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1、快件处理问题可以直接看作一个供需关系的模型，待处理的快件为需求， 机器能处理的快件为供给， 在满足一定工时和不连续工作的条件下使供求关系平衡。 以下对此供求模型进 行分析并对其进行规划。一、问题一分析1.1、机器工作能力分析根据题中所给信息， 每台机器每小时的工作量都不相同， 但都在 400 上下左右浮动， 下 图给出每台机器的各个小时的工作量的均值和方差。Table1.1 机器工作量均值机器编号工作量均值方差1398.7524.72398.7539.33400.87551.54403.1254.695397.87522.16401.12574.67398.37517.48400.512940
2、037.710399.62517.611399.1256.4112401.518即在数据波动不是很大的情况下，我们假设机器的工作量均值为机器每小时的工作量，由于 12 台机器是同一款机器，我们对 12 台机器工作量进行均值得到 399.96 约等于 400。 为计算方便我们对每台机器的每小时工作量取400。1.2、时间内需求关系分析根据题中所给条件， 快件在处理是不是实时的， 而是一个时间段内的需求必须由另一个 时间段内供给。1) 12：00 以前到达的快件必须在 14：00 以前处理完毕2) 16：00 以前到达的快件必须在 18：00 以前处理完毕3) 22： 00 以前到达的快件必须在第
3、二天零点以前处理完毕对于题中时间要求固定几点前满足需求这种非定时性的需求关系，前后几个时间段是相互影响的， 普通方法不易解决。 为此，我们引入三个不定时变量t 描述每个时间段的结束点。为下文叙述方便，在此引入符号定义。Table1.2 符号定义符号说明Tk1第 k 天的 12 ：00 前快件的处理完时间Tk2第 k 天的 16 ：00 前快件的处理完时间Tk3第 k 天的 22 ：00 前快件的处理完时间Figure1.1 时间供求关系示意图我们对上述时间供需关系进行分析后得到T 的约束关系如下：(k 1) 24 12 Tk1 14 (k 1) 24Tk1 Tk2 18 (k 1) 24Tk2
4、 Tk3 24 (k 1) 241.3、机器数量分析由于快件数量过多， 我们想知道在现有机器数量下能否满足需求。 如果不能满足需求我 们在下一步对具体需要多少进行求解。对第一天的第一段需求和第一段供给进行分析，首先第一段需求是从0： 00-12： 00 总快件数量经过计算后为 63925，第一段供给按照所有机器全部工作并且工作到14：00满 13(不能连续工作 8 小时)个小时，即 12*13*400=62400<63925 所以现有条件下一定不能满 足快件需求。按照以上计算方式，再不考虑前后关系，机器运算时间全满的条件下，我们近 似计算了各个时间段最少需要的机器数量。Table 1.3
5、时间段快件数量最少需要的机器数量0：00-12： 00639251312：00-16：00213141416：00-22：00319801422： 00-第二天 12：00746921512：00-16：00213551416：00-22：00323651422： 00-第三天 12：00748001512：00-16：00215371416：00-22：003240314由以上分析可知在每个时间段工作满的情况下， 即不考虑前一个时间段机器连续工作对 后一个时间段的影响，所需最少的机器数量在 15 个以上，那么我们就为机器数量设置了一 个下界 15，在考虑前后时间段的机器连续工作情况下机器数量
6、一定会大于15，对于具体上界而言，就是每个时间段每台机器都要休息一小时。对此我们根据上表同样的算法求解最多需要的机器数量为18，则可以通过分析确定总机器数量一定在 15-18 之间。、问题一建模 为下文叙述方便，在此我们进行符号定义。Table1.4 符号定义符号说明Nj第 j 个小时的快件数量Si第 i 台机器的每小时工作量Cij第 i 台机器是否在 j 小时工作X机器总数量2.1、目标函数的确定根据题中描述，问题一的目标函数很容易确定，即满足总的使用机器数量最小minX2.2、供需约束XTk124k 12（1） Tk1时间段的供需 :Cij SiN ji 1 j 24k 24 j 24k
7、24XTk224k 8（2）Tk2时间段的供需: Cij Si N ji 1 j 24k 24 Tk1j 24k 12XTk324k 2（3）Tk3时间段的供需:Cij SiN ji 1 j 24k 24 Tk2j 24k 8其中 Cij0，第 i台机器不在第 j小时工作ij1，第 i台机器在第 j个小时工作2.3、不连续工作约束为叙述方便我们在这里引入 Mij 新变量表示第 i 台机器在第 j 个工时的累计工作时间。对此我们有如下约束。M ij Cij , j 1,i 1,2,3,.,KM ij M ij 1 Cij , j 2,i 1,2,3,K但对于 Mij=8 时，我们必须让这台机器下
8、一个小时休息即 Mij 的约束条件修改为： M ij Mij 1 Cij CijM ij Cij 8最后经过求解得最少需要 16 台机器。三、问题二的分析问题二要求给出确切的方案，是购买第一种机器还是第二种机器。如果全部购买设备 1则根据第一问的求解结果来看， 需要增加 4台机器。 如果全部购买第二种机器的话将以上模 型约束条件进行修改。Table1.5 符号定义符号说明Nj第 j 个小时的快件数量Si第 i 台第一类机器的每小时工作量Cij第 i 台第一类机器是否在 j 小时工作Sei第 i 台第二类机器的每小时工作量Ceij第 i 台第二类机器是否在 j 小时工作A购入第二类机器数量3.1
