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1、吴起高级中学2018-2019学年第一学期期末考试高二理科数学试卷（能力）考试范围：数列；解三角形；不等式；常用逻辑用语；空间向量与立体几何；圆锥曲线与方程考试时间：120分钟；注意事项：1 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 命题.且 I是真命题，则命题.是（）A.假命题 B. 真命题 C. 真命题或假命题D. 不确定【答案】B【解析】【分析】命题 且是真命题，则命题 p和命题q都为真命题.【详解】命题且:.是真命题，由复
2、合命题真值表可知，命题p和命题q都为真命题.故选：B【点睛】本题考查含有逻辑连接词的复合命题的真假判断，属于基础题2. 不等式：的解集为（ ）A. I ： .i B. I .,i C.D. -上；【答案】D【解析】分析：直接利用一元二次不等式的解法即可详解：解方程二：，得:,-不等式.、.，；的解集为'.故选：D.点睛：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.3. 已知等差数列an中，九=7 ：. = ，则公差d的值为（）A. B. 1 C.-1 D.2 2【答案】C【解析】【分析】由等差数列的通项公式进行计算即可得答案【详解】等差数列an中，讥=二-：匕则
3、七化! 卩 3=9+6d,解得d=-1故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题4. 命题“二.三.使得.”的否定是（）A.:吃匚都有：=:B. - ” i !'使得- - iC. - - 使得 D.' - 一都有；【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题，将存在量词变为全称量词，同时将结论进行否定，故命题“ L ，使得”的否定是，都有 ”，故选D.5. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】因为：不到蓬莱t不
4、成仙，.成仙t到蓬莱，“成仙”是“到蓬莱”的充分条件，选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法：直接判断“若则:”、“若:.则”的真假.并注意和图示相结合， 例如“ ？：. ” 为真，则，是:.的充分条件.2等价法：利用 ?:与非:.?非? 与非?非：.，？：.与非:.?非 的等价关系，对于条 件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3.集合法：若 ?、，则"是、的充分条件或是的必要条件；若.= ,则是的充要条件.6. 在正方体 m 匸厂丄中，IJ、冃分别为棱爲和棱的中点，则异面直线 AC与MN所成的角为（）A. 30 ° B. 45° C. 60&#
5、176; D. 90【答案】C【解析】连接 BG、DA, DC,/ M N分别为棱BC和棱CG的中点 MN/ CB./ CiB/ DA, MN/ DA,/ DAC为异面直线 AC与 MN所成的角 DAC为等边三角形， / DAC=60 故选C.点睛：本题主要考查异面直线所成的角求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量， 再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成 的角，再利用平面几何性质求解 7. 曲线一 与曲线| 的（）16 + 55 1Z5-k-X A.离心率相等 B.
6、 焦距相等 C.长轴长相等D.短轴长相等【答案】B【解析】【分析】分别求出两个曲线的长轴，短轴，离心率，焦距，即可得到结果.【详解】曲线为焦点在y轴上的椭圆，长轴 2a=10,短轴2b = 8,离心率e=.，焦距2c = 6.曲线'_ ' _ | -:为焦点在y轴上的椭圆，长轴 2a'= 2二,25k-16 _ 25 k_7短轴2b'= 2.上、，离心率e' = f，焦距2c'= 6.两个曲线的焦距相等.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，属于基础题8. 已知直线的方向向量为，平面 的法向量为，若I , ，则直线与平面-的位
7、置关系是（）A.垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D.直线在平面内或直线与平面平行【答案】D【解析】【分析】由-1 0，即可判断出直线l与平面a的位置关系.【详解It .1 -,I I丄', 直线I在平面a内或直线l与平面a平行.故选：D.【点睛】本题考查平面法向量的应用、直线与平面位置关系的判定，考查推理能力与计算能力.9. 已知双曲线C : =1（"0 , bM ）,右焦点F到渐近线的距离为2 , F到原点的b距离为，则双曲线,.的离心率为（）A. B.C.D.【答案】D【解析】由题意，双曲线< -. ：. ,右焦点 到渐近线的距离为',s' h
