《连续型随机变量及其分布精.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续型随机变量及其分布精.doc（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、连续型随机变量及其分布知识要点1 .分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X取值不大于实数x的概率P(X <x)称为随机变量X的分布函数，记作F(x),即F (x) = P(X _ x), - ： : x ：2 .分布函数F(x)的性质(1) OEF(x)El;(2 ) F(x)是非减函数，即当 为：X2时，有F%)乞F(X2)；limF(x)"，iim F(x)(3) x .;lim F (x)二 F (a)F(x)是右连续函数，即ya'o.由已知随机变量 X的分布函数F(x)，可算得X落在任意区间(a,b内的概率P(a <X Mb) =F(b
2、) F(a);也可以求得P(X =a)二F(a)_F(a_O).3 联合分布函数二维随机变量(X，Y)的联合分布函数规定为随机变量X取值不大于x实数的概率，同时随机变量Y取值不大于实数 y的概率，并把联合分布函数记为F(x, y)，即F(x,y) =P(X 沁,丫 曲),-：:;x < 二，一二叮 y 叮'-4.(1)联合分布函数的性质O EF(X, y)叮；F(x，y)是变量x(固定y)或y (固定x)的非减函数；lim F(x, y) =o, lim F(x, y) =olimF(x,y) =0, limF(x,y) =1X 二x J：yy；F(x，y)是变量x(固定y)或y
3、 (固定x)的右连续函数；(5)5连续型随机变量及其概率密度设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负函数f (x)，使得对于任一实数x，有P(X1 ： X X2,y Y - y2)=F(X2,y2)-F(X2,yJ -F(X1,y2) F(X1,yJ .XF(x) - J-f (x)dx成立，则 称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量 X的概率密度.6 概率密度f(x)及连续型随机变量的性质(1)f (x) -0;；f(x)dx=1；(2)(3)连续型随机变量X的分布函数为 F (x)是连续函数，且在 F (x)的连续点处有F (x)二 f(x)；(4) 设X为连续型随
4、机变量，则对任意一个实数c, P(X二c) = ° ；(5) 设f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则有P(a ： X :：: b)二 P(a 乞 X :：: b)二 P(a 岂 X 乞 b) = P(a ： X 乞 b) bf(x)dx= a.7. 常用的连续型随机变量的分布:x : b;(1)均匀分布R(a,b)，它的概率密度为f (x) = b -a其余.I 0,其中,-：:a : b ；： ? ： ).E(),(2)指数分布它的概率密度为f(X)才e'x°,x °其余.其中,N(L,匚2(3)正态分布)，它的概率密度为1 -泮f(X)-2；-J
5、2 兀其中, 度为：，二0，当)=0,；-1时，称N(0,1)为标准正态分布，它的概率密21 f (x)e 2 , - ： ： ： x ：J2兀,标准正态分布的分布函数记作:：J(x)，即G(x)x 1 J2G(x)e 2dt当出xO时，二J(x)可查表得到；当x ：0时，JJ(x)可由下面性质得到(x) =1(x).设XNC；2)，则有xF(x)儿 f )b _paP(a ：X b)二讥 )：()CTCT .8. 二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)，如果存在一个二元非负函数f(x, y),使得对于任意一对实数(x, y)有x yF(x,y)
6、i 丿(s,t)dtds成立，则(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x, y)为二维连续型随机变量的联合概率密度.9. 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质f (x, y) _0,: x, y ：:；f(x, y)dxdy=1.设(X,Y)为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L ,有(2)(3)P(X,Y) L 今；0在f(x，y)的连续点处有2F (x, y)f (x, y)Xy;设(X,Y)为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有P(X,Y) D)二 f (x, y)dxdyD.10,设f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度，则x的边缘概率密度为fx(X)二.：f(x,
