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1、学习必备欢迎下载平面向量复习【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量 ：既有大小又有方向的量。记作：AB 或 a 。2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB |或 | a |。3. 单位向量 ：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| e|1。4. 零向量 ：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量。6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。ABBA。8. 三角形法则：ABBCAC ； ABBCCDDEAE ； ABACCB （指向
2、被减数）9. 平行四边形法则：以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab ， ab 。10. 共线定理 ： aba / /b 。当0 时， a与 b 同向；当0 时， a与b 反向。11. 基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模： 若 a (x, y) ，则 | a |x2y 22| a |2 ， | ab |( ab)2， a13.数量积与夹角公式：a b| a | | b | cos；cosa b| a | | b |14.平行与垂直： a / / babx1 y2x2 y1 ； ab a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（ 1）共线
3、向量就是在同一条直线上的向量。（ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是ABCD 。（ 5）若 ABCD ，则 A、B、 C、 D四点构成平行四边形。（ 6）若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。（ 7）若 mamb ，则 ab 。学习必备欢迎下载（ 8）若 mana ，则 mn 。（9）若（ 10）若 a b| a | | b | ，则 a / /b 。a 与 b 不共线，则a 与 b 都不是零向量。（ 11）若 | ab | | ab |，则 ab 。题型 2. 向量的
4、加减运算1.设 a 表示“向东走8km”, b 表示“向北走6km” , 则 | ab |。2.化简 (AB MB) (BO BC) OM。3.已知 | OA | 5 , |OB | 3 , 则 | AB | 的最大值和最小值分别为、。4.已知 AC为 AB与 AD 的和向量，且 ACa, BDb ，则 AB， AD。5.已知点 C 在线段 AB 上，且 AC3AB,则 ACBC， ABBC 。题型 3. 向量的数乘运算51.计算： 2(2a5b3c)3( 2a3b2c)2.已知 a (1,4), b(3,8) ，则 3a1 b。2题型 4 根据图形由已知向量求未知向量1.已知在 ABC 中，
5、 D 是 BC 的中点，请用向量AB，AC 表示 AD 。2. 在平行四边形ABCD 中，已知 ACa, BDb ，求 AB和 AD 。题型 5. 向量的坐标运算1.已知 AB(4,5)， A(2,3) ，则点 B 的坐标是。2.已知 PQ( 3,5) ， P(3,7)，则点 Q 的坐标是。3.若物体受三个力 F(1,2) , F2(2,3) , F(1,4), 则合力的坐标为。134.已知 a( 3,4) ， b(5, 2) ，求 ab ， ab ， 3a2b 。5. 已知 A(1,2), B(3,2) , 向量 a( x2, x3y2) 与 AB 相等，求 x, y 的值。学习必备欢迎下载
6、6.已知 AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD( 1,4) ，则 DA。7.已知 O 是坐标原点， A(2, 1),B( 4,8)，且 AB 3BC0 ，求 OC 的坐标。题型 6. 判断两个向量能否作为一组基底1. 已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A. e1e2和e1e2B.3e12e2和4e26e1C.e13e2和e23e1D.e2和e2e12. 已知 a(3,4)，能与a 构成基底的是（）A. (3, 4)5 5B.(4,3)5 5C.(3,4)55D.( 1,4 )3题型7. 结合三角函数求向量坐标1. 已知O 是坐标原点，点A
7、 在第二象限， |OA |2 ，xOA150，求OA 的坐标。2. 已知 O 是原点，点A 在第一象限， | OA | 4 3 ，xOA60 ，求 OA 的坐标。题型 8. 求数量积1. 已知 | a |3,| b |4 ，且 a 与 b 的夹角为 60，求（ 1） a b ，（ 2） a (ab ) ，（ 3）1，（ ） (2 a b) ( a 3b ) 。(ab ) b422. 已知 a(2,6), b( 8,10)1） | a |,| b | ，（ 2） ab ，（ 3）a(2ab)（ 4） (2 ab ) (a3b) 。学习必备欢迎下载题型 9. 求向量的夹角1. 已知 | a |8,
8、| b |3 ， a b12 ，求 a 与 b 的夹角。2. 已知 a(3,1), b( 2 3, 2) ，求 a 与 b 的夹角。3. 已知 A(1,0) ， B(0,1) ， C (2,5) ，求 cosBAC 。题型 10. 求向量的模1. 已知 | a |3,| b |4 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求（ 1） | ab |，（ 2） | 2a3b |。2. 已知 a(2, 6), b ( 8,10) ，求（ 1） | a |,| b | ，（ 5） | ab |，（6） | a1 b |。23. 已知 | a |1，|b |2 ， | 3a2b |3 ，求 |3ab |。题型
9、 11.求单位向量【与 a 平行的单位向量：a】e| a |1. 与 a(12,5) 平行的单位向量是2.与 m( 1, 1 ) 平行的单位向量是。2题型 12.向量的平行与垂直1. 已知 a(1,2) ， b (3,2) ，（1） k 为何值时，向量kab 与 a3b 垂直？（ 2） k 为何值时向量 kab 与 a3b 平行？学习必备欢迎下载2. 已知 a 是非零向量，a ba c ，且 bc ，求证： a(bc ) 。题型 13. 三点共线问题1. 已知 A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证： A, B, C 三点共线。2. 设 AB2 (a 5b), BC2a
10、8b, CD3(ab) ，求证： A、B、D 三点共线。23.已知 ABa2b, BC5a 6b,CD7a2b ，则一定共线的三点是。4.已知 A(1,3)， B(8,1) ，若点 C (2 a1,a2) 在直线 AB 上，求 a 的值。5. 已知四个点的坐标O (0,0)，A(3, 4)，是否存在常数t，使 OA tOB OCB( 1,2) C (1,1)成立？题型 14.判断多边形的形状1.若 AB3e， CD5e，且 | AD | | BC |, 则四边形的形状是。2.已知 A(1,0)， B(4,3)， C (2, 4) ， D (0,2) ，证明四边形ABCD 是梯形。3. 已知 A
11、( 2,1) ， B(6,3) ， C (0,5) ，求证：ABC 是直角三角形。学习必备欢迎下载4. 在平面直角坐标系内，OA( 1,8),OB( 4,1),OC(1,3), 求证：ABC 是等腰直角三角形。题型 15. 平面向量的综合应用1. 已知 a(1,0) ， b(2,1) ，当 k 为何值时，向量kab 与 a3b 平行？2. 已知 a(3,5) ，且 ab ， | b |2 ，求 b 的坐标。3. 已知 a与b 同向， b(1,2) ，则 a b10 ，求 a 的坐标。4. 已知 a(1,2) ， b(3,1) ， c(5,4) ，则 cab 。5. 已知 a (m,3) ， b (2, 1)，（ 1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求m 的范围；（ 2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求m 的范围。6. 已知 a(6,2) ， b( 3,m) ，当 m 为何值时，（ 1） a 与 b 的夹角为钝角？（2） a 与 b 的夹角为锐角？7. 已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为A( 1,2) ，B(3, 4) ，D (2,1) ，且 AB / / DC ，AB2CD ，求点 C 的坐标。8. 已知ABC 三个顶点的坐标分别为A(3, 4) ， B(0,0) ， C (c,0) ，（ 1）若 ABAC0，求 c 的值；（2）若 c5 ，求 sin A 的值。