8、到原点的距离为，则双曲线焦点到渐近线的距离为：,又，代入得丁 - 2,，解得，故选D10. 在'；中，角所对的边分别为，且 U心，若sir?sii-,C-sir7-.，则九:的形状是（）A.等腰三角形B. 直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】结合:-:" - 1/-7，利用余弦定理可得.，可得.-：,由 . I.-.：,利正弦定 理可得.，代入一； - L-：-?，可得 ：，进而可得结论【详解】在 J匚"中，T，： =.- - L.： ,2be2bc 2T r， I： ，>；：.,代入：=.： 7.： , I ：，:;，解
9、得 b =：.的形状是等边三角形，故选 C.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11. 已知椭圆.- 上一点P与椭圆的左右焦点 w 构成一个三角形，且.、：-,则斗 FJ疋的面积为（）A. I - B. C. /.： D.【答案】B【解析】【分析】先利用椭圆定义求出| PF|+| P冋和| FiF2|的值，然后利用余弦定理求出| PF| P冋的值，再代入三角形的面积公式即可.【详解】由椭圆可知，a=2, b= 1 , c = :,T P点在椭圆上，Fi、F2为椭圆的左右焦点，I PF|+| PFF = 2a= 4, | F1F2I
10、= 2c = 2 :,在厶PFF2中，16-12帆f + p/ F/ (|PF卜 |pW|pFPF.|ff/ cos / FiPF= -加fpfJ北FpfJ4 I PF| PF2| =,又.在 FiPF；中，Lf,pf_ =，| PF| PE|sin / 只卩£=扌扌*£ = £12. 设=：_ ：二厂且'1 ,则（）A.八： B. - .，- IC. r： :D. 【答案】A【解析】【分析】x, y R且xy-( x+y)= 1,可得xy = 1+ (x+y).丄二，化简解出即可得.4【详解】 x, y 口且 xy -( x+y) = 1,则 xy= 1
11、+ (x+y)> 1+2 .，化为:- 2- 1 >0,解得I1+ ，即xyn；_上：,xy = 1+ (x+y) ：-,即I ：； !.： I解得故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.第II卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分。)13. 三角形一边长为14,它对的角为60°,另两边之比为 & 5，则此三角形面积为【答案】I-.25t2-64?-19612 m3tx$t 2【解析】 试题分析：设另外两边为-： ，由三角形余弦定理得1占 口' S = - x 8t x 5t x y = 4O&#
12、39;3考点：1余弦定理；2 三角形面积公式14. 若抛物线/二酝 上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为 【答案】2【解析】 抛物线I、上一点M到焦点的距离为3，则抛物线|、上一点M到准线'.-I得距离为3,则点M到y轴的距离为>1 - 2 .60°, M为PA中点，连接 DM贝U DM与平15. 已知正四棱锥P-ABCD勺侧棱与底面所成角为面PAC所成角的大小是 .【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为 a,由已知可得正四棱锥的高为 空a,建立如图所示空间直角坐标系,则平面 PAC的法向量为 n= （1,0,0） , D-, A0, a,0 ,
13、 P ：,Mj.；，二;所以cos f, n=，所以DM与平面PAC所成角为45°.jr x-2y+ 3 > 016. 设.：满足约束条件- ' - ，若目标函数：；:：<（其中门上）的最大值为3, 则的最小值为（）a bA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】试题分析：作出可行域，如图 述；内部（含边界），作直线I"： -卜、；-:，当直线向上平移时，121121 2a 2b增大，因此当过点时,=,:1£_2b2» Zb1 2 ：.-' （当且仅当时等号成立），因此的最小值为3故选C.考点：简单的线性规划，基
14、本不等式.【名师点睛】1 求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行 域，理解目标函数的意义.2.常见的目标函数有：(1) 截距型：形如 z = ax + by.求这类目标函数的最值常将函数z = ax + by转化为直线的斜截式：y = x +,通过求直线的截距的最值间接求出 z的最值.(2) 距离型：形如 z =( x a) 2+( y b) 2.(3) 斜率型：形如z=.注意：转化的等价性及几何意义.三、解答题(本大题共 6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17. 如图是抛物线形拱桥， 当水面在时，拱顶离水面 2米，水面宽4米，若水位下降1米
15、后， 则水面宽多少米？【解析】【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得 m得到抛物线方程,再把B ( X0,- 3)代入抛物线方程求得 xo进而得到答案.【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为X二-和心；匸：-)；由题意可得A (2, -2 ), B( xo, - 3),将点A代入抛物线，得 p=1,所以方程为：._,则当y=-3时，."l . ,x= I ,所以水面宽为，I，米。I.TZJA 4.-2Mm :<1际问题的能力.【点睛】本题主要考查抛物线的应用考查学生利用抛物线解决实1418. 各项均为正数的等比数列參一中，力(1)求：.一：的通