7、y)dy ；二维连续型随机变量 (X，丫)的边缘概率密度Y的边缘概率密度为fY(y)二f(x, y)dx1 1.二维连续型随机变量 (X，Y)的条件概率密度设f (x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度，则x在给定丫二y的条件下的条件概率密度为fxiY(x| y)二 f (x, y)fY(y)-:：X :：:其中 fY(y)0 ；Y在给定X =x的条件下的条件概率密度为f(x,y)fx(X)-:y :-其中 fx(X)0 .1 2 .常用的二维连续型随机变量(1)均匀分布如果(X,Y)在二维平面上某个区域G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(x v) E G; f (x, y)二G的
8、面积'I 0,(2)二维正态分布NC2W,')如果(X，Y)的联合概率密度其余.1(x - Ai)(y - >2)+ (x - 出)|2 孑Jf(x,y)二2 i2exp©2、hP$2(1P2) af -2P则称(X,Y)服从二维正态分布，并记为(X,Y)N(巴，巴卫 12,<r；,P).即二维正如果(X,Y)N(巴，巴,时心，卩)，则XN(±“12) , YN(巴，站), 态分布的边缘分布还是正态分布.1 3 .随机变量的相互独立性 如果X与Y的联合分布函数等于 X，Y的边缘分布函数之积，即F(x,y) =Fx(x)FY(y),对一切 一：:：
9、:x, y ：:,那么，称随机变量 X与Y相互独立. 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为f(x, y)二 fx(x)fY(y),在一切连续点上.2 2如果(X,Y) N(叫，)2,F，二2,').那么，X与Y相互独立的充分必要条件疋 多维随机变量的相互独立性可类似定义.即多维随机变量的联合分布函数等于每个随 机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论.1 4.随机变量函数的分布(1) 一维随机变量函数的概率密度 设连续型随机变量 X的概率密度为fx(X)，则随机变量Y = g(X)的分布函数为FY(y)=P(Y Ey)=P(g
10、(XHy)二 P(X ly)二 fx(x)dx'y其中，X，»与g(X)乞y是相等的随机事件，而'y二x|g(x) ' y是实数轴上的某个集合随机变量 丫的概率密度fY(y)可由下式得到：fY(y) =Fy(y) 连续型随机变量函数有下面两条性质：(i) 设连续型随机变量的概率密度为fx(x), 丫二g(x)是单调函数，且具有一阶连续导数，x=h(y)是y=g(x)的反函数，贝y 丫 =g(X)的概率密度为fY(y)= f(h(y) |h'(y)| (ii) 设 X N(P®2)，则当 k0 时，有 Y = kX+bN(k4+b,k%2),特
11、别当1.1x - 1k =丄 b =N (0 1)L时有 丫二kX +b N(0,1) a(,)(2)二维随机变量函数的概率密度设二维连续型随机变量(x，Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量函数Z =g(X,Y)的分布函数为Fz(z)二 P(Z 乞 z)二 P(g(X,Y)乞 z)二 P(X ,Y) Dz ). f (x, y)dxdyDZ其中，(X,Y)Dz是与g(X,Y)空z等价的随机事件，而Dz =( x, y): g(x, y) < z是 二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集).随机变量函数Z=g(x,Y)的概率密度为fz =Fz (z).当X与Y相互独
12、立，且X的概率密度为fx(x) ,Y的概率密度为fY(y)时，随机变量 函数Z =X Y的概率密度为fz :fx(X)fY(Z- 丫N(7 2£2 打).dX-bo-oO或fz 工匕 fx (x) fY(Z - x)dx .以上两个公式也称为卷积公式.当X与Y相互独立，且X的分布函数为Fx (x) ,Y的分布函数为FY(y)时，随机变量 函数Z =max(X,Y)的分布函数为Fz(z) = Fx (z)Fy(z)随机变量函数 W =maX(X,Y)的分布函数为FFv(w) =1-(1-Fx(w)(1-Fy(w).通过求导，可以求得 Z,W的概率密度.特别有下面的结论：2 2设XN(ifi) ,YN(2&2),且X与Y相互独立，则