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1、学习必备欢迎下载专转本专题知识点- 多元函数的微分偏导数若函数 zf (x, y) ，则有一阶偏导z 和z ，二阶偏导2 z、2 z、2 z 和2 zxyx2y2x yy x1）求函数偏导的方法简单，即将所求的一项看成未知进行正常求导微分，而另一项看成常数2）(z )fxx ( x, y)2 zx2xx(zf yy ( x, y)2 z)y 2yy(zfxy ( x, y)2 z)x yyx(z)f yx ( x, y)2 zxyy x例题讲解： 求函数 zx2 y2 y 的一阶偏导以及二阶偏导一阶偏导：z = (x2 y2 y) = 2xy ，z = (x2 y 2 y) = x22xy2
2、z(z(2xy) = 2 y二阶偏导：x2 =) =xxx2 z =(z) =(2 xy) = 2xxyyxy2 z=(z(x22) =0y 2) =yyy2 z(z( x22)= 2xyx) =xyx全微分： dzz dxz dyxy例题讲解： 求函数 zx ln ysin 2xyy2 的全微分zx= ln y2 y cos 2xy学习必备欢迎下载zx2y=2x cos 2xyyy则 dzz dxz dy = ln y2 y cos 2xy dx + x2x cos2xy2 y dyxyy复合函数求偏导例题一： 设 zf ( x2 , x) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求z 、2 z.y
3、xx y设 ux2 , vx ,则 uf12x, vf 21yxxy所以z2xf11f2xy2 z =( z ) =(2xf11 f2 )x yyxyy= 0 ? f12x(0 ? f11x2 f12 )12f21 (0 ? f21x2f 22 )yyyy=2 x21xy2 f12y2 f 2y3 f22例题二： 设 zx 3 f( xy, y ),( f 具有二阶连续偏导数)，x求z ,2 z2,x2 z .yyyz31) x4f1x2f2 ,yx( f 1 xf 2 x2 z4121y2x( f 11 xf 12 x) x( f 21 xf 22 x)x5 f112x3 f12xf22,x
4、 5 f112 x 3 f12xf 22 ,y2z2z( x4 f 1x2 f 2 )34x4xf1x f11 yf12(2 ) 2xf 2x yy xxx2 f21 y f22 (y2 )4x3 f1xyf22.2xf2 x4yf11学习必备欢迎下载隐函数求偏导1.函数 F ( x, y( x)dyFx0 ，则Fydx例题讲解：设 ln xyx22 sin y0 ，求 dy3dx设 F (x, y) ln xyx22 sin y ，则 Fxy2x ， Fyx2 cos y 连续，从而 F ( x, y)3xyxy3可微。y2x所以 dyFx=xydxFyx2xycos y32.函数 F (x
5、, y, z) 可微，且 Fz (x, y, z)0 ，确定一函数 zz(x, y) ，则 zFx ，xFzz FyyFz例题讲解 :求由方程 xy 2 z cosxy3z20 所确定的隐函数 zf (x, y) 的偏导数z ， zxy令 F (x, y, z)xy 2 zcos xy 3z2 ，因为Fxy2 z y sin xy ， Fz xy26z ， Fy2xyz x sin xyzFxy2 zy sin xy，zFy2xyzx sin xyxFzxy26zyFzxy26z偏导数在几何方面的应用1.空间曲线的切线与法平面xx(t )设点 P0 (x0 , y0, z0 ) 是曲线 S：
6、yy(t ) 的一个点，则曲线S 在 P0 处的切线为zz(t )x x0y y0z z0xx(t )，（ t 是根据 yy(t) 所对应的值进行求解的） ，曲线 S 在 P0 处的x (t 0 )y (t0 )z (t0 )zz(t)法平面是 x (t 0 )( xx0 )y (t0 )( yy0 )z (t0 )( z z0 )0学习必备欢迎下载2.曲面的切平面与法线设曲面的方程为 F ( x, y, z) 0 ，点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的一点，曲线 L 是曲面xx(t )上通过点 M 0 的一条曲线， 设曲线 L 的参数方程为 yy(t ) ，点 M 0 (x
7、0 , y0 , z0 ) 对应于zz(t )t0 ，并设曲线L在M0处的切向量x (t 0 ), y (t0 ), z (t0 ) 不为零向量，于是有F ( x(t ), y(t ), z(t)0，上式对 t求导得Fx (x0 , y0 , z0 )x (t0 )Fy ( x0 , y0 , z0 ) y (t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) z (t0 )0 即为曲面在M0处的切平面。曲面x x0yy0z z0在点 M 0 处的法线方程为Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )Fx ( x0 , y0 , z0 )多元函数的极值1.设函数
8、zf (x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义， 如果对于该邻域内所有异于点P0的点 P(x, y) 都有f (x, y)f (x0 , y0 )(或 f (x, y)f (x0 , y0 )则称函数f ( x0 , y0 ) 是函数 f (x, y) 的极大值（或极小值）2.（必要条件）设函数zf (x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处有极值，且在点P0 (x0 , y0 ) 处的一阶偏导数存在，则称函数 zf ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数必为零，即f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y (x0 , y0
9、 )0使 fx (x0 , y0 )0 ， f y ( x0 , y0 ) 0同时成立的点( x, y) 称为函数的驻点3.（充分条件）设函数zf (x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且P0 ( x0 , y0 ) 是函数的驻点，记Af xx ( x0 , y0 ) ， Bf xy ( x0 , y0 ) ， Cf yy ( x0 , y0 )则（ 1）当 B2AC0 时，函数 zf ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处有极值，当A0 时，f ( x0 , y0 ) 有极小值，否则有极大值学习必备欢迎下载（2）当 B2AC0时，函数zf ( x, y)（3）当 B2AC0时，函数zf ( x, y)在点 P0 (x0 , y0 ) 处没有极值在点 P0 (x0 , y0 ) 处可能有极值，也可能没有极值