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1、习题8-1、沿一平面简谐波的波线上,有相距2.0m的两质点A与B, B点振动相位比A点洛后一，振动周期为2.0s，求波长与波速。6解:根据题意，对于A、B两点，21, x 2m6而相位与波长之间又满足这样的关系：21 X2 Xi 2代入数据，可得:波长入=24m。又T=2s,所以波速u=入/T=12m/s8-2.一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点 O为X1处P点的振动式为y Acos( t )，波速为u，求:(1) 平面波的波动式；假设波沿x轴负向传播，波动式又如何？解:(1)根据题意,距坐标原点O为乂1处P点就是坐标原点的振动状态传过来 的，其O点振动状态传到p点需用 t 互，也就就是说t时
2、刻p处质点的振动状ux态重复t -时刻O处质点的振动状态。换而言之，0处质点的振动状态相当于utxru时刻 p处质点的振动状态，那么0点的振动方程为y Acosx1(t -)u波动方程为:yAcos (t 'u?Acos (t口为)动状态，那么0点的振动方程为:y A cosx1、t -u波动方程为：y Acos t 虫-u uAcost 3u假设波沿x轴负向传播，0处质点的振动状态相当于t 冬 时刻p处质点的振u8-3、一平面简谐波在空间传播,如下图，A点的振动规律为y Acos(2 t),试写出：(1) 该平面简谐波的表达式；(2) B点的振动表达式(B点位于A点右方d处)。解:(
3、1)仿照上题的思路，根据题意，A点的振动规 律为y Acos(2 t ),它的振动就是 0点传过来的，所以0点的振动方程为:y ACOS2 ( t -) ul x那么该平面简谐波的表达式为：y A COS2 ( t )u u(2) B点的振动表达式可直接将坐标X d l，代入波动方程：IIy Acos2 ( t 一 ) Acos2 ( t )u uu也可以根据B点的振动经过时间传给A点的思路来做。u8-4、一沿X正方向传播的平面余弦波，tT 为 2s、(1) 写出0点的振动表达式；1s时的波形如下图，且周期(2) 写出该波的波动表达式；(3) 写出A点的振动表达式；(4) 写出A点离0点的距离
4、。解：由图可知 A=0、1m,入=0、4m,由题知 T= 2s, w =2 n /T= n ,而 u=入 /T=0、2m/s。 波动方程为:y=0、1cos : n (t-x/0 、2)+o: m关键在于确定 O点的初始相位。(1) 由上式可知：0点的相位也可写成：$ =n t+o1由图形可知：t -s时y o=-A/2,v ov 0, 此时的0 =2n/3,32 1将此条件代入，所以 厶 丄 0 所以03 33O点的振动表达式 y=0、1cos n t+ n /3 m 波动方程为:y=0、1cos n (t-x/0、2)+ n /3 : m(3) A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知
5、：A点的相位也可写成：$ = n t+A01由图形可知：t S时yo=0,v o>0, 此时的$ =- n/2,31A0 所以A0将此条件代入,所以：一丄23A点的振动表达式 y=0、1cos n t-5 n /6 : m(4) 将A点的坐标代入波动方程可得到：xA,可得到 A的振动方程，与结果相同，所以:=0、 1cos n t-5 n /6 0.233m308-5、平面简谐波以速度 u0.8m/s沿x轴负方向传播。原点的振动曲线如下图。试写出：(1) 原点的振动表达式；(2) 波动表达式；(3) 同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解:由图可知A=0、5cm,原点处的振动方程为:y
6、=Acos( wy=0、1cos n (t-x/0、2)+ n /3 f t=Os 时 y=A/2 v>0可知其相位为0- t=1s 时 y=0v<0可知其相位为02=2代入振动方程，Cd+0 =2可得:3 = T=263 =12/55y=0、5cos( t)cm63沿 x 轴 负 方 向48 m25c x 25 2 -243.27rad式:y=0.5cos5(t+ u)-"3 =0.5cos5 (t+ 5 x)- a cm 根据的T=12/5, u 0.8m/s,可知:那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差8-6、 一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进,波的平
7、均强度为39.0 10 J/(s m)濒率为300Hz ,波速为300m/s。问波中的平均能量密度与最大能量密度各就是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解:(1) / I= wu I-3-5-3二 w =9、0X 10 / 300=3 X 10 J m u-4-3Wnax=2w=0、6 X 10 J m1212 u W= V w丄 d2 w丄 d2-4 4-52-7=3X 10 X 1 n /4 X (0、14) X 300/300=4、62 X 10 J348-7、一弹性波在媒质中传播的速度u 10 m/s，振幅A 1.0 10 m,频率103Hz。假设该媒质的密度为 800kg
8、/m3,求：(1) 该波的平均能流密度；(2) 1分钟内垂直通过面积 S 4.0 10 4m2的总能量。解：3 =2 n 丫 =2 n 103I u A2 21 103 800 (10 4)(2103)2(1) 2 21.58 105J/(m2?s)(2)1分钟内垂直通过面积 S 4.0 10 4m2的总能量543W=ISt 1.58 1054 10 4603.79 103J8-8、S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为2 d 5 /4,S2质点的振动比S1超前.2、设S的振动方程为ye Acos t,且媒质无吸收，(1)写出S1与S2之间的合成波动方程；分别写出S1与S
9、2左、右侧的合成波动方程。2202)由题意:$ 20- $ 10= 一2设它们之间的这一点坐标为X,y Acos( t 10X)解：(1) y1 Acos( t 10 rjy2Acos( ty Acos t 102510/ 一x) Acos(24相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。合成波为：y yiy22Acos2xcos2 tT2在Si左侧的点距离Si为x:y Acos( t 102-x)丫2Acos t10 22(5x)4Acos( t 102x合成波为：yy1y22Acos2丄兰T在S2右侧的点距离S为x:y1Acos( t2 x)10丫2Acos t10 72(x -)4A
