第八章二元一次方程组和消元;解二元一次方程组.docx

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1、年级初一学科数学版本人教新课标版课程标题第八章 8.1 8.2 二元一次方程组和消元解二元一次方程组编稿老师高静一校林卉二校黄楠审核路子华一、考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解，二元一次方程组及其解法，在中考试题中这两个考点时有出现。与二元一次方程组有关的试题一般难度不大，以选择题居多， 与二元一次方程有关的问题常以填空题的形式出现，难度中等， 可能会出现难题，学习以上内容时应注意“化归”思想的运用。二、重难点提示重点： 二元一次方程组的解法。难点： 消元思想在解方程组中的运用，二元一次方程的特殊解。知识脉络图二元一次方程的解二元一次方程代入消元法二元一次方程组二元一次方程组的解法方程组

2、加减消元法知识点一：二元一次方程和二元一次方程组要点精讲：二元一次方程方程二元一次方程组方程组典例精析：1ax 3y15的一个解，求 4（a 4b） 3b2的值。例题 1已知 x 2是方程组2x by1y 11xax3y 15思路导航： 把2代入方程组得出一个关于 a、b的方程组，求出方程组y 1的解，再代入4（ a4b） 3b2 进行计算即可。1是方程组 ax 3y 15的一个解， 所以代入得：1a3 15 ，解得答案： 因为 x 222x by 11b1y 1a 24。所以 4（ a 4b） 3b2 4×（ 24 4× 0） 3× 02 96 0 96。b 0

3、点评： 这是一道求值问题， 所求式子中字母的值是通过解方程组得到的，组的解的定义是解答本题的关键。正确理解方程例题 2 写出方程 3x4y 20的非正的整数解。思路导航： 二元一次方程的解可以从不同的角度进行探究。一般情况下， 应用一个未知数表示另一个未知数，然后猜测验证方程的特殊解。答案： 移项，得 4y 203x，将 y的系数化为 1，得 y 5 3x，由此可得 x必须是 4的4倍数时， y才可能是整数。令x 0、 4、 8、，则 y 5、 2、1、。所以原方程的非正的整数解为x 0或 x 4。y 5y 2点评： 要求二元一次方程的特殊解（如本题要求方程的解必须是零和负整数），需将方程进行

4、变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后根据代数式的特点，经过多次检验，才能得到符合要求的解。知识点二：用代入消元法解二元一次方程组要点精讲： 用代入法解二元一次方程组的一般步骤用一个未知数表代入转化成一得一元一代入求另一示另一个未知数元一次方程次方程的解个未知数的值典例精析：例题 1 解方程组 x y 3。5x 3（ xy） 1思路导航： 把代入即可求得x，然后把 x的值代入即可求得y的值。答案： 把代入得：5x 3× 3 1，解得， x 2。把 x 2代入得： y 1。x 2所以方程组的解是。点评：用代入法解二元一次方程组时， 一般情况下应选择系数较为简单的一个方程变形，用一个未

5、知数表示另一个未知数，将其代入另一个方程。但有的时候应根据方程组的特点，采取灵活的代入方法， 如本题可将 x y做为一个整体代入， 而不必用一个未知数表示另一个未知数再代入。x y13例题 2用代入消元法解方程组232。xy33 24思路导航： 先将两个方程化简，再根据题目要求用代入消元法求解。答案： 原方程化简得3x 2y39 ，由得 y39 3x4x 3y18239 3x把代入中得4x3× 18，解得 x 9。把 x 9代入中得 y 6。x 9所以原方程组的解为。点评： 方程组中的方程不是最简方程时，最好先将其化成最简方程，再选择合适的方法解方程。 注意：用代入消元法解方程组时，