9、、目标函数的确定 根据题中描述，问题二的目标函数很容易确定，即满足总的购买机器数量最小minA3.2、供需约束由于购入第二类机器后， 现有机器种类既有第一类也有第二类， 则每小时总工作量等于第一类机器和第二类机器的总工作量之和12 Tk1A Tk124k 12（1）Tk1时间段的供需 :Cij SiCeij SeiN ji 1 j 24k 24 i 1 j 24k 24 j 24k 2412Tk2ATk224k 8（2）Tk2时间段的供需 :Cij SiCij SeiN ji 1 j 24k 24 Tk1 i 1 j 24k 24 Tk1j 24k 1212Tk3ATk324k 2（3）Tk3
10、时间段的供需 :Cij SiCij SeiN ji 1 j 24k 24 Tk2i 1 j 24k 24 Tk2j 24k 80，第二类第 i台机器不在第 j 小时工作Ceij1，第二类第 i台机器在第 j 个小时工作3.3、不连续工作约束为叙述方便我们在这里引入 Meij 新变量表示第二类第 i台机器在第 j 个工时的累计工作时间。对此我们有如下约束。M eij Ceij , j 1,i 1,2,3,., AM eij M eij 1 Cij , j 2,i 1,2,3,A但对于 Meij=12 时，我们必须让这台机器下一个小时休息即 Mij 的约束条件修改为：Meij Meij 1 Cei
11、j Ceij Meij Ceij 12基于上述更改后的模型，对其进行求解得到A=2。假设第一类机器的价格为 1，则第二类的价格为 1.5，更经济的方案是选择购买两台第二类机器。四、问题三的分析问题三中考虑了加急快件的问题， 对于加急快件， 必须在到达时刻之后的整点时刻处理完毕，这就要求将原来的快件分为两组 ，一组是非加急，一组是加急。于是，时间约束从单个的时间分为不加急时间和加急时间。对于加急时间，供给直接对于需求。Figure1.2 加急时间供求关系图五、问题三的建模5.1、对购买第一类机器的建模如果只购买第一类机器的话， 那么直接计算第一类机器的所需数量即可， 所以我们在第使模型可以计算的
12、有加急快件的情况下的第一类一问的模型的基础上添加了加急时间约束，机器的数量。Table1.6 符号定义符号说明Nqj第 j 个小时的加急快件数量Nsj第 j 个小时的快件数量Si第 i 台机器的每小时工作量Cqij第 i 台机器是否在 j 小时处理快件Csij第 i 台机器是否在 j 小时处理加急快件X机器总数量5.1.1、目标函数的确定根据题中描述， 问题三的购入第一类模型的目标函数很容易确定， 即满足总的使用机器 数量最小minX5.1.2、供需约束由于一小时的加急快件数量远小于一台机器一小时的工作量， 于是假设一台机器可以在第 j 个工时处理加急快件的同时处理快件。XTk1XTk1Tk1
13、24k 12(1)Tk1时间段的快件供需:CsijSiCqij SiNq jNs ji1j 24k 24i1j 24k 24j 24k 24j 24k 24XTk2XTk2Tk224k 82) Tk2时间段的快件供需:CsijSiCqij SiNqijNsji 1 j 24k 24 Tk1i 1 j 24k 24 Tk1j 24k 24 Tk1j 24k 12XTk3XTk3Tk324k 23) Tk3时间段的快件供需:CsijSiCqij SiNqijNsji 1 j 24k 24 Tk 2i 1 j 24k 24 Tk2j 24k 24 Tk2j 24k 8X(4)加急快件供需 : Cqi
14、j Si Nqj, j 1,2,3,4, ,72 i15.1.3、不连续工作约束M ij M ij 1 (Csij Cqij ) (Csij Cqij )M ij Csij Cqij 8为了防止重复计算：Csij Cqij 1基于以上模型进行求解。5.2、对购买第二类机器进行建模Table1.7 符号定义符号说明Nqj第 j 个小时的加急快件数量Nsj第 j 个小时的快件数量Csij第 i 台第一类机器是否在 j 小时处理普通快件Cseij第 i 台第二类机器是否在 j 小时处理加普通件Si第 i 台第一类机器的每小时工作量Cqij第 i 台第一类机器是否在 j 小时处理加急快件Sei第 i
15、台第二类机器的每小时工作量Cqeij第 i 台第二类机器是否在 j 小时处理加急快件A购入第二类机器数量3.1、目标函数的确定根据题中描述， 问题三的购入第二类机器的模型目标函数很容易确定， 即满足总的购买 机器数量最小minA3.2、供需约束由于购入第二类机器后， 现有机器种类既有第一类也有第二类， 则每小时总工作量等于第一类机器和第二类机器的总工作量之和X Tk1X Tk1Tk124k 121)Tk1:(CsijSiCeijSei)(CqijSiCqeijSei )Nqj Nsji 1 j 24k 24 i 1 j 24k 24 j 24k 24 j 24k 24XTk 2XTk2Tk22
16、4k 82)T2:(CsijSiCeijSei)(CqijSiCqeijSei )NqjNsji 1 j 24k 24 Tk1i 1 j 24k 24 Tk1 j 24k 12 Tk1 j 24k 12 Tk1XTk3XTk3Tk324k 23)Tk3 :(CsijSiCeijSei )(CqijSiCqeijSei)NqjNsji 1 j 24k 24 Tk2i 1 j 24k 24 Tk2j 24k 24 Tk2 j 24k 8 Tk23.3、不连续工作约束M ij M ij 1 ( Csij Cqij ) (Csij Cqij )M ij Csij Cqij 8Meij Meij 1 ( Cseij Cqeij ) (Cseij Cqeij )Meij Cseij Cqeij 12为了防止重复计算：Csij Cqij1CseijCsqij 1