《概率论与数理统计知识点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计知识点.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率分布名称分布律01 分布P ( Xk )p k (1 p )1 k , k0 ,1Xb(1, p)二项分布P( Xk )Cnk p k (1p ) nk ,k0,1, , nXb( n, p)泊松分布kP( Xk )e,k0,1,2,XP ( )k !公式名称公式表达式德摩根公式A BAB ， ABAB古典概型mA包含的基本事件数P(A)基本事件总数n几何概型P( A)( A) ，其中 为几何度量 （长度、 面积、体积）()求逆公式P(A)1P( A)加法公式P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(AB
2、)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) ， BA 时 P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式P(B A)P(AB)P( A)与乘法公式P( ABC)P( A)P(B A) P(C AB)n全概率公式P( A)P ( Bi ) P ( A Bi )i1贝叶斯公式P ( BiP ( Bi ) P ( A Bi )A )n（逆概率公式 ）P ( Bi ) P ( A Bi )i 1两个事件P(A)P(B) ； P(B A)P( B) ； P(B A)P(B A) ；P( AB)相互独立二、随机变量及其分布1、分布函数P( Xxk )x k x, P (a X b) F
3、 (b) F (a)F ( x) P ( X x)xf (t )dt2、离散型随机变量及其分布3、续型随机变量及其分布分布名称密度函数分布函数10,xaaxb均匀分布f ( x),xa , axbb aF ( x )X U (a, b)0,其他ba1,xb分布名称密度函数分布函数指数分布f ( x)ex ,x01ex ,x0X e( )F ( x)0,x00,x01( x) 21( t)2f ( x)e22x正态分布2F ( x )2d t2eX N(,2)2x1x 2标准正态分布( x )e21x1 t22(x)e2dtX N (0,1)2x学习必备欢迎下载4、随机变量函数Y=g(X) 的分
4、布离散型： P (Y y)p, i 1,2, ，ijg ( x j )yi连续型：分布函数法，公式法fY ( y )f X ( h( y)h ( y) ( xh( y)单调 )三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律： P(Xxi , Yy j )pij, i , j1, 2,分布函数 F (X ,Y)p ijx i xyi y边缘分布律：piP( Xxi )pijp jP(Y yj )pijji条件分布律： P ( XxiYyjpij,i1,2,， P(Yyj Xpij1,2,)xi ), jp jpi2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质分布函数： F ( x,
5、y)xyf (u , v )dudv性质： F(,)1,2F ( x, y )f ( x, y ),P ( x, y)G )f ( x , y) dxdyxyG边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： F X ( x )xf (u , v )dvdu 密度函数：f X ( x)f ( x , v )dvF Y ( y )yf (u , v )dudvf Y ( y)f (u , y ) du条件概率密度fY X ( y x)f ( x, y)yf (x, y)x,， f X Y ( x y),f X (x)f Y ( y)3、随机变量的独立性随机变量 X、 Y 相互独立F (x, y)FX ( x
6、) FY ( y) ，离散型： p ijp i . p. j ，连续型：f ( x, y)fX (x) f Y ( y)4、二维随机变量和函数的分布离散型： P(Zzk )P ( Xxi,Yyj )x iy jzk四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型E(X )xk pk ，连续型 E ( X )xf ( x )dxk 1性质： E(C)C, E E( X)E(X)， E(CX) CE(X)， E(X Y)E( X ) E(Y)E(aX b) aE (X )b，当 X、 Y 相互独立时： E(XY )E(X ) E(Y)2、方差E(X)2E(X2)E2(X)定义： D(X )E( X性
7、质：D(C)0，(aX)2(X)， D(X Y)D( X ) D(Y)2Cov( X ,Y )DbaD当 X、Y 相互独立时： D( X Y) D (X ) D(Y)3、协方差与相关系数协方差： Cov( X ,Y )E( XY ) E( X )E(Y) ，当 X、Y 相互独立时：Cov( X ,Y) 0相关系数：Cov(X ,Y ) ，当 X、 Y 相互独立时：XY0(X,Y 不相关 )XYD(X ) D(Y)协方差和相关系数的性质：Cov( X , X )D( X ) ， Cov(X ,Y )Cov(Y, X )Cov(X 1 X 2 ,Y ) Cov( X1 ,Y) Cov(X 2 ,Y
8、 ) ， Cov( X ,C) 04、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 b(1, p)pp(1-p)二项分布 b( n, p)npnp(1-p)泊松分布 P()均匀分布 U (a, b)a b(b a)2212正态分布 N( ,2)2指数分布 e()112五、大数定律与中心极限定理连续型：f Z ( z)f ( x, z x) dxf ( z y , y ) dy1、切比雪夫不等式学习必备若 E(X),D( X)2, 对于任意0有PXE(X)D(X )22、大数定律：切比雪夫大数定律：若X1Xn 相互独立，E ( X i )i , D (X i)22C1nP1n)i
9、 且 i，则：X in iE (X i ), (nn i11伯努利大数定律：设nA 是 n 次独立试验中事件A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则0 ，有： lim PnAp1nn辛钦大数定律：若X1, X n 独立同分布，且E ( X i )，则 1nX iPni 1n3、中心极限定理列维林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量Xi ( i1,2,) ，均值为20，当 n 充分大时有： Ynn，方差为(Xk n )nN (0,1)k 1棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：随机变量X B(n, p) ，则对任意 x 有：lim PXnpxx1t 2( x)e 2 dtnnp(1