16、项公式;(2)记'为：前n项和.若；，二,求m.in 1【答案】(1)二， (2) 6【解析】q,即得an通项公式.(2 )禾9用等比数列【分析】(1 )禾9用等比数列通项公式列出方程，求出公比 前m项和公式求出，代入可求出m【详解】(1)设：的公比为q，由题设得.由已知得：.-i| ,解得q=0 (舍去)，q=-2 (舍)或q=2.故暮二.m(2)因为鸡二一.，所以：._ _ r, :,得：' - ：?.4，解得 m=6m 1-2【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，考查等比数列前n项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题.19. 已知命题P:关于的不等式一心 f的解集为
17、空集：；命题q :函数I：一昇十*1.没有零点，若命题 P且q为假命题，P或q为真命题，求实数的取值范围【答案】1 'I【解析】【分析】 先求命题p,q分别为真时a的取值范围，再分别求出当p真q假和当q真p假时a的取值范 围，求并集可得答案.【详解】对于命题 p： x2+ (a- 1) X+1W0的解集为空集= b2- 4ac=( a - 1) 2- 4v 0,解得-1 < a< 3对于命题q： f (x)= ax2+ax+1没有零点等价于方程 ax2+ax+1 = 0没有实数根 当a= 0时，方程无实根符合题意2 当 a0 时，= a - 4a< 0 解得 0<
18、; a< 4 0< a< 4由命题pA q为假命题，pV q为真命题可知，命题 p与命题q有且只有一个为真，(-1 < 3 < 3当p真q假时得:解得-1 < a< 0百-1或B工3当p假q真时得.解得3 a< 4所以a的取值范围为【点睛】本题借助考查复合命题的真假判断，考查函数零点问题及一元二次不等式问题，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题为真时参数的取值范围，属于基础题20. 在【-.：二中，角 |的对边分别为：，且m 二；(1)求角，的大小；(2 )求小讥的最大值.【答案】(I); (n):,.【解析】a si nCs i nA sin
19、C试题分析：(1)首先根据题意边化角 ，由正弦定理得 1'-,可得出c cosAsinC cosC角 C (2) 由 C=60 可 得 A+B=120 可 将匸- r - - - -然后根据A的范围即可求得最大值试题解析：a &imC(1)由 atanC=2csinA 得一二s-inA iinC由正弦定理得W：,cosC=. 二 C=.2tt33jn+ slnB = si nA + sln(y - A) = jsInA + "jrasA = gsinS +2n二:;:-.：-当A=时sinA+sinB的最大值为.点睛：在解三角形时，要注意正弦定理角化边或边画角的运用，
20、三角函数最值问题，首先要注意统一边变量，同时要注意所存在的范围，然后再求解最值21. 如图，多面体 WL：-中，是正方形，二仝是梯形，f工: 平面、： 且Ji分别为棱空 1的中点.AB(I)求证：平面J -平面 ;(n)求平面-和平面1所成锐二面角的余弦值.【答案】(I)见解析(n)【解析】试题分析：(1)通过证明 匹-平面rcr-：，所以平面 匕门 平面匚飞.(2)建立空间直角坐标系，求出平面和平面卜-的法向量，求二面角的余弦值。试题解析：(I)： D：,、：是正方形j- w分别为棱三：；的中点 uim出.DE 丄平面 ABCD.DE 丄 ABtAB 丄 AD , AD n DE = D叮：
21、亠平面山；卜"：丄"从而济.；一【,，是中点:1 1 ：'.2m门:川-iv .严丄平面： u又w平面*- 所以，平面：|和平面泪订.(n)由已知两两垂直，如图，建立空间直角坐标系；.：!,设辽.一 则 no 忘二，卫w,:-1 .I II 壮 *,匚；.：，寫：(：: 2：平面从-的一个法向量为.,(n CB = 0 s 2x = 0| |由,得： -.令，则二：C.2 1；(n ' CF = 0 r由(I)可知江丄平面L ':：r-.平面:IV N的一个法向量为, 2/.' 2：设平面和平面工所成锐二面角为，小匚匸 后则r.r.M - :
22、)- - - AI -=.LU所以，平面和平面9丁所成锐二面角的余弦值为1022. 已知椭圆C:-； .二上一动点到两焦点匚；盯JN.J；的距离之和为4,离心a b率为.(1) 求椭圆C的方程；(2) 试确定m取值范围，使得 C上存在不同的两点关于：？对称。【答案】(1)(2) 卜訴討)【解析】【分析】(1)根据已知条件由椭圆定义得2a=4,由离心率得 c值，再结合'，可得椭圆方程.(2)假设存在 A(Xi, yi), B(X2, y2)满足题意，因为A,B两点关于直线y = 4x+m对称, 所以.，再用点差法进行求解.4【详解】(1 )依题意：令动点为P,丨1所以a=2,又 ，所以C=1,:,a 2则椭圆方程为：_ I43(2)令存在两点 雉】叫),盹2浮2)关于I对称，且AB中点Q(V%),则*： ¥；，两式相减,I + = 1【4 t弓3xo1AB*A，4y。4.|xu = m沪初m2 9m2【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数取值范围的求法和点差法的应用