3顶点乩6在函数y=K （A>0）的图象上，点0、。分别在天轴、y轴的正半X轴上，当A的值改变时，正方形/质的大小也随之改变.图图（1）若点月的横坐标为5,求点。的纵坐标：（2）如图（2）,当4=8时，分别求出正方形4 B' C '的顶点H、B'两点的坐标：（3）当
20、变化的正方形血与（2）中的正方形H B' C D'有重叠部分时，求A的取值范围. 解：（1）如图，过点月作花_Ly轴于点瓦 则/3=90°.图;四边形血。为正方形，:.AD=DC, N血?C=90° ,：./0DC+/EDA=9G .： 4ODa/OCD=90' , ：.4EDA=/0CD,/AED 二 ND。在血和中(/EDA=/OCD. :.XAEDXDOC <AAS), ：.OD=EA=b,，点。的纵坐标为 5； AD 二 DC(2)作H J£Ly轴于M 5, ACLx轴于点N,图设加=a, 0Cr =b,同理可得$ C 2XC
21、 D' OAAr Df E,：.C N=ODf =H .Qa, Bf N=Cf 0=Dr M=b. ：.Af (a,升b), Br (a+6, 6),丁点H、Bf在反比例函数y=&的图象上，(a+6) =8, 6 (a+b) =8, X，解得a=b=2或a=6= - 2 (舍去)，.'.H、B'两点的坐标分别为(2, 4), (4, 2)；(3)设直线H S'的解析式为y=®叶m把月'(2, 4), B' (4, 2)代入得4 2m切二4,解得严-1,，直线© 5,解析式为尸一公6, 4m+n=2n=6同样可求得直线D
22、'解析式为/=-廿2,由(2)可知©是等腰直角三角形，设点力的坐标为(出2加，点。坐标为(0,加，当月点在直线Df上时，则2片-加2,解得m=三，此时点月的坐标为 彦，当， 33 39 4 R当点在直线H Bf上时，有片6,此时点月的坐标为(6, 12), 3 39=6X 12 = 72：综上可知：当变化的正方形皿与(2)中的正方形H B' C有重叠部分时，A的取值范围成WxW72.913、如图，一次函数y=-/3的图象与反比例函数，=区（4H0）在第一象限的图象交于月（1, a）和6两点，与才轴交于点U（1）求反比例函数的解析式；（2）若点尸在x轴上，且月尸。的面积
23、为5,求点尸的坐标：（3）若点尸在y轴上，是否存在点八使月明是以相为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符 合条件的尸点坐标：若不存在，请说明理由.J4解：（1）把点月（1, a）代入 y=-户3,得 a=2, ：.A （b 2）把月（1, 2）代入反比例函数了=上，A=1X2=2： J反比例函数的表达式为了/:（2） 一次函数尸肝3的图象与*轴交于点C,，C（3, 0）,设尸(as 0), ：.PC= 3-x , ，S4年=|' 3乙-x 义2=5, ，*=-2 或 x=8.，尸的坐标为（-2, 0）或（8, 0）：（3）存在，理由如下：联立y=-x+32，解得:y=勺二1或 yL
24、=2xl=2”,点坐标为（2, 1）, %二1丁点尸在y轴上，设尸（0,加,9=也1-2 )2十(27)2=6, /(1-0)2+(2f)2, 7/(2-0)2M1f)2,若如为斜边，：.BP=AffAP ,叩(V(2-0)2 + (l-m) 2) 2=2+(V(l-0)2+(2-m)2)2,解得：m=l, ：.P (0, 1)：若相为斜边，：.AP = PBAB , 即(V(l-0)2 + (2-m) 2) 2=(V(2-0)2 + (l-m) 2) 2+2*解得：m= 7,：.P (0, - 1)：综上所述：尸（0, 1）或P（0, - 1）.14、如图，在平而直角坐标系才分中，已知点月坐标(2, 3),过点看作月Alx轴，垂足为点"留交反比例函数在第一象限的图象于点5,且满足绘=2.BH(1)求该反比例函数的解析式；(2)点。在牙正半轴上，点，在该反比例函数的图象上，且四边形阳是平行四边形，求点。坐标.解：点片坐标(2, 3),：.AH=Z,.胆=2,BHAB=2,，点 5 (2, 1),设反比例函数的解析式为尸上(AHO), x丁点S在反比例函数的图象上，* k= 2 X 1=2,，反比例函数的解析式为y=2： X(2)四边形皿是平行四边形,：.AB/ CD> AB=CD=2,恕，才轴，:."Lx 轴,.点。纵坐标2,点。坐标(1, 2).