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1、专题学习：不等式与方程的综合应用北京十二中 王明文【写在前面】 不等式（组）和方程（组）是探求不等和相等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组） 在相关概念， 解法上有着相似点， 又有不同之处， 主要体现在等式与不等式的基本性质等方面； 另外，解方程组，可以“统一思想”，即对几个方程通过代入或加减消元， 解不等式时， 只能“分 而治之”，即分别求解，再确定公共部分 .但在很多问题中，不等式与方程总是同时出现，借助 于构造方程模型来解决不等式问题或者借助于构造不等式模型来解决方程问题，以及两者之间 的灵活转换是常用的思想方法，而两个模型转换的关键是获取两者之间恰当的关联 .【知识铺垫】1. 不等
2、式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法；2. 方程组的概念，二元一次方程组的解法；3. 含参数方程（组），不等式（组）的解法 .【思想方法】方程模型与不等式模型的构建、互相转换 .【例题精讲】一、构建方程或不等式模型解决求值或求范围问题例题 1：关于 x 的方程 4x-m+1=3x-1 的根为负数，求 m 的取值范围 .变式练习1:已知关于x的方程4x-m+1=3x-1，且2<m<4,求x的取值范围.变式练习2:当x为何值时，相应的关于x,y的二元一次方程4x-y+仁3x-1中y的值为正数.思路点拨： 正确求解方程模型 （一元一次方程 ）是前提，建立不等式模型并求解是落脚点，而联
3、 系二者的纽带是诸如“根是负数” 、“2<m<4”、“y 的值为正数”等从方程出发到不等式的关键 词.注意： 求解含参数方程的关键是将无关参数视为常数 .例题2:已知关于x,y的方程组3X 2m 1 , m为何值时，x>y?12x + y = m 1变式练习2:已知关于x,y的方程组3x 2y = m 12x y = m -1的解1 x > 0<0求m的取值范围.变式练习1:已知关于x,y的方程组3x 2 m 1，m为何值时，x>y>0?2x + y =m17变式练习3：已知关于x,y的方程组3x 2ym 1的解满足条件0<x+y<1,求m
4、的取值范围.2x + y =m1 3x 亠 2y = m T变式练习4:已知关于x,y的方程组，且2<m<4，求x-y的取值范围.、2x + y =m1mr + 2y = 1变式练习5：已知关于x,y的方程组宀有非负整数解，求正整数m的值.2x + y= 2思路点拨：首先正确求解含参数方程组模型，由此建立不等式或不等式组模型，并求解，二者 联系的纽带围绕前后模型的解或参数展开.注意：含参数方程组的求解要注意两种情况：一是，参数不是未知数的系数，视参数为常数求 解即可；二是，参数是未知数的系数，要注意其取值范围，然后视其为常数求解y 的方程(ax + by -12)2 + ax -
5、by + 80的解，求不等式组X = 1例题3：如果丿 是关于X、y = 213x +14 的解集.ax -3 :： x 3变式练习1：已知x、y满足X2y+a|+(x y 2a+1 ) =0且x3yc1，求 a的取值范围.变式练习2：若单项式-3xm'y3与5xnymn能合并成一项，求关于x的不等式0 x - n ： 2n的2 2整数解.思路点拨：首先构建方程模型，并正确求解，根据前后之间的联系，构建不等式模型，并求解 注意：方程组的构造基于前面所学的知识，例如：几个非负数的和为零，同类项的定义等x a a 2例题4：若关于x的不等式组的解集为-ivxvl，求a?b的值.2x >
6、;0"x a > 2 2x 3a £ 7b变式练习1：若关于x的不等式组和解集相同，求(a+1)(b-1)的值.lb - 2x > 06b - 3x c 5a变式练习2：若关于x的不等式组有两个整数解，求b的取值范围-1相关练习3:若不等式组x> 2(x3)的整数解是关于x的方程2x_4二ax的根，求a的值.2x 3< 1思路点拨：从正确求解不等式入手，落脚点还是构造不等式，中间联系的纽带是方程或方程组 注意：含参数不等式的求解和含参数方程的求解类似，并且在不等式组中参数的位置一般不在 系数位置.例题5：已知2mx+3>0的解集是x<3,
7、求m的值.1变式练习1：已知a,b为常数，若ax+b>0的解集是x，求不等式bx-a<0的解集.35变式练习2：关于x的不等式2a - b x a - 2b的解是x ：-，求关于x的不等式ax 0的 解集.思路点拨：从系数中含参数的不等式出发，结合所给解集确定参数的值或范围，并利用之进一 步求解两一个不等式.注意：在求解系数中含参数的不等式时，一定结合所给解集进行恰当的讨论，建立有关参数的方程，并同时确定某个或某些参数的取值范围.二、构建方程与不等式模型解决实际问题例题6：星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐 和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3
