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1、学习必备欢迎下载广东商学院华商学院试题题型课程名称概率论（ A 卷）课程代码课程班号（本科）共3页一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分，错选、多选或未选均无分）二、填空题 (本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分，错填、不填均无分)三、计算题 (本大题共3 小题，共40 分 )四、综合题（本大题共2 小题，共20 分）课程名称概率论（B 卷）课程代码课程班号（本科）共4页一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分，错选、多选或未选均无分）二、填空题 (本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分，错填、不填均无分)三、计算题 (本大题共
2、3 小题，每小题 10 分，共 30 分 ) 四、综合题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）概率论期末复习知识点第一章1. 事件的表示2. 事件的关系与运算3. 概率性质及其应用4. 古典概型5. 条件概率6. 全概率公式7. 贝叶斯公式8. 事件的独立性重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式第二章1. 离散型随机变量的概率分布2. 两点分布3. 二项分布4. 泊松分布5. 概率密度函数及其性质6. 连续型随机变量的分布函数7. 均匀分布8. 指数分布9. 标准正态分布、正态分布10. 随机变量相关的概率计算11. 离散型随机变量函数的概率分布重点：1 正态分布，二项分布2
3、离散型随机变量及函数的概率分布第三章1. 离散型随机向量联合概率分布及分布函数2.二维连续型随机向量的联合概率密度、 性质及其应用3. 二维连续型随机向量的分布函数4. 均匀分布5. 二维正态分布6. 边缘概率密度7. 随机变量的独立性8. 二维随机向量的相关概率计算重点：1 联合概率密度2 边缘概率密度3 随机变量的独立性4 二维正态分布第四章1. 离散型随机变量的期望2. 连续型随机变量的期望3. 随机变量函数的期望4. 方差5. 方差的性质6. 协方差、协方差的性质7. 相关系数重点：1 数学期望（随机变量及函数的数学期望）2 方差（离散型随机变量的方差）3 协方差和相关系数第五章1.
4、雪比切夫不等式的应用学习必备欢迎下载2.棣莫弗拉普拉斯中心极限定理的应用重点：棣莫弗拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律:ABAB，ABAB；概率的性质1. P( ? )=0；2. A1, A2, , An 两两互斥时： P(A1 A2 An)=P( A1)+ +P(An),3. P( A)1P(A)( A 是 A不发生 )(D)4.若 A B, 则有 : P(A)P(B)， P(AB) = P(A)， P(B-A)=P(B)- P(A)， P(AB)=P(B).5.P(AB)P( A) P( B)P( AB ) ( D ) , P(B-A)=P( B)-P(AB )。古典概率模型中，
5、事件A 的概率A中包含基本事件数P( A)基本事件总数从 n 件商品中取出 k 商品，共有 C nkn ! 即 n 种取法 n!n ( n 1)2 1 。k ! ( nk )!kD1- P(B)>0，称下式为事件B 发生条件下，事件A 的条件概率P(A|B)P(AB) ,P(B)乘法公式：若P( B) >0，则 P( AB) =P( B) P( A|B) ；若 P( A) >0，则 P( AB ) =P( A) P( B|A) 。设 A1, A2 , , An 是两两互斥的事件，A1 A2 An = ，且 P(Ai)>0,i = 1, 2, , n; 另有一事件 B,
6、它总是与 A1, A2, , An 之一同时发生，则全概率公式：nP(B)P ( Ai)P ( B Ai )i1贝叶斯公式：Ai )(D1)P( Ai | B)P( Ai ) P( Bi 1, 2, , n .n,P( Aj ) P(BAj )j1定义：称A, B 独立，如果 P( AB ) = P( A) P( B)(D) 。定理 . 若事件 A, B 独立相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立。随机变量 X的分布函数： F ( x) = P( X x) , - < x <。性质： P( a11) =F ( b1) - F ( a1) .<X bx1, x2 , ,
7、且有D2- 定义 ：设离散型随机变量X 所有可能取的值为P( Xxk )p k ,k1,2,。则称 p1212, p , 为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。其中p, p ,(1) pk0,k 1,2,;离散型随机变量n()p k1.Xx1x2(2) i 1离散型随机变量的分布函数(累计频率 )：pp1p20xx1px1xx2F ( x) P( X x)pk1p1p2 x2x x3xkx1xn ()x满足Xxn ( )pnpk F (xk )F ( xk 1 ) ， k 1,2,;E(X)n ( )xk pk ， E( X2)n( )2pk ， D ( X ) E( X2) E(X )2