10、cos( t102x两列波正好就是完全反相的状态,所以合成之后为0。18-9、设$与S2为两个相干波源，相距一波长 S比S2的位相超前一。右两42波在在$、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问$、S2连线上在$外解：由题意：0 1-° 2=,2r在S1左侧的点：AS 1=r 1, AS2=2,AS? ° = 2r211 2c 1/4222所以 A=A-A2=0,l=0;S在S2左侧的点：AS 1=r 1, AS2=2,r侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何?i 21/4所以 A=A+A2=2A,I=4I o；8-10、测定气体中声速的孔脱Kundt法如
11、下：一细棒的中部夹住，一端有盘D 伸入玻璃管，如下图。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞 P,使棒纵向振动，移动 活塞位置直至软木屑形成波节与波腹图案。假设棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离 d，可求得管内气体中的声速u。试证:u 2 d 。证明：根据驻波的定义，相邻两波节腹间距:2，再根据条件:量度相邻波节间的平均距离d，所以:d那么： 2d2所以波速u2 d8-11、图中所示为声音干预仪，用以演示声波的干预。 S为 声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化 但路径SAD就是固定的。干预仪内有空气 ，且知声音强度在 B 的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位
12、置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：1声源发出的声波频率；2抵达探测器的两波的振幅之比。解:根据驻波的定义，相邻两波节腹间距：X 一2相邻波节与波腹的间距：x 7可得:x 6.6cm声音的速度在空气中约为340m/s,所以:340 25151( hz)。6.6 10根据强度就是振幅的平方的关系：声音强度在B的第一位置时为极小值 100单位, 在第二位置有极大值 900单位，所以振幅的相对大小为 10与30单位。极小值的原 因就是两个振幅相减(Ai-A2=10 ),极大值的原因就是两个振幅相加 (A 1+A2=30 )。那么 Ai:A2=2:1 。8-12、绳索上的波以波速 v
13、 25m/s传播，假设绳的两端固定，相距2m,在绳上 形成驻波，且除端点外其间有 3个波节。设驻波振幅为 0.1m,t 0时绳上各点均 经过平衡位置。试写出：(1) 驻波的表示式；(2) 形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。解:根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：X ,如果绳的两端固定，那么两个端点上都就是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，x 42 ,所以波长 1m , v 25m/s,所以2 U 50 ( hz)。又驻波振幅为 0.1m, t 0时绳上各点均经过平衡位置,说明它们的初始相位为2'关于时间局部的余旋函数应为cos(50 t )
14、所以驻波方程为：y 0.1cos2xcos(50由合成波的形式为：yy1y22 x2Acos cos2可推出合成该驻波的两列波的波动方程为y10.05cos(50 t 2 x)y20.05cos(50 t 2 x )28-13、 弦线上的驻波波动方程为 ：y Acos( x )cos t、 设弦线的2质量线密度为、(1)分别指出振动势能与动能总就是为零的各点位置。分别计算0半个波段内的振动势能、动能与总能量。22解：(1)振动势能与动能总就是为零的各点位置就是cos( x )0的地2方。2即： x (2k 1)2 2k 可得:x -(k=0,1, 2， 3)2(2)振动势能写成：dWp2-(d
15、y)21 dVA2 2 cos2 ( x)cos2 t2 20i半个波段内的振动势能Wp122 k(dy) 022 dxA22 cos2 ( j)cos2 t2A2 2 cos2 tdW-1dmv228-dVA 2 cos2 ( x)sin2 (t -22u0 I半个波段内的振动动能1 2WK°2(dmv)20dxA sin (2x) sin t22 2 2Asin t8所以动能与势能之与为WWkWp 8A228-14、试计算：一波源振动的频率为2040Hz,以速度Vs向墙壁接近如下图,观察者在 A点听得拍音的频率为.,.3Hz,求波源移动的速度 Vs,设声速为340m/s。解:根据
16、观察者不动，波源运动，即：uS0,uR0,观察者认为接受到的波数变了 ：u0u Us其中u=340,2043, 0 2040。分别代入,可得:uS 0.5m/ s88-15、光在水中的速率为2.25 10 m/s 约等于真空中光速的 3/4、在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射称切连科夫Cherenkov辐射，其波前形成顶角116的马赫锥,求电子的速率解：sin auVsu82.25 1082.65 10 ms. a sin2.116 sin2思考题8-1、下列图表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t0时刻的波形图，那么图(b)表示的就是：(a)质点m的振动曲线(b)质点n的振动曲线(c)质点
17、p的振动曲线(d)质点q的振动曲线答:图(b)在t=0时刻的相位为，所以对应的就是质点n的振动曲线 选择bo28-2、从能量的角度讨论振动与波动的联系与区别。、答:(1)在波动的传播过程中，任意时刻的动能与势能不仅大小相等而且相位相同，同时到达最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之与为恒量。(2)在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前 进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量就是守恒的。8-3、设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波 的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？略8-4、入射波波形如下图，假设固定点0处将被全部反射。(1) 试画出该时刻反射波的波形；(2) 试画该时刻驻波的波形；画出经很短时间间隔t(<<T周期)时的驻波波形。