8、元一杯，如果20元钱刚好用完.(1) 有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？(2) 每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？分析：先建立二元一次方程，再建立一元一次不等式组解决.例题7:某超市销售有甲、乙两种商品甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元.（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共 80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种 商品各多少件？（2） 该超市为使甲、乙两种商品共 80件的总利润（利润二售价-进价）不少于600元，但又 不超过610元请你帮助该超市设计相应的进货方案.分析：先建立二元一次方程组，再建立一元一次不等式组解决.例
9、题8为迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如 下表：胜一场平一场负一场积分310当比赛进行到第12轮结束（每队均需比赛12场）时，A队共积19分.请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场？分析：先建立不定方程组： 设A队胜x场、平y场、负z场， 则有xy 12，把x当成已知数，可解得厂19亠.3x + y = 19Z = 2x - 7再建立一元一次不等式组：由题意，x0、y 0、z 0，且x、y、z均为整数，x >011所以193x K0，解得3 I兰6，23、2x -7 狂0最后，获得满足题意的整数解： 于是x可取4、5、6，由此可得三组解（略）.思
10、路点拨：解答这类题时，可先把题设中的方程（组）的解求出来，再根据题目中的限制条件 列不等式（组）进行解答；或先求出题设不等式（组）的解集，再与已知解集进行比较，从而 列方程（组）施行解答.注意：实际问题中通过一些关键词暗示该问题应建立不等式模型解决：诸如此类的关键词有： 大于，小于，至少，至多，不少于，不多于，超过，不到 等.【巩固练习】1、x取什么值时，y = -2(X 1) 4的值是正数？负数？非负数?2、当m在什么范围内取值时,关于x的方程m2x-2 = 1-m4-x有:(1) 正数解；(2) 不大于2的解.3x 卜 y - k D 13、若方程组x，3y：3的解为x、y，且4，则x-y
11、的取值范围是()A. 0 vx y 丄2B. 0 ： x y : 1 C. 一3 ： x y ： -1D. 一1 ： xy : 1x + 2y =14、已知关于x、y的方程组2y=m.(1)求这个方程组的解;(2)当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1, y不小于1.115、已知：y1x 2 , y -x -1，如果 _3y? -1，且y1不小于y?,求正整数x的值.32Lx + v = 7 m6已知方程组丿的解满足x为非正数，y为负数.x - y =1 +3m(1) 求m的取值范围；(2) 化简：l m 3 1 1 m+ 2 I ;(3) 在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式 2mx+
12、 xv2m+ 1的解为x> 1.7、把若干个苹果分给几只猴子，若每只猴分 3个，则余8个；每只猴分5个，则最后的一只猴 分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？8、某旅游商品经销店欲购进 A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品 8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件.(1) 求A、B两种纪念品的进价分别为多少？(2) 若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商 店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利 不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？【思维拓展】1、如果关于x的不等式（2a b）x+a 5b>0的解为xv -7 ,求关于x的不等式ax>b的解集'5x +7y +9z =522、求方程组Qx +5y +7z =36的正整数解.3、已知X、y、z是非负实数，且满足x y z =30,3x yz = 0，求u=5x，4y2z的最大值和最 小值.