8、(D2)。k 1k 1xk学习必备欢迎下载D3- X B(n, p)-参数为 (n, p)的二项分布 :用 X表示 n重贝努里试验中事件A 发生的次数，则：P( X k) Cnk p k (1 p ) n k , k 0,1, , n ( D3 ).E( X ) np ， D ( X )np (1 p ) .kX P()- 参数为 的泊松分布：p( k;)P( Xk )e, k 0, 1, 2,. 其中 >0 是常数，k!E(X)，D(X)。X 为连续型随机变量：有密度函数f (x) 0 使： P(a1Xb1 )b1f ( x)dx ,a1设 f ( x)h( x)a xb ，密度函数的
9、性质：f ( x) dx1 或h (x) dx1 (D)b0其它ax0xa分布函数 F ( x)P(Xx)h(t)dtaxba1bx( 常用到的不定积分公式：xk dxxk 1, exdxex , sin xdxcos x,dx1arctgx , udvuv vdu 等 ) .k 12x2在 f (x)的连续点，有：F( x)f ( x) .E(X)b2 )x h ( x) dx, E ( Xab2) E(X )2x2 h( x) dx, D (X ) E( Xa-2(,) ：参数为常数 和 的正态分布：密度函数为D4 XN>01( x) 22 。f ( x)e 2 2,x, E ( X
10、 )，D(X)2标准正态分布，记作密度函数：( x)分布函数：( x)X N (0,1)，E(X)0，D(X)1 ：1e x2 / 2 ，x，2x1t 2 / 2可查表得出).ed t (2若 X N( ， 2)，X N(0,1) ,P aXb b1a1.P X b b1.当 x0时， ( x) 1 (x) ( D 4)111X U( a, b)- 均匀分布，密度函数：1f ( x)b a , a x b, E( X ) (a b) / 2 ， D ( X ) (b a ) 2 / 12 .0,其他 .X E( )- 参数为 的指数分布 ,密度函数：f ( x)e x , x 0 ,(0)，
11、E(X ) 1/，D(X) 1/ 2.0 ,x 0 .1，X2独立，2122222)XX i N ( i ,i ),i12121,2. aX +bX +cN( a+b+c， a +b E( aX+b) = aE( X) +b， D( aX+b) = a2D ( X) ， E( aX+ bY+c) = aE( X) + bE( X) +c，22X， Y 独立， D( aX+bY+c) = a D( X) +b D ( X).二维离散型随机变量(X,Y)学习必备欢迎下载二维离散型随机变量(X,Y)：Yy1y2pijP( X xi ,Y yj ) 0，n()m()1，Xp11p12pijx1j 1i
12、 1pn( )p ， pm( )p ，x2p21p22jij 1iji 1ij分布函数 F ( x, y)pijxm( )pm1pm2X xi Y y j边缘p·1p· 2独立： pijpi p j,i1,2,. j1,2,。Zg( X ,Y ), E(Z )n ( )m()g( xi , y j ) pijj1i 1ZX ,Y, XY, X 2,Y 2时,可计算： E( X )， E(Y)， E( XY )， E( X 2 )，E(Y 2 ),Cov( X ,Y )E( XY)E( X ) E(Y) 等。独立不相关：Cov( X ,Y )0，或 E(XY)E( X )E(
13、Y) 。二维连续型随机变量( X,Y ) 密度函数f ( x, y)h( x, y)( x, y)D 均匀分布时，h( x, y)1 ， d 为 D 的面积 ，0其它dyn( )边缘p1np1 ·p2np2 ·pmn pm( ) ·p· n( )D 是矩形 ( 含正方形 ) 、全部区域、三角形( 含大三角形 ) 、圆盘、直线与抛物线所围区域等。D5- 1bdx12( x )ddy12( y)f ( x, y) dxdyh( x, y)dxdy a( x ) h(x, y)dy(或c( y) h( x, y) dx)D(a 是区域 D 左边界的最小值，b
14、是区域 D 右边界的最大值，1( x)是区域 D 的下边界函数， 2( x)是区域 D 的上边界函数；c 是区域 D 下边界的最小值，d 是区域 D 上边界的最大值，1(x)是区域 D 的左边界函数， (x)是区域 D 的右边界函数 )。2P( X , Y )S f ( x, y)dxdyh ( x, y)dxdy( D S 是矩形、三角形等)SDSf x ( x)f ( x, y) dyf y ( y)f (x, y) dx2 ( x)1 ( x)2 ( y)1 ( y)h( x, y)dyaxb，0xa或 xbh( x, y)dxcyd0yc或 yd( X ,Y ) 独立： f ( x,
15、y)f x ( x) fy ( y) ( D 5)D6Zg ( X , Y), E (Z )g ( x, y) f ( x, y) dxdyg ( x, y)h(x, y)dxdyDbdx2a1( x)g (x, y)h(x, y)dy(或ddy2 ( y )g( x, y)h( x, y)dx)( x)c1 ( y )Z X ,Y , XY, X 2,Y 2时, 可计算： E( X )，E(Y)， E( XY )，E( X 2 )，E (Y 2 ).Cov ( X ,Y )E(XY)E( X ) E (Y ) ， xyCov( X ,Y ) /D(X)D(Y)( D6) .D ( XY)D(X) D(Y)2Cov( X , Y) . D ( X )E(X2) E( X )2, D(Y)E(Y2 ) E(Y)2 .独立不相关： Cov( X ,Y )0，或 E(XY)E( X )E(Y) 。E( X ), D ( X ) 存在， 任意，切比雪夫不等式：P ( XD(X)(0).E(X)2D7-X 1， ,Xn 独立 , X i 服从 0-1 分布， p =P(X=1) ， n 充分大时，则P (a1nX i b1 )(b1np(a1np)(D7)i 1np (1)np (1p )p )