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1、学习必备欢迎下载第一讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中， 在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活， 综合性强， 备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手， 运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数 (设 = k 2 )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手， 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解注：一元二次方程的整数根问
2、题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关【例题求解】【例 1】若关于 x 的方程 (6k)(9)x2 (11715 )x540的解都是整数，则符合条件的整kk数是的值有个思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式， 因方程的类型未指明， 故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时， 要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论【例 2】已知 a 、 b 为质数且是方程x 213xc0的根，那么ba 的值是 ()abA 127B 125C 1
3、23D 12122222222思路点拨由韦达定理 a 、 b 的关系式，结合整数性质求出a 、 b 、 c 的值【例 3】 试确定一切有理数r ，使得关于 x 的方程 rx 2(r2)x r10 有根且只有整数根思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论当r0 时，由根与系数关系得到关于 r的两个等式，消去 r，利用因式 (数 )分解先求出方程两整数根【例 4】当 m 为整数时，关于x 的方程(2m1)x2(21)x10是否有有理根 ?如果有，m求出 m 的值；如果没有，请说明理由思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数设 = ( 2m 1)24(2m 1)4m24m5(2m1)24n
4、 2( n 为整数 )解不定方程，讨论m 的存在性注：一元二次方程ax2bxc0 (a 0) 而言，方程的根为整数必为有理数，而= b 2 4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件【例 5】 若关于 x 的方程 ax22(a 3)x (a 13)0 至少有一个整数根，求非负整数a 的值思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于 x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程学习必备欢迎下载学历训练1已知关于 x 的方程 (a1)x22xa10 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有2已知方程 x21999xm 0有两个质数解，则m
5、3给出四个命题：整系数方程ax2bxc0 (a 0)中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根； 整系数方程ax2bxc0 (a0)中，若方程有有理数根， 则为完全平方数；无理数系数方程ax2bx c0 (a0)的根只能是无理数；若a 、 b 、 c 均为奇数，则方程 ax2bxc 0 没有有理数根，其中真命题是4已知关于 x 的一元二次方程x2(2a1)xa 20( a 为整数 )的两个实数根是x1 、 x2，则 x1x2=5设 rn 为整数，且 4<m<40 ，方程 x22(2m3) x4m214m 8 0 有两个整数根，求 m 的值及方程的根6已知方程ax2(3a 28a)x2
6、a 213a150(a0) 至少有一个整数根，求a 的值7求使关于x 的方程 kx2(k1) xk10 的根都是整数的k 值8当 n 为正整数时， 关于x 的方程2x28nx10xn235n760的两根均为质数，试解此方程9设关于 x 的二次方程 ( k26k 8) x2(2k 26k 4)x k24的两根都是整数， 试求满足条件的所有实数 k 的值10试求所有这样的正整数a ，使得方程 ax22( 2a 1) x4(a3) 0 至少有一个整数解11已知 p 为质数，使二次方程x22 pxp 25 p10 的两根都是整数，求出p 的所有可能值12已知方程x2bxc0 及x2cxb0 分别各有两个整数根x1 、x2 及x1 、x2 ，且x1 x2>0， x1 x2>0(1) 求证： x1 <0, x2 <0 ， x1 <0, x2 < 0； (2)求证： b1cb1 ； (3) 求 b 、 c 所有可能的值13如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx22xm10 的根 ( m 为整数)，学习必备欢迎下载这样的直角三角形是否存在 ?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由参考答案学习必备欢迎下载