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1、实用文案二项式定理在数列求和中应用班级：数学1403姓名：王琪标准文档学号：14404337二项式定理在数列求和中的应用【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如an na(a 2,3,4)的前n项和的公式，并给出求更高次求和公式的一般方 法。【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一、项式定理和杨辉三角介绍：1,二项式定理：(a b)n C：anb° C；an 1b1 C2an 2b2 L C；an b LC：a°bn其中cn叫做二项式系数。2,杨辉三角:二项式定理的应用非常广泛，也很重要，主要表现在两个方面：一是它所揭 示的方法
2、富有启发性；二是它与高等数学联系紧密学习与掌握它，既有利于培 养学生联想和抽象思维的能力，也有利于其今后进一步的学习.二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数 学家贾宪所首创它记载于杨辉的详解九章算法（1261 ）之中.在阿拉伯数学 家卡西的著作算数之钥（1427 ）中也给出了一个二项式定理系数表，他所 用的计算方法与贾宪的完全相同在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出 版的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果.而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前 夕，牛顿就开始了二项式定
3、理的研究， 值得注意的是，牛顿只处理了二项式的自 乘幕是分数或负数的情况.牛顿第一次提到二项式定理是在1676年6月13日他写 给奥尔登堡转给莱布尼兹的一圭寸信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜 想和证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃 了他以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单 最直接的方法来使用随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用， 直到今天，二项式定理 已经是中学数学内容的重要部分，也是当今高考的难点之一.二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕的问题时常常考虑到的一个重要公式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积
4、分、概率论、初等数论等许多 数学分支中都可见其踪影二、二项式的性质二项式定理：理解二项式定理应注意：(1) 二项式中，a是第一项，b是第二项，顺序不能变；(2) 展开式中有n 1项(比指数多1);(3) C0,Cn丄C；是二项式系数；(4) a的指数降幕，b的指数是升幕，两者的指数的和等于 n；(5) 二项式展开时要注意各项的符号规律；(6) 注意二项式定理的可逆性.二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质:性质一 a b n的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即Cnm Cn m性质二二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，Cnm cnm1mC
5、n 1 .性质三 a b n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 2n，即Cn C L C：2n.（令a b 1即得，或用集合的子集个数的两 种计算方法结果相等来解释）性质四 a b n的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Cn c： L c；r L cn C3 L c：r 1 L 2n 1.（令a 1,b1 即得）.三、重要组合恒等式：(1),cn; Cnr1cCr 1 cr(n 1)!(n 1)!证明：(r 1)!( n r)! r!(n 1 r)!-(：1)!r (n r)C：(证毕)r!(n r)!r!(n r)!（2）， C；rrrr 1Cr 1 Cr
6、 2 L Cn 1Cn (n r)证明（数学归纳法）：当n r 1时上式左边=1右边是Cr 11，所以是正确的。假设上式对nk(kr）正确即CrC；1C；2 LCk 1 Ck 1那么就有C；crcr 1C；2 LC；1ckCk1Ck再有组合不等式（1 ）可C； C； 1 Crr 2 LC： 1C：C：故综上所述 对于所有大于r的正整数n (2 )式都是成立的。四、一元n次多项式根与系数的关系对于多项式xnaixn1a2xn 2Lanixan0若x1,x2, x3Lxn是它的n个根则有一下等式成立：(1)1a1X1X2 LXn(1)2a2X1X2X1X3LXn 1Xn(1)iaixk1xk2 L
7、 Xk (所有i个不同的根的乘积的和)(1)na1 a2 a3 L an五、应用举例为了方便应用，(2)式也可以写成Cr； C；1 C；2 L C；n1 。；：(口 ；) 当r=1，2，3，4的时候上式也就是：112 3 L n n(n 1)2!11 3 6 L 一 n(n2!114 10 L n(n3!115 15 L n(n4!六、归纳总结nn命题一：k 1m kmk 1k 11)3!n(n 1)(n1)(n1)(n2)1)(n2)( n 3)12)(n3)5?(n1)( n 2)(n 3)(n 4)证明:nmk 1k 12m.inm3nnm1n,m, mmmk123nk 1nn两式相减有
8、:k 1k4 mn 11k 1k 1n命题二：1 nk 1由乘法的定义可知：n个1相加的结果为nr命题二：ik nn1 1k12证明：由二项式定理知：k 1 2 k2 2k 1，从而：nnk 1 2k22k 1k 1k 1nnnn即：k12k22k1k 1k 1k 1k 1由此可得：nnnn2 kk 1 2k21k 1k 1k 1k 1“ 2 “n1 1nn n1n即：kn n 1k 12命题四：'.2 1 kn n 12n 1k1 6证明：由二项式定理可知:k 1 3 k3 3k23k 1，从而nn332k 1k3k3k 1k 1k 1n即：kk 11 3nnk3k 1k 1k2nn
9、3 k1k 1k 1由此可得：nnnnn3 k2k13k33k1k 1k 1k 1k 1k 1/ 3n n1n11 3n2n 1即：k2 一n nk i6n命题五： k31 2n 1n n 12证明：由二项式定理可知:k 1 4 k4 4k3 6k2 4k 1，从而k44k36k24kn即： kk 1k4k3n6 k2k 1k 1由此可得:k3k4k212n1 n6k3即:命题六:k4丄门 k 1302n1 3n3n证明：由二项式定理可知:55432k 1 k 5k 10k10k 5k 1，从而n5432k 5k 10k10k 5k 1实用文案2标准文档n即： k 1k 1n5k4k 1n10
10、 k3k 1n10 k2k 1n5 k4nk 1n5k5n10k3k 1k 1k 1k 12“ 5n n 1k11 1021n n1 2n 13n23n30由此可得:1nnn10k25 k1k1k 1k 11n n 110n n1 2n 15n62nF面我们讨论一般情况下数列的和，即：kmk 1由二项式定理可知:m 1 m 1m mCm 1 kCm 1km 1 m 1Cm 1kcm 飞 Cm1，从n而有 kk 1Cm1kmC；1kmm 1 m 1Cm 1 k1Cm 1k可得:mCmnm 1k 1nnm 1km 1 m 1Cm 1 kCm 1 kCm 1k 1k 1k 1nm 1An 11m 1
11、 m 1Cm 1 kCm 1 kCm1k 11km即:kmn,m 1m 1. m 1n 11 Cm 1 kk 1mCm 1Cm 1kcm至此，我们求出了连续自然数任意次方的和推论若多项式f(k)k(k 1)(k2)L (k a 1)他的根分别是k10, k21,k32,L ka a 1，则他的展开式中ka 1的系数是a1(0 1 2 3 L a 1)(a 1)a实用文案a?k?kgLka 1ka同理 f'(k)k(k1)(k 2)L (k a 2)展开式中ka 2的系数是：ai'(0 12 L a2)二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能导致无法 预测的结果二项式定理多出现在高考题中，其中比较突出的就是利用二项式的 通项公式解决特定项问题，除此之外，二项式定理在整除问题，余数问题，近似 值问题等都有出现，但又不是所有问题都可以用二项式定理去做， 因此要合理运 用二项式定理，掌握其中的技巧，以便于快速解决问题，提高利用二项式定理解 决实际问题的能力.标准文档