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1、微积分项目实施团队：2012 10 17一、成员及分工、项目展示1、问题一 一年中哪一天白天最“长”5月31日6月30日4: 174 : 1619: 3819: 5030天的日出日落时间如下:据资料记载，某地某年间隔5月1日日出4 : 51日落19 : 04请问，这一年中哪一天白天最“长”？由3组数据，可以二次函数为工具，求出日出日落的变化规律。令月份为自变量x,白天的总时间为因变量y则有以下方程组: 25a+5b+c=853 a=-27.5 36a+6b+c=921 解得： b=370.5 49a+7b+c=934 c=-312即 y=-27.5xA2+370.5x-312所以当X=6.73
2、6时y有最大值即换算为月份日期为6月22号，此时为一年中白天最长的一天。2、问题三罐头外壳的设计体积相同的圆柱形罐头可做成尺寸不同的形状。请从成本或视觉的角度来探讨罐头外壳的设计问题。设罐头的底面半径为r,高为h.,体积为V.贝U V= n rA2h , S=2 n rA2+2 n rh 将 r= V (v/ n h)代入式 S=2v/h+2 V n vh令 ds/dh=-2v/hA2 + V（n v/h）=0则当h=? （4v/ n, r=?（v/由）时，罐头的表面积最小，最节约成本3、微积分发展史背景微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分和微分的互逆 关系。最后一步
3、是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追 朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得 圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想 的深刻体现。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是 16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法
4、基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。南宋大数学家秦九韶于 1274年撰写了划时代巨著数书九章十八卷，创举世闻名的 “大衍求一术”一一增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差
5、级数求和）、“招差术”（高次差 内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数 学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出 成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了 17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中 国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。微积分的诞生微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过 来广泛影
6、响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生和发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。 这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有“一 尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元 263年，刘徽为九间算术作注时提出了 “割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在抛物线求 积法中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。微分是联系到对曲线作切线的问题
7、和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法 的第一个真正值得注意的先驱工作起源于1629年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。 前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶各自独立创立了微积分。1605年5月20日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于1665 - 1676年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前
8、，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白 尼创立日心说，伽利略出版力学对话，开普勒发现行星运动规律 -航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。牛顿于1642年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一 位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。如果说牛顿从力学导致“流数术”，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于1684年的都市期刊上，这比牛顿公开发表微积分著作早3年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。莱布尼
9、茨1646年生于莱比锡。15岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科 学，不到20岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。莱布尼茨对数学有超人的直觉，并且对于设计符号很第三。他的微积分符号“dx"和”已被证明是很发用的。牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作，经过各自独立的研究，掌握了微分法和积分法， 并洞悉了二者之间的联系。因而将他们两人并列为微积分的创始人是完全正确的，尽管牛顿的研究比莱布尼茨早 10年，但论文的发表要晚 3年，由于彼此都是独立发现的，曾经长 期争论谁是最早的发明者就毫无意义。牛顿和莱尼茨的晚年就是在这场不幸的争论中度过的。微积分的思想从微积分成为一门学
10、科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287前212）的著作圆 的测量和论球和圆柱中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说， 早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的庄子一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则和圆合体而无所失矣”。他在1615年测量酒桶体积的新科学一书中，就把曲线看成边数无限
11、增大的直线形。圆 的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的连续不可分几何，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成 的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。分析几何为微积分的创立奠定了基础由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术 的发展开创了美好前景。到了 17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研 究工作。笛卡尔1637年发表了科学中的正确运用理性和追求真理的方法论（简称方法论），从而确立了分析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数
12、变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数和未知数之间的关系，表示变量和变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程和曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何和代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立着的“数”和“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。牛顿的“流数术”数学史的另一次飞跃就是研究“形”的变化。17世纪生产力的发
13、展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了 17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物 理学家艾萨克？牛顿（16421727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题， 创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术” 的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是求曲边形面积、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷极数。这些概念是力不概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖
14、于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不 仅这样，他还把几何图形一一线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流 量。牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。(1) 已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。(2) 已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛 顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。(3) “流数术”使用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲 线长度及计算曲边形面积等。牛顿已完全清楚上述(1 )和(2)两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和 积分学之间的联系。牛顿
15、在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微 积分的标志。莱布尼茨使微积分更加简洁和准确而德国数学家莱布尼茨(G.W. Leib niz 16461716 )则是从几何方面独立发现了微积分， 在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。 但是他们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径和方法和牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的使用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛
16、顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度一一阿拉伯数码促进了算术和代数发展一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。留给后人的思考从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早10年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。牛顿系统论述“流数术”的重要著作流数术和无穷极数是1671年写成的，但因1676年伦敦大火殃及印刷厂，致使该
17、书1736年才发表，这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪。另外也有书中记载：牛顿于1687年7月，用拉丁文发表了他的巨著自然哲学的数学原理，在此文中提出了微积分的思想。他用“0”表示无限小增量，求出瞬时变化率，后来他把变量X称为流量，X的瞬时变化率称为流数， 整个微积分学称为“流数学”， 事实上，他们二人是各自独立地建立了微积分。最后还应当指出的是， 牛顿的“流数术”，在概念上是不够清晰的， 理论上也不够严密， 在运算步骤中具有神秘的色彩，还没有形成无穷小及极限概念。牛顿和莱布尼茨的特殊功绩 在于，他们站在更高的角度，分析和综合了前人的工作，将前人解决各种具体问题的特殊技 巧，统一为两类普通的算法一
18、一微分和积分，并发现了微分和积分互为逆运算，建立了所谓，从而完成了微积分发明中最关键的的微积分基本定理（现今称为牛顿 莱布尼茨公式） 一步，并为其深入发展和广泛使用铺平了道路。由于受当时历史条件的限制，牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念比较模糊，因此引发了长期关于微积分的逻辑基础的争论和探讨。经过18、19世纪一大批数学家的努力， 特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以极限的观点定义了微积分的基本概念，并简洁而严格地证明了微积分基本定理即牛顿一莱布尼茨 公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。因此可以看出，科学家对待科学谨慎和刻苦的精神值得我们学习的。三、结语通过这次项目执行的活动， 我们初步了解了微积分的发展史，同时对微积分的使用有了初步的体验。更重要的是，对微积分有了更高涨的学习热情。因此可以说，这是一次成功的合作活动！