6、 由一个方程得出的表示式必须代到另一个方程中去，稍有不慎就容易将其代到原方程中去。知识点三：用加减消元法解二元一次方程组要点精讲： 用加减法解二元一次方程组的一般步骤将某个未知数的系两方程相转化成一得一元一求另一个数变得相同或相反加或相减元一次方程次方程的解未知数的值典例精析：4（ x y 1） 3（ 1 y） 2例题 1 解方程组x y 2。23思路导航： 首先对原方程组化简，然后运用加减消元法求解。4x y 5答案： 原方程组可化为：3x 2y 12，× 2得： 11x 22，所以 x 2，把 x 2代入得 y 3。所以方程组的解为x 2。y 3点评： 可用加减消元法来解的二元一

7、次方程组，一般来说， 某个未知数的系数应成整数倍，并且要将它们变得相同或相反，所乘的数应尽量小，如果所乘的这个数非常大，则不建议用此法。例题 2 若3x2m5 n 9 4y4m 2n 7 2是关于 x、 y的二元一次方程，求（n 1） 2013 m的值。思路导航： 本题是应用二元一次方程的概念来解的一道题。其中x、y为元，当然其次数应为 1，于是可以列出关于m、 n的二元一次方程组，进而可以求出m、 n。答案： 由 3x2m 5n9 4y4m2 n 7 2是关于 x、 y的二元一次方程，得2m 5n 9 1，即4m 2n 7 12m 5n 8 ，× 2， 12n 24，解得 n 2。

8、4m 2n 8 代入式或式中可求得m 1。所求（ n1）2013 m1）20142014（ 2（ 1） 1。点评： 本题主要考查二元一次方程的定义，m、 n的值是通过方程组求得的，用加减法解二元一次方程组时，应根据两个未知数的系数的特点灵活运用，如本题也可用×1。2例题 1在下列三个二元一次方程中，请你选择合适的两个方程组成二元一次方程组，然后求出方程组的解。可供选择的方程：y 2x3， 2xy 5， 4x y 7。思路导航： 根据二元一次方程组的定义（组成二元一次方程组的两个方程为各含两个未知数， 且未知数的项的最高次数都是一次的整式方程）来组方程组， 再选择合适的方法解方y 2x

9、 3，答案： 若选方程，得。将代入得4x 8，解得 x 2，将 x 2代入x 2，解得 y 1，故方程组的解是：。点评： 本题主要考查了二元一次方程组的定义及二元一次方程组的解法。解答此题时，采用了“代入消元法”解二元一次方程组。若选择，用加减法较为合适。例题 2 已知：不论 k取什么实数，关于 x的方程 2kx a xbk 1（ a、 b是常数）的根36总是 x 1，试求 a、 b的值。思路导航： 首先把根 x 1代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据“方程与 k无关”的应满足的条件即可得 a、b的值。答案： 把 x 1代入原方程并整理得（b 4）k 7 2a，要使等式（ b4）k 7 2

10、a不论k取什么实数均成立，只有满足b4 0，解之得 a7， b 4。7 2a 02点评： 解答这类问题时应注意两点，一是正确理解“不论k取什么实数”，说明原方程与 k无关，或 k的系数为 0；二是方程中字母较多，应注意分清已知数和未知数。1. 消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程， 就可以先解出一个未知数， 然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。2. 运用代入消元法解二元一次方程组的技巧和方法：（ 1）用代入法解题时，先比较两个方程的特点，选出一个系数比较简单的方程，并用一个未知

11、数表示另一个未知数。（ 2）将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数， 得到一个一元一次方程（在代入时， 要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的） 。（ 3）当求出一个未知数的值后，通常把这个值代入用这个未知数表示另一个未知数的那个方程， 去求另一个未知数的值。 它远比把这个值代入原方程组中的任意一个方程去求另一个未知数的值要简便得多。3. 运用加减消元法解二元一次方程组的技巧和方法：运用加减消元法解方程组时， 要观察两个方程同一个未知数的系数， 如果系数相等， 将这两个方程直接相减；如果系数互为相反数，则将两个方程相加，消去该未知数，得到一个一元一次方程

