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1、22.2 曲线积分和路径的无关性引言第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关， 而且也与所沿的积分路径有关。 对同一 个起点和同一个重点， 沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。 在什么样的 条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面 中情形来讨论这个问题。定理 1：若函数 P x,y ，Q x, y 在区域 D上有连续的偏导数， D是单连通区域，则列命题等价： 对 D 内任意一条闭曲线 C ，有P x,y dx Q x, y dy 0。 C 对 D 内任意一条闭曲线 l ，曲线积分P x, y dx Q x, y dyl与路径无关（只依赖曲线的
2、端点） 。存在可微函数 U x, y ，使得 D 内成立 dU Pdx Qdy ；PQ 在 D 内处处成立。yx定义 1：当曲线积分和路径无关时， 即满足上面的诸条件时， 如令点 A x0, y0 固定而点B x, y 为区域内任意一点，那么x,yU x, y Pdx Qdyx0 ,y0在 D 内连续并且单值。这个函数 U x, y 称为 Pdx Qdy 的原函数。原函数的求法：（1）U x, yxP x, y dx x0yQ x0 , y dy C ； y0或xy（2）U x, yx P x, y0 dx x0Q x, y dy C 。 y0例 1：求原函数 u1) x2 2xy y2 dx x2 2xy y2 dy;22（2） 2xcosy y sinx dx 2ycosx x siny dy 。定义 2： 只绕奇点 M 一周的闭路上的积分值叫做区域 D 的循环常数，记为 。于是，对D 内任一闭路 CC Pdx Qdy n ，这里 n 为沿逆时针方向绕 M 的圈数。例 2：证明 xdx2 yd2y 关于奇点的循环常数是 0,0 ，从而积分与路径无关。 x 2 y2