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1、4椭圆的焦点三角形一知识梳理泄义：椭圆(双曲线)上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形：有一个角为宜角的焦 点三角形叫焦点直角三角形。性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为左值。所以周长为左值2a+2c性质二已知椭圆方程为召+卜如，两焦点分别为皿,设焦点三角n形 PF、F2 中 ZFPF2= & 则 S血pF, = b1 tan 2证明：记IFF, l=rpIPF2 l=r2,由椭圆的第一左义得r1+r2=2/.（/-1+,-2）2 =4/在 FfF?中，由余弦泄理得：彳+F2卩2cos8 = (2c)2.配方得：（“ +r2）2 一2斤厂2 2/2Cos& = 4oI即
2、4“2 - +cos&） = 4c2.也2（6<2-c2）_2h21 + COS& 1 + COS&由任意三角形的而枳公式得:2sin-cosS 空 pf =fr sin 0 = b2 = b2 = b' tan .'2l + cos02cos2£2C°S 22 2性质三：已知椭圆方程为二+二=1（"0）,两焦点分别为片,只，设焦点三角 cr lr形PF】只中牛PF=E则cos&nr-l = l-2/并且点P在y轴上是张角最大。 cr证明：设PFPF2=l则在 fpf2中，由余弦定理得:COS& =斥+
3、厅一杠可=（人+广2）2_2卩2_4疋=4/-4c，2fr22斤入2rr22b2一1 = 1一2严当切仅当昨=r2,即点P在y轴是cos。取)2的最小值，而角&取得最大值。二典型例题例I如图把椭圆召+話“的长轴AB分赵分，过每个分点仁轴的垂线交椭圆的上+M=半部分于P , P2 ,均七个点，F是椭圆的一个焦点，则解：只需取椭圆的另一焦点与片，巴,均七个点分别连接，山结论1和对称性可知I 肘 I+IM+IM=(14x5) = 35例2若P是椭圆為+法1上的-点，片、E是其焦点，且=60% 1）求 FfF的面积2）求点P的坐标例3已知仟、化是椭圆二+二=1>/2>0）的两个焦点
4、，椭圆上一点P使 lrAFxPF2 =90°,求椭圆离心率£的取值范围。由焦点三角形性质二，cos90°>l-2c2.三练习题1.椭圆話+壬=1上一点P与椭圆两个焦点人、竹的连线互相垂直，则FfF?的面积为（）A. 20B. 22C. 28D. 242.椭圆+y2 = 1的左右焦点为许、F,4积为1时，西两的值为（）P是椭圆上一点，当FPF?的面A. 0B 1C. 3D. 63.椭圆+y2 = 1的左右焦点为许、尸2， P是椭圆上一点，当HF'PF?的面最大时，PRPF?的值为（）A. 0B. 2C. 4D. -24.已知椭圆p+y2=（«
5、>1）的两个焦点为仟、F2, F为椭圆上一点,且ZF,PF2=6O% WiJlPF, MPF2 lfi<J值为（）142A. 1B.C一D一3335.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，FP耳为焦点，点P在椭圆上, 直线P片与P佗倾斜角的差为90。，片PF的面积是20,离心率为芋， 求椭圆的标准方程.? 26匚人是椭圆C: + =啲焦点，在C上满足刃；丄P几的点P的个数为？A. 0B1C3D42 27椭圆y + - = l的焦点为仟、竹，点P为其上的动点，当牛PF?为钝角时，点P横 坐标的取值范围是°8已知椭圆的两个焦点为林、F"过&作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若斥P巧为等 腰三角形，则椭圆的离心率为（）4A ¥ B 牛1 C 2W D 72-.9已知SC的顶点B、C在椭圆片鬥上,顶点A是椭圆的-个焦点,且椭圆的另外-个 焦点在BC边上，则AABC的周长是.10设Fb F?是椭圆矣+猪1的左、右焦点，点M在椭圆上，若MF1F2是直25 16角三角形，则MFE的面积等于（）罟曽（C）普或16（D）罟或16变式设F】,F：是椭圆 + 1 = 1的左、右焦点，点M在椭圆上，若MFE164是直角三角形，则HFE的面积等于？4