12、。4. 一般来说，任何一个二元一次方程组都可以用代入法和加减消元法来解，但应根据方程组的特点灵活运用。第八章 8.3 8.4 实际问题与二元一次方程组和三元一次方程组的解法一、预习新知1. 小颖用 36 元买了两种邮票共40 枚，其中一种面值1 元，另一种面值0.8 元，则小颖买了面值 1 元的邮票 _枚，面值0.8 元的邮票 _枚。2. 某单位申请了甲乙两种贷款共35 万元，每年需付利息2.2 万元，甲种贷款的年利率为6%，乙种为 6.5%，若设甲、乙两种贷款的数额分别为x、y 万元，则根据题意，可列方程组为 _ 。3. A 、 B 两地相距 150 千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地出发

13、，同向而行，甲车3 小时可追上乙车；相向而行，两车1.5 小时相遇，那么甲、乙两车的速度分别为_ 。4.有一些苹果及苹果箱，若每箱装25 千克，则剩余40 千克无处装，若每箱装30 千克，则余 20 只空箱，那么共有苹果 _ 千克，苹果箱 _只。x y 35.方程组y z 2的解为 _ 。2x 3y z 6二、问题思考1. 列方程组解应用题的基本思路是什么？2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤是怎样的？3. 什么是三元一次方程组，怎样解三元一次方程组？（答题时间： 60 分钟）一、选择题1.x 1是关于 x、 y 的二元一次方程ax 3y1 的解，则 a 的值为（）若 y 2A. 5B.

14、1C. 2D. 72.a 2b 4 ，则 a b 等于（）已知 3a 2b 88A. 3B. 3C. 2D. 13.二元一次方程x 2y 1 有无数多个解，下列四组值中，不是 该方程的解的是（）x 0x 1x 1x 1A.1C.B.D.y2y 1y 0y 14.x m 6，可得出 x 与 y 的关系式是（）由方程组 y 3 mA. x y 9B. x y3C. x y 3D. x y 95. 楠溪江某景点的门票价格：成人票每张70 元，儿童票每张 35 元。小明买 20 张门票共花了 1225 元，设其中有x 张成人票， y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（）x y20x y20A.3

15、5x 70y 1225B. 70x 35y 1225C.x y1225x y122570x 35y 20D.35x 70y 203m 4n 76. 解方程组的最好方法是（）9m 10n 3 A. 由得 m7 4n再代入B. 由得 m 10n 3再代入39C. 由得 3m 4n 7 再代入 D. 由得 9m10n 3 再代入*7.若 3x y 5 2x2y 2 0，则 2x2 3xy 的值是（）A. 14B. 4C. 12D. 12*8.x 4与 x 2都是方程 y kx b 的解，则 k 与 b 的值为（）已知 y 2y 51， b 4B. k 1， b 4A. k 221， b4D. k 1

16、，b 4C. k 22*9. 若使方程组3x 5ya 4的解 x 与 y 的和为 3，则 a 的值是（）2x 3yaA. 7B. 4C. 0D. 4*10. 若 4x 3y 6z0， x 2y 7z 0（xyz0），则式子5x2 2y2 z2）2x222的值等于（ 3y 10z119A. 2B. 2C. 15D. 13二、填空题11. 已知 2xm 1 y3 与 1xnym n 是同类项，那么（ n m） 2012_ 。 212. 若有理数 x、 y 满足方程（ x y 2） 2 x 2y 0，则 x2 y3 _。*13.已知方程组2a 3b 13的解为a 8.3，则方程组2（ x2） 3（y