10、p)2n( b n )( an )近似计算： P(aX kb)k1nn六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体 XF (x) ，则样本的联合分布函数F ( x1 , x2xn )nF (xk )k 12、统计量nnn1样本均值：1Xi ，样本方差：21X )222XS(Xi(XinX )n i 1n 1 i 1n 1 i 1欢迎下载n1 n样本标准差： S1( XiX )2，样本 k 阶原点距： AkX ik , k1,2n1 i 1n i 1样本 k 阶中心距： Bk1n( X iX )k ,k1,2,3n i 13、三大抽样分布(1)2 分布：设随机变量X iN (0,1)(i
11、1,2, n) 且相互独立，则称统计量2X 12X 22X n2 服从自由度为n 的2分布，记为2 2 ( n)性质： E2 (n)n, D2 (n)2n 设 X 2 (m), Y 2 ( n) 且相 互独立 ，则XY 2 (mn)(2) t 分布：设随机变量 X N (0,1), Y 2 (n) ，且 X 与 Y 独立，则称统计量： TXY n服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T t (n)性质： E(T)0 (n1),D(T)n(n2) lim fn (x)1x2( x)e 2n2n2(3)F分布：设随机变量X2 (m), Y 2 (n) ，且 X与Y独立，则称统计量F (m, n)X
12、 m 服从第一自由度为m，第二自由度为 n 的 F 分布，记为 F F ( m,n) ，Y n性质：设 F F (m, n) ，则 1F F (n, m)七、参数估计1. 参数估计 定义：用( X1, X 2 ,L , X n ) 估计总体参数，称( X1 , X 2 ,L , X n ) 为的估计量，相应的( x1 , x2 , xn ) 为总体的估计值。学习必备欢迎下载当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2. 点估计中的矩估计法：基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数1, 2 , k ，它的前 k 阶原点无设( x1 , x
13、2 ,L , xn ) 为未知参数的估计量。 若 E(）=，则称为偏性的无偏估计量。设11( x1 , x2 ,L, xn ) 和22 (x1, x2 ,L, xn ) 是未知参数的两个无偏估计量。若 D (1)D(2) ，则称1比2 有效。矩iE( X i )(i1,2, ,k ) 中包含了未知参数1 , 2 , , k ，即igi ( 1 ,2 , k )(i1,2, , k) ；又设 x1, x2 ,L , xn 为总体 X 的 n 个样本值，用样本矩代替i ，在所建立的方程组中解出的k 个未知参数即为参数1, 2 , , k的矩估计量 1,2 , k 。3. 点估计中的极大似然估计设
14、X1 , X 2 ,L X n 取自 X 的样本，设X f ( x,) 或 X P( x,) ， 求法步骤：nn 似然函数：L ( )f (xi ,)(连续型 )或 L ( )Pi ( xi ,)(离散型 )i1i1nn取对数：ln L( )ln f (xi ,)或 ln L()ln pi ( xi ,)基本思想估基本计步骤量的有评效价性标准两类错误假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平 ，常取 =0.05 ， 0.01 或 0.10 。提出原假设 H0；选择检验统计量 g (X1 ,L , X n ) ；对于 查表找分位数 ，使 P( g( X1 ,L, X n )W
15、 )，从而定出拒绝域W；由样本观测值计算统计量实测值g ( x1 , , xn ) ；并作出判断：当实测值落入 W 时拒绝 0，否则认为接受0。HH当0 为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定0。这时HH0 成立判为 H0H第一类我们把客观上为不成立（即否定了真实的假错误设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：P 拒绝 H0| H0 为真 =；H。这时，当 H 为真时，而样本值却落入了接受域，应接受10第二类我们把客观上0 不成立判为0 成立（即接受了不真实的假HH错误设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：P 接受0| 1为真 =
16、。H H两类错人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时，误的关变小，则变大； 相反地，变小， 则系变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。i 1i 1ln Lln L11 ( x1 , x2 , , xn )解方程：0,L ,0 ，解得：1kkk (x1, x2 , , xn )一设n 是 的一串估计量， 如0，有 lim(| n | ) 0则称n 为致nP性的一致估计量（或相合估计量）。5. 单正态总体参数的置信区间4. 估计量的评价标准学习必备欢迎下载估计条件参数已知2枢轴量枢轴量的置信区间置信水平为 1分布XN (0,1)x u, xuU/n2n2n八、假设检验
17、1. 假设检验的基本概念2. 单正态总体均值和方条件差的假设检验已知2未知2未知已知（少见）原假设检验统计量统计量分布H 0 :0X0UN (0,1)H 0 :/n0H 0 :0H 0 :0XH 0 :0T0t (n1)S /nH 0 :0H 0 :22(n 1)S222 (n1)20H 0 :220H 0 :220H 0 :22n)22( Xi2i 1( n)02H 0 :220H 0 :220拒绝域| u |u2uuuutt( n1)2tt(n1)tt(n1)22(n 1)12或2 2 (n 1)222 (n 1)212(n 1)22(n) 或1222(n)222 (n)212(n)未知2已知2未知2Xt (n1)x t(nS, xtST1)(n 1)S / n2n2nnXi2n2n2( X i)( X i)22(n), ii 1i12 ( n )12( n)1222(n1)S22(n1)( n1)S2,( n1)S 2222( n 1)(n1)122