17、 1） 13的3a 5b30.9b1.23（ x2） 5（y 1） 30.9解是 _。*14.一个两位质数，它的个位数字与十位数字之差的绝对值等于5，这样的两位质数是_ 。三、解答题15. 解下列二元一次方程组：（ 1） x 3y 5 ；（ 2） 4x 3y 11 。3y 82x 2x y 13 *16.解方程组3x 6y 11，并求 xy的值。6x 3y 19*17.儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8 折优惠，能比标价省13.2 元。已知书包标价比文具盒标价的3倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？*18.已知 m 为整数，方程组 4x 3y 6

18、有整数解，求m 的值。6x my 261. D 解析：根据题意把 x 1代入 ax 3y 1，得 a 3× 2 1，解得 a 7。y 22. A解析：把两个方程相加得4a 4b 12，方程的两边都除以4 即可得出答案。3. B解析：将 x、y 的值分别代入 x 2y 中，看结果是否等于1，判断 x、y 的值是否为方程 x 2y 1 的解。4. A 解析：把 m y3 代入 x m6，得 x y 3 6，即 x y 9。5. B解析：根据“小明买20 张门票”可得方程x y 20；根据“成人票每张 70 元，儿童票每张35 元，共花了1225 元”可得方程 70x 35y 1225，把

19、两个方程组合即可。6. C解析：从答案上看，此题用代入法求解。A 、B 都带有分数计算， D 代入时 9m 不能取代 3m，需除以 3，也带有分数计算，而C 的代入只需在方程两边乘3，即 9m12n 21，后代入即可。可见方法C 最简捷，最好计算，应选C。7. B解析：根据题意可得3x y 5 0 ，解得x 1，所以 2x2 3xy2×（ 1） 22x 2y 20y 23×（ 1）×（ 2） 4。18. A解析：根据题意可得4k b 2，解得k 2。 2kb 5b 49. A解析：解方程组3x 5y a 4得 x 2a 12，所以 x y（ 2a 12）（ a 8

20、）2x 3y ay a 8 3，解得 a 7。10. D解析：把 z 看成已知数，解关于4x3y 6z 0，解得 x 3z。因为x、y 的方程组 x2y 7z 0y 2z5x2 2y2 z25（3z） 2 2（ 2z） 2 z252z 13。xyz0，所以 z0，所以2222（2222x 3y 10z3z） 3（ 2z） 10z 4z11. 1解析：由于m1y31n m n是同类项，所以有m 1n2x与 x y，由 m 1 n 得 123 mnn m，所以（ n m） 2012（ 1） 2012 1。注意本题不必求出m、 n 的值。12. 8x y 2 0解析：由题意得，解得 x 4， y 2

21、，则 x2 y3 8。x2y 013.x 6.3解析：根据题意可知x 2 a，即 x2 8.3，所以 x6.3。y 0.2y 1 by1 1.2y0.214.61或83解析：设个位数字是x，十位数字是 y，则 xy 5 即 x y 5 或 y x 5。满足题意的解是x6和 x 8，所以这样的两位质数是61 或 83。y1y 315. 解：（ 1）把代入得： 3y 82（ 3y 5），解得 y2，把 y 2 代入可得： x3× 2 5，解得 x 1，所以二元一次方程组的解为x 1。（ 2）× 3 得 10x50，解得 xy 2 5，把 x 5 代入，得 2×5 y

22、13，解得 y3。所以方程组的解是x 5。y 3解：解方程组 3x 6y 11得x33× 1 11。16.1，所以xy6x 3y 19y3317.解：设书包和文具盒的标价分别为x 元和 y 元，根据题意，得（x y）（ 1 0.8） 13.2，解得x 48。答：书包和文具盒的标价分别为48 元和 18x3y 6y 18元。18. 解： 4x 3y 6 ，× 2× 3 得（ 2m 9） y 34，即 y 34 ，因为原方程6xmy 26 2m 9组的解是整数，所以只有当 2m 9± 1、± 2、± 17、± 34 时 y 才能是整数，又因为 m 也是整数，所以 2m 9 一定是奇数，所以 2m 9± 1 或± 17，解得 m 4、 5